2027届新高考数学热点突破复习事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

2027届新高考数学热点突破复习

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课标要求1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义；结合古典概

型，利用独立性计算概率，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件

概率.2.结合古典概型，理解[课标变化：了解→理解]条件概率与独立性的关

系，会利用乘法公式计算概率.3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.目录/CONTENTS考点一相互独立事件（事件相互独立性的判断）01考点二条件概率02考点三全概率公式03课时跟踪训练0401PART考点一相互独立事件（事件相互独立性的判断）1.

概念：设A，B为任意两个事件，若P（AB）＝

⁠

，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

3.

相互独立事件的概率公式的推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，

则P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.P（A）·P

（B）

结论：

（1）事件A与事件B是互斥事件，则A与B不相互独立；（2）当P（A）＞0时，事件A与B相互独立的充要条件是P（B｜A）＝

P（

B

）.B

（1）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件N表示“第二次朝上的数

字为偶数”，则下列事件中与事件N相互独立的是（

C

）A.

第二次朝上的数字是奇数B.

第二次朝上的数字为2C.

两次朝上的数字之和为9D.

两次朝上的数字之和为10C

B

规律方法2.求相互独立事件同时发生的概率的方法（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）正面求解较麻烦（如“至多”“至少”问题）或难以入手时，可从

其对立事件入手计算.练1

（1）（2026·山东菏泽模拟）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红

球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次

在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件A＝“两次均未摸出

红球”，事件B＝“两次均未摸出白球”，事件C＝“第一次摸出的两个

球中有红球”，事件D＝“第二次摸出的两个球中有白球”，则（

D

）A.

A与B相互独立B.

A与C相互独立C.

B与C相互独立D.

C与D相互独立D

A

02PART考点二条件概率1.

概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P

（B｜A）＝

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概

率，简称条件概率.2.

两个公式：（1）利用古典概型：P（B｜A）＝

⁠；（2）概率的乘法公式：P（AB）＝

⁠.

P（A）P（B｜A）

（1）（2025·云南红河三模）广东省第十二届大学生运动会于2025

年5月5日至5月29日在广州市举行.某电视台为了报道此次运动会，计划从

甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道.若记者甲被选

中，则记者乙也被选中的概率为（

D

）

D（2）〔一题多解〕（2024·天津高考13题）A，B，C，D，E五种活

动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为

；已知乙选了

A活动，他再选择B活动的概率为

⁠.

规律方法

C

（2）已知男性中有5％患色盲，女性中有0.25％患色盲，从100个男人和

100个女人中任选一人，设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女

人”为事件B，“任选一人患色盲”为事件C，如果此人患色盲，则此人

是男性的概率为

⁠.

03PART考点三全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝

Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P

（B）＝

.我们称为全概率公式.

（2026·湖南长沙模拟）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独

立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知

发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概

率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率

为（

）A.0.2B.0.5C.0.8D.0.9√解析：根据题意，设事件A0为“发送信号0”，事件A1为“发送信号1”，事件B0为“接收信号为0”，事件B1为“接收信号为1”，则P（B0｜A0）＝0.8，P（B1｜A0）＝0.2，P（B0｜A1）＝0.1，P（B1｜A1）＝0.9.设发送信号为1的概率为x，则接收信号为1的概率P＝P（A0）P（B1｜A0）＋P（A1）P（B1｜A1）＝（1－x）×0.2＋x×0.9＝0.76，解得x＝0.8，即发送信号为1的概率为0.8，故选C.

规律方法利用全概率公式的思路（1）按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝

1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P

（B｜Ai）；（3）代入全概率公式计算.练3

（1）（2026·江西赣州模拟）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有

2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随

机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球

的概率为（

B

）B

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：90分）

[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：

“出现3点或4点”，则事件A与事件

B的关系为（

）A.

是相互独立事件，不是互斥事件B.

是互斥事件，不是相互独立事件C.

既是相互独立事件又是互斥事件D.

既不是互斥事件也不是相互独立事件1234567891011121314√

12345678910111213142.

（2026·湖北襄阳模拟）从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示

小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（

）

√12345678910111213143.

（2026·山西临汾模拟）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机

下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是

（

）

√1234567891011121314

√12345678910111213145.

某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是2∶1，鲢鱼和鲫

鱼被钓上来的概率分别是0.03，0.01.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是

鲢鱼的概率为（

）

√12345678910111213146.

〔多选〕设样本空间Ω＝{1，2，3，4}含有等可能的样本点，且A＝

{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则下列结论正确的是（

）A.

P（AB）＝P（A）P（

B

）B.

P（A｜C）＝P（C｜A）C.

P（ABC）＝P（A）P（B）P（

C

）D.

P（BC）＝P（B）P（

C

）BCC√√√1234567891011121314

12345678910111213147.

（2026·四川绵阳模拟）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答

甲、乙、丙3个问题，已知他答对甲、乙、丙的概率分别为0.8，0.5，

0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获

得额外加分，则小张获得额外加分的概率为

⁠.解析：由题意，至少能够连续将2道题都答对，包含的情况有：甲乙都对，丙正误都可；甲错误，乙丙对，则小张获得额外加分的概率为0.8×0.5＋（1－0.8）×0.5×0.2＝0.42.0.4212345678910111213148.

（2026·浙江宁波模拟预测）已知某种疾病的患病率为0.002，在患该

种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.99，则患该种疾病且血检呈阳性的

概率为

⁠.

0.001

9812345678910111213149.

某中学举办知识竞赛，题库中共有1

000道试题，其中有500道A类题，

300道B类题，200道C类题.根据以往经验，某同学答对A，B，C三类试

题的概率分别为80％，60％，50％.若该同学从题库中随机选一道试题作

答，则他答对的概率是

⁠.

1234567891011121314

123456789101112131410.

（13分）（2025·湖北襄阳三模）某技术部门招工需经过四项考核，

已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，

0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一

项考核不通过即被淘汰.（1）求该部门招工的淘汰率；1234567891011121314

1234567891011121314（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率.

1234567891011121314

√1234567891011121314

123456789101112131412.

〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下