初中数学专题《解非直角三角形之母型小题》含答案

初中专题18解直角三角形之子母型小题【小题热身】1．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（）．A．米 B．米 C．米 D．米2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A． B．51 C． D．1013．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差8米，则树高______米．（结果保留根号）4．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【磨刀霍霍】5．如图，小明要测量塔CD的高度.他先在A处仰望塔顶，测得∠A=30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得∠DBC=60°.求该塔的高度．（结果保留根号）6．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．7．某风景管理区为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为米（BC所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶坡面AD长多少米？（2）改善后的台阶会多占多长一段水平地面？（结果保留根号）8．某中学九年级数学兴趣小组欲利用所学知识测量白塔的高度，测量过程如下：如图，先在点处用测角仪测得塔顶仰角为，然后沿方向前行12米到达点处，在点处用测角仪测得塔顶仰角为，已知测角仪高为1米，、、三点在一条直线上，求塔的高度.（结果保留根号）9．如图，某学校在“国学经典”中新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑3米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．(最后结果精确到0．1米，参考数据：)10．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．11．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）12．如图，我县某校新建了一座陶铸雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）13．（如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：，以上结果均保留到小数点后两位）14．如图，身高1.6米的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上C处测得旗杆高度顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进3米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度（）15．如图，小华在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进30米到达C处，又测得顶部E的仰角为60°，求大楼EF的高度.（结果精确到0.1米，参考数据=1.732）16．如图，王刚想测量楼CD的高度，楼在围墙内，王刚只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是王刚在A处仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方向前进30米至B处，测得楼顶的仰角为53°（A，B，C三点在一条直线上），求楼CD的高度（，，结果精确到1米，王刚的身高忽略不计）．17．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？18．炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始祖山）上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河．数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，在地面上选取两点和，且点，及其中像体在同一平面内，像体底部与点，在同一条直线上，同学们利用高1m的测倾仪在处测得像顶的仰角为，在处测得像顶的仰角为，且．根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，．）初中专题18解直角三角形之子母型小题【小题热身】1．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点到直线距离为米，在中，，在中，，由题意得，，解得，（米，故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A． B．51 C． D．101【答案】C【详解】试题分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．解：设AG=x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG=，∴EG==x，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG=，∴CG==x，∴x﹣x=100，解得：x=50．则AB=50+1（米）．故选C．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差8米，则树高______米．（结果保留根号）【答案】【分析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．【详解】如图在中，设AB为x，∴，同理：，∵两次测量的影长相差8米，∴，∴，则树高为米．故答案为：．【点睛】本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．4．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）【答案】74【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．【详解】如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．【磨刀霍霍】5．如图，小明要测量塔CD的高度.他先在A处仰望塔顶，测得∠A=30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得∠DBC=60°.求该塔的高度．（结果保留根号）【答案】该塔高为25m．【分析】从题意可知AB=BD=50m，至B处，测得仰角为60°，sin60°=．可求出塔高．【详解】解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，∴BD=AB=50m．∴DC=BD•sin60°=50×=25（m），答：该塔高为25m．6．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．【答案】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，即点B到AD的距离为20m．（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°．∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°．∴DE=EB=20m．又∵m，∴AD=AE+EB=20+20=20（+1）．在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC=AD=10+10．答：塔高CD为（10+10）m．【详解】（1）过点B作BE⊥AD于点E，然后根据AB=40m，∠A=30°，可求得点B到AD的距离．（2）先求出∠EBD的度数，然后求出AD的长度，然后根据∠A=30°即可求出CD的高度．考点：解直角三角形的应用（仰角俯角问题），勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．7．某风景管理区为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为米（BC所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶坡面AD长多少米？（2）改善后的台阶会多占多长一段水平地面？（结果保留根号）【答案】（1）10米（2）5-5（米）【分析】（1）根据题意得，在Rt△ABC中，AC=BC=AB×sin45°，解方程可求得AC与BC的长，在Rt△ADC中，因为AD=，即可求得AD的长度．（2）首先由在Rt△ACD中，CD=，求得CD的长，又由BC=5米，即可得出问题的结论BD的长度．【详解】（1）在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AC=BC=AB×sin45°=×=5（米），在Rt△ACD中，∠D=30°，AD==5÷=10（米）．（2）在Rt△ACD中，CD==5÷=5（米）因为BC=5米，所以BD=CD-BC=5-5（米）．考点：1．坡度、坡角问题；2．解直角三角形8．某中学九年级数学兴趣小组欲利用所学知识测量白塔的高度，测量过程如下：如图，先在点处用测角仪测得塔顶仰角为，然后沿方向前行12米到达点处，在点处用测角仪测得塔顶仰角为，已知测角仪高为1米，、、三点在一条直线上，求塔的高度.（结果保留根号）【答案】塔的高度为米.【分析】记EF的延长线交CD于G，首先证明FG＝DG，在Rt△DEG中，求出x即可解决问题．【详解】解：如解图，延长交于点，则.根据题意得：米，米，设米，∵在中，，∴米，在中，，∵，∴，解得，∴米，答：塔的高度为米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．如图，某学校在“国学经典”中新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑3米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．(最后结果精确到0．1米，参考数据：)【答案】1.2米【详解】试题分析：根据锐角三角函数，在Rt△DEB中，求得DE的长，在Rt△CEB中，求得CE的长，再根据CD=DE-CE即可求出塑像CD的高度．试题解析：解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2．7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0．9米，则CD=DE-CE=2．7-0．9≈1．2米．故塑像CD的高度大约为1．2米．考点：解直角三角形的应用．10．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30º，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45º，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．【答案】旗杆AB的高度是（8+8）米．【分析】根据锐角三角函数可得AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，所以CB•tan30°=BD•tan45°，即（CD+DB）×=BD×1，解得解得BD=8+8，由AB=BD•tan45°即可求得旗杆AB的高度是（8+8）米．根据题意可以得到BD的长度，从而可以求得AB的高度．【详解】解：由题意可得，CD=16米，∵AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，∴CB•tan30°=BD•tan45°，∴（CD+DB）×=BD×1，解得BD=8+8，∴AB=BD•tan45°=（8+8）米，即旗杆AB的高度是（8+8）米．11．如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）【答案】【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.5即为这幢教学楼的高度AB．【详解】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，

∴FG＝＝＝．

在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，

∴CG＝=AG．

又CG−FG＝40，

即AG−＝40，

∴AG＝20，

∴AB＝20＋1.5．

答：这幢教学楼的高度AB为（20＋1.5）米．【点睛】本题考查了解直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．12．如图，我县某校新建了一座陶铸雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）【答案】塑像CD的高度大约为1.2米【详解】试题分析：在Rt△DEB中，先求出DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE≈1.2米试题解析：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米，故塑像CD的高度大约为1.2米．考点：俯仰角问题13．（如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：，以上结果均保留到小数点后两位）【答案】（1）2.07m．（2）这样改造能行．【详解】（1）滑滑板增加的长度实际是（AD﹣AB）的长．在Rt△ABC中，通过解直角三角形求出AC的长，进而在Rt△ACD中求出AD的长得解；（2）分别在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的长，即可求出BD的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长．若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全．14．如图，身高1.6米的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上C处测得旗杆高度顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进3米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度（）【答案】旗杆AB的高度为5.65米【详解】试题分析：在Rt△FGA中，设AG=FG=x米，根据=tan30°，求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度．试题解析：如图，在Rt△FGA中，设AG=FG=x米，在Rt△AEG中，=tan30°，解得，x==4.05米，∴AB=1.6+4.05=5.65米．答：旗杆AB的高度为5.65米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．15．如图，小华在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进30米到达C处，又测得顶部E的仰角为60°，求大楼EF的高度.（结果精确到0.1米，参考数据=1.732）【答案】大楼EF的高度约为27.5米．【分析】根据三角形的外角的性质求出∠DEB=30°，根据等腰三角形的性质求出DE，再解直角三角形求出EG即可．【详解】解：∵∠EDG=60°，∠EBG=30°，

∴∠DEB=30°，∴∠EBG=∠DEB，

∴DE=DB=30米，在Rt△EDG中，，，∴EF=25.98+1.5≈27.5，

答：大楼EF的高度约为27.5米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．如图，王刚想测量楼CD的高度，楼在围墙内，王刚只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是王刚在A处仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方向前进30米至B处，测得楼顶的仰角为53°（A，B，C三点在一条直线上），求楼CD的高度（，，结果精确到1米，王刚的身高忽略不计）．【答案】楼CD的高度为52米【分析】设CD=xm，根据AC=BC-AB，构建方程即可解决问题；【详解】解：设CD=xm，在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AC=，同法可得：BC=，∵AC—BC=AB，∴﹣=30，解得x=52，答：楼CD的高度为52米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．17．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯