初中数学专题《网格中的余弦》含答案

初中专题15网格中的余弦【小题热身】1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（） B．C． D．2．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的余弦值为（） B．C． D．23．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（） B．C．1 D．4．如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是（） B．C． D．5．如图，在的正方形网格中，经过格点，，，点是上任意一点，连接，，则的值为（） B．C． D．6．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的余弦值为（）A．1 B．C． D．7．如图，在边长为的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则() B．C． D．8．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则cosα＝() B．C． D．9．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cosα=（）A．B．C．D．10．如图，网格中小正方形的边长都为1，点A，B，C在正方形的顶点处，则cos∠ACB的值为() B．C． D．【磨刀霍霍】11．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为_____．12．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，与相交于点P，则的值是________．13．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠BOD＝_____．

14．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD=___．15．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于_____．16．如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，如图所示，则=______.17．如图，在的正三角形的网格中，的三个顶点都在格点上．请按要求画图和计算：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．（1）在图1中，画出的边上的中线．（2）在图2中，求的值．18．在如图所示的10×5网格中仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：

（1）画格点P，使；（2）画的高；（3）将线段绕点A逆时针旋转得到线段，画出线段；（4）在上述条件下，直接写出的值．初中专题15网格中的余弦【小题热身】1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，利用勾股定理求出AB的长，再根据公式计算即可．【详解】解：作AD⊥BC于D，由图可知：AD=3，BD=3，在Rt△ABD中，，∴=，故选：B．【点睛】此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余弦值公式是解题的关键．2．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的余弦值为（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】直接延长CB，交格点于点M，连接AM，进而利用勾股定理逆定理得出△AMC是直角三角形，进而求出答案．【详解】解：延长CB，交格点于点M，连接AM，∵AM2=2，CM2=8，AC2=10，∴AM2+CM2=AC2，且∴△AMC是直角三角形，∴∠ACB的余弦值为：．故选：C．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键．3．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】连接BC，AB=，BC=，AC=，得到△ABC是直角三角形，从而求解．【详解】如图，连接，∵每个小正方形的边长均为1，∴由勾股定理得，，，∵，∴△ABC是直角三角形，∴．故选：B．【点睛】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．4．如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取AC上小正方形对角线CD的端点D，连结BD，BD为小正方形的对角线，利用勾股定理逆定理可得∠CDB=90°，由勾股定理AB=，AD=，根据余弦定义求cos∠CAB=即可．【详解】解：取AC上小正方形对角线CD的端点D，连结BD，∵BD为小正方形的对角线，∴BD=，∵CD是小正方形对角线，∴CD=，∵BD2+CD2=2+2=4=BC2，∴∠CDB=90°，∴∠ADB=90°，由勾股定理AB=，AD=，cos∠CAB=．故选择：B．【点睛】本题考查网格中直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，掌握网格中直角三角形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义是解题关键．5．如图，在的正方形网格中，经过格点，，，点是上任意一点，连接，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接AC，结合圆周角定理和锐角三角函数的定义求解．【详解】解：连接AC，∵经过格点，，，∴∠ABC=90°，∴AC是的直径，在Rt△ABC中，AC=∴故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理和锐角三角函数，理解格点特征，掌握圆周角定理和余弦的概念是解题关键．6．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的余弦值为（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】如图，取格点E，连接AE、BE，根据正方形的性质可得∠AED=∠DEB=45°，∠DBE=∠BDC=45°，即可得出∠AEB=90°，PC//BE，根据平行线的性质可得∠ABE=∠APD，在Rt△ABE中根据余弦的定义即可得答案．【详解】如图，取格点E，连接AE、BE，∵边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，∴∠AED=∠DEB=45°，∠DBE=∠BDC=45°，∴∠AEB=90°，PC//BE，∴∠ABE=∠APD，设网格中的小正方形的边长为1，∴BE=，AB=，∴的余弦值为=，故选：C．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形并熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．7．如图，在边长为的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点，则()A． B． C． D．【答案】B【分析】通过添加辅助线构造出后，将问题转化为求的值，再利用勾股定理、锐角三角函数解即可．【详解】解：连接、，如图：∵由图可知：∴，∴∵小正方形的边长为∴在中，，∴∴．故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．8．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则cosα＝()A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求cosα的值.【详解】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即AC2+(7+AC)2＝132，整理得，AC2+7AC﹣60＝0，解得AC＝5，AC＝﹣12(舍去)，∴BC＝，∴cosα＝，故选：A.【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解直角三角形，掌握勾股定理的证明，解直角三角形是解题的关键.9．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cosα=（）A．B．C．D．【答案】A【分析】过点D作DE⊥l1于点E并反向延长交l4于点F，根据同角的余角相等求出∠α=∠CDF，根据正方形的每条边都相等可得AD=DC，然后利用“AAS”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再利用勾股定理列式求出AD的长度，然后根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥l1于点E并反向延长交l4于点F，在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，∵∠α+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDF=180°-90°=90°，∴∠α=∠CDF，在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴DF=AE，∵相邻两条平行直线间的距离都是1，∴DE=1，AE=2，根据勾股定理得，AD===，所以，cosα===．故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，作辅助线，构造出全等三角形以及∠α所在的直角三角形是解题的关键．10．如图，网格中小正方形的边长都为1，点A，B，C在正方形的顶点处，则cos∠ACB的值为()A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，作DE⊥BC于点E，分别利用勾股定理求出BC、CD的长度，利用面积法求出DE的长度，再利用勾股定理求出CE的长，然后可求出cos∠ACB的值．【详解】如图，作DE⊥BC于点E.由勾股定理得，,,∵,∴,∴,∴,∴.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理，余弦函数的定义及面积法求线段的长，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用面积法求出线段DE的长．【磨刀霍霍】11．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为_____．【答案】【分析】如图，找出格点D、E，连接CD、AD，易知△ACD是直角三角形，A、C、E三点共线，然后勾股定理逆定理可判断△AEB是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：如图，找出格点D、E，连接CD、AD，易知△ACD是直角三角形，∴A、C、E三点共线，连接BE，由勾股定理可知：AB2=1+9=10，AE2=1+1=2，BE2=4+4=8，∴AB2=AE2+BE2，∴△ABE是直角三角形，∴cos∠BAC===，故答案为.【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识．12．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，与相交于点P，则的值是________．【答案】【分析】将CD向左平移1个单位后至AE，并连接BE，运用勾股定理的逆定理判断出△ABE是等腰直角三角形，从而得出∠BAE=45°，即可得出结论．【详解】解：如图所示，将CD向左平移1个单位后至AE，并连接BE，则∠BPD=∠BAE，设正方形网格边长为1，则，，，∵，，∴△ABE是等腰直角三角形，∠BAE=45°，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查求角的余弦值，综合了平移，以及勾股定理的逆定理等，能够通过平移并判断出直角三角形是解题关键．13．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠BOD＝_____．

【答案】【分析】设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，由点C为AF的中点、点E为BF的中点可得出，进而可得出∠BOD＝∠DCE，在△DCE中，由DC2＝CE2＋DE2可得出∠DEC＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠BOD的值，此题得解．【详解】解：设左下角顶点为点F，取BF的中点E，连接CE，DE，如图所示．

∵点C为AF的中点，点E为BF的中点，∴，∴∠BOD＝∠DCE，在△DCE中，DC＝，DE＝2，CE＝，∵DC2＝CE2＋DE2，∴∠DEC＝90°，∴cos∠DCE＝＝∴cos∠BOD＝故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键．14．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD=___．【答案】【分析】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2＋BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．【详解】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．

∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，

∴BE∥CD，

∴∠AOD＝∠ABE．

在△ABE中，AB＝，AE＝2，BE＝，

∵AB2＝AE2＋BE2，

∴∠AEB＝90°，

∴cos∠ABE＝＝

∴cos∠AOD＝

故答案为.【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键．15．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于_____．【答案】【分析】连接MN．设小正方形的边长1．利用相似三角形的性质证明∠CPN=45°即可解决问题．【详解】解：连接MN．设小正方形的边长1．∵△MNF是等腰直角三角形，∴∠FMN＝∠FNM＝45°，∴∠AMN＝∠MNC＝135°，∵MN＝，AM＝2．CN＝1，∴＝＝，∴△ANM∽△MCN，∴∠MAN＝∠CMN，∵∠NMF＝∠MAN+∠ANM＝45°，∴∠CPN＝∠PMN+∠PNM＝45°，∴cos∠CPN＝，故答案为．【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．16．如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，如图所示，则=______.【答案】.【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【详解】给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°．同理，可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，∴，∴cos（α+β）=．故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．17．如图，在的正三角形的网格中，的三个顶点都在格点上．请按要求画图和计算：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．（1）在图1中，画出的边上的中线．（2）在图2中，求的值．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）利用平行四边形的性质分别作出AB、AC的中点E、F，再利用三角形重心的性质即可作出△ABC的BC边上的中线AD；（2）利用平行线的性质可得∠AEC=∠FDC，再利用菱形及等边三角形的性质可求得DH、CH的长，继而求得CD的长，从而求得答案．【详解】（1）如图，线段AD就是所求作的中线；（2）如图：在的正三角形的网格中，∵MN∥AB∥FD，∴∠AEC=∠FDC，∵四边形CMGN为菱形，且边长为5，∴CG⊥MN，∴CG⊥FD，，∴CG=2OG=5，∵△GFD为等边三角形，且边长为2，同理：HG=，∴在Rt△CDH中，∠CHD=90，DH=1，CH=CG-HG=4，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查了作图-