几何综合题 同步练习-2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题六几何综合题

一阶大题小练

1.如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转,使点A的对应点A1落在边DC上(点C,D的对应点分别是C

1，Di)延长DC交CiD]于点E,求证BAI=A]E.

第1题图

2.如图，已知四边形ABCD是菱形,E,F分别是边BC,CD上的点，连接AE,AE若/EAF二NB=60。,求证AE二AF.

第2题图

3.如图.在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,AF,DE相交于点G、且AF=DE过点B作BH1AF于

点H,过点E作EIJ_BH于点I,求线段AH,IH,AF之间的数量关系.

第3题图

4.如图.在矩形ABCD中.AB=3cm,BC=4cm,E,F为对角线BD上的两点,且分别从点B,D出发相向而行，点

G,H分别从AD,BC的中点出发向点A,C运动.已知四个点同时出发，且速度均为1cm/s.设运动时间为ts(O<t

K),当四边形EGFH为菱形时,求t的值

第4题图

二阶综合训练

1.如图①，在正方形ABCD中,E,F,G分别是线段BA,DA,CB上的点，连接CE.CF,FG.已知BE=DF,GF=CF.

⑴线段CE与GF的数量关系为位置关系为

⑵如图②，若点E,F.G分别在线段BA,DA,CB的延长线上时，⑴中的结论是否依然成立?若成立，请给出证

明；若不成立，请说明理由；

⑶若点E,F,G分别在射线BA,DA,CB上,AB=6,当BE=2AE时请直接写出线段BG的长度

2.如图①，将矩形纸片ABCD沿BM所在的直线折叠,使点A的对应点N落在BC边上折痕BM交AD

于点M；将图①展开铺平，再沿MP所在的直线折叠，使点C的对应点E落在AB边上，点D落在点F的位

置.EF与AD相交于点G.折痕MP交BC于点P得到图②将图②展开铺平，再沿MQ所在的直线折叠，使点A

的对应点S落在CD边上，点B落在点T的位置，折痕MQ交BC于点Q彳导到图③.

(1L题多解法在图①中，请判断四边形ABNM的形状，并说明理由；

(2)在图②中，请判断AG与FG的数量关系，并加以证明；

(3)在图③中，若AB=4,AD=6,请直接写出点D到MS的距离.

第2题图

专题六几何综合题

一阶大题小练

1.证明：:矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A】BCiD】，

・・・AD=AiDi=BC,ZAiCB=ND1=90。,A1B〃C〔D1，

AZCAiB=ZDiEAi.

「C4|4=riQ|E小，

在4BCAiA】DiE中｛口小。8=叫，

BC=A\Di，

.,.△BCAi三△AiDiE(AAS),

••BA〔=AiE.

2.证明：如解图，连接AC.

•・•四边形ABCD是菱形，

・・・AB=BC,AB〃CD.

又「ZB=60°,

•••△ABC是等边三角形，

AAB=AC,ZB=ZBAC=60°=ZACD.

VZEAF=60°=ZEAC+ZCAF,ZBAC=60°=ZBAE+ZEAC,

AZBAE=ZCAF,

/.△BAE^ACAF(ASA),

・・・AE=AF.

3.解二•四边形ABCD是正方形，

AAD=DC,ZADC=ZC.

又TAF=DE,

/.RtAADF^RtADCE(HL),

.\ZDAF=ZCDE.

*.*ZDAF+DFA=90",

AZCDE+ZDFA=90°,

・・・AFJ_DE,.・.NAGE=90。.

VBH±AF,EI±BH,

・•・四边形EIHG是矩形，

AGE=IH.

•・•ZDAG+ZHAB=ZHAB+ZABH=90°,

r\AGD-CBHA,

AZDAG=ZABH.SADAG和△ABH中，｛r\DAG=DABH,

AD=BA,

.,.△DAG^AABH(AAS),

/.DG=AIL

「DE二DG+GE,

AF=DE=DG+GE=AH+IH.

4.解:如解图，取AD.BC的中点M,N.连接DH,BG,GH,GH与BD交于点O.

•・•西边形EGFH为菱形，

・•.GH±EF,OG=OH,OE=OF,

ABD,GH互为垂直平分线.

VOB=OD,OG=OH,

・•・四边形DGBH为菱形，

/.DG=BG.

:四边形ABCD是矩形，

AAD=BC=4cm,

设DG=BG=xcm,则AG=(4-x)cm,

由勾股定理得AB2+AG2=BG\

即32+(4-X)2=X2,

解得

匚。〃=；/O=2(c〃。，

匚MG=2="c/w),即t=^s.

oXo

・••当片为时,四边形EGFH为菱彩

ACMD

第4题解图

二阶综合训练

1.解:(1)CE=GF,CE_LGF;【解法提示】设CE,GF交于点H.V四边形ABCD是正方形,，CB=CD,ZB=ZD=

ZBCD=90°.VBE=DF,.\△EBC^AFDC(SASXACE=CF,ZBCE=ZDCF.VGF=CF,・'.CE=GF,ZFGC=NF

CG.又•：ZDCF+ZFCG=ZBCD=90°,AZFGC+ZBCE=90°,AZCHG=1800-ZFGC-ZBCE=90°,gPCE±GF.

(2)CE=GF,CE±GF依然成立,证明如下:如解图①，延长GF交CE于点H,

VGF=CF,

AZFGC=ZFCG.

•・•西边形ABCD是正方形,

，CB=CD,ZEBC=ZD=ZBCD=90°.

又；BE=DF,

.,.△EBC^AFDC(SAS),

.\CE=CF,ZBCE=ZDCF.

VGF=CF,

.\CE=GF.

•・•ZFCG+ZDCF=ZBCD=90°,

；・ZFGC+ZBCE=90°,

/.ZGHC=180°-ZFGC-ZBCE=90°,即CE±GF;

第1题解图①

(3)BG的长为2或18.【解法提示】分情况讨论：①如解图②，当点E在线段AB上时，过点F作FI1BC于

点I.VGF=CF,AGI=IC.VAB=AD,BE=DF,AB-BE=AD-DF,:.AE=AF=BI.VBE=2AE,AB=6,ADF=CI=GI=BE=4,AE

=AF=BI=2,・・・BG二GI-BI=4-2=2;②如解图③，当点E在线段BA的延长线上时，过点F作FI1CG于点I,延长GF

交CE于点H.VFG=FC,AGI=CI.VAB=AD,BE=DF,BE-AB=DF-AD,AAE=AF=BI.VBE=2AE,AB=6,ADF=CI=G

I=BE=12,AE=AF=BI=6,・・・BG=G1+BI=12+6=18.综上所述,BG的长为2或18.

第1题解图

2.解:⑴解法一:四边形ABNM是正方形.

理由如下：丁四边形ABCD是矩形，

.\ZA=ZABC=90o,

由折叠的性质得NBNM=NA=901BN=BA.

・•・NBNM=NA=NABC=90。，

・•・四边形ABNM是矩形.

XVBN=BA,

・•・四边形ABNM是正方形;

解法二：四边形ABNM是正方形.理由如下：•・•四边形ABCD是矩形,

.•.ZA=ZABC=90°,

由折登的'访,彳导□48仞=匚八'8M=g[Z]28C=gx90u=45：BN=BA,MN=MA,

匚匚力历4=90」一匚48M=90-45=45

/.ZAMB=ZABM=45°,

AAB=AM.

又〈BN=BA,MN=MA,

:.BN;BA二MN=MA,

・•・四边形ABNM是菱形.

又;ZA=90°,

・•・四边形ABNM是正方形；

(2)AG二FG.证明如下：

如解图①，连接EM.

：四边形ABCD是矩形.

ZA=ZD=90°,AB=CD.

由⑴知四边形ABNM是正方形，

••・AB=AM,

由折叠可知:NF=ND=9()o,CD=EF.

又•：AB=CD,AB=AM,ZA=ZD=90°,

.・.ZA=ZF=90°,AM=EF,ffiRtAAME和RtAFEM中,ME二EM,

・•・RtAAME^RtAFEM(HL),

，NAME:NFEM,

，GM=GE.

又〈AM=FE,

・•・AM-GM=FE-GE,即AG=