2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第五节 指数函数

第三章函数与基本初等函数第五节指数函数课标解读考向预测1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．2．会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象和单调性等常考知识点．在近三年的高考中，考查了指数型函数的图象和性质，或与分段函数结合，以选择题或填空题的形式出现．预计2026年高考可能会考查利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用，题型为选择题或填空题，难度中档.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础a>10<a<1图象定义域R指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质值域_________性质图象过定点_______，即当x＝0时，y＝1当x>0时，______；当x<0时，______当x<0时，____；当x>0时，______在(－∞，＋∞)上是______在(－∞，＋∞)上是______(0，＋∞)(0，1)y>10<y<1y>10<y<1增函数减函数×√√√(2)(人教A必修第一册4.2.2探究改编)函数y＝2x＋1的图象是(

)(3)(人教A必修第一册习题4.2T10改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．(4)(人教B必修第二册4.1.2尝试与发现改编)已知函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝n－mx的图象不经过第________象限．2三考点探究—提素养指数函数的图象及其应用(2)(2025·湖南长沙模拟)若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象，可由指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

1.函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是(

)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(

)A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小解析：解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数φ(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D.解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D.比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．

(1)解指数方程的依据：af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．(4，＋∞)5．不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．[1，＋∞)考向3与指数函数有关的复合函数问题(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．解析：设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(0，3][－2，＋∞)解决与指数函数有关的复合函数问题时，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2×9x＋4×3x，则下列结论中正确的是(

)A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6(－∞，－1]考向4指数函数性质的综合应用(2025·浙江杭州模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x>0，且x≠1}，函数f(x)＝ax＋λa－x(a>0，且a≠1)，则(

)A．∀λ∈M，∃a∈N，f(x)为增函数

B．∃λ∈M，∀a∈N，f(x)为减函数C．∀λ∈M，∃a∈N，f(x)为奇函数

D．∃λ∈M，∀a∈N，f(x)为偶函数解析：当λ＝1时，f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)，f′(x)＝axlna－a－xlna＝(ax－a－x)lna＝a－x(a2x－1)lna．因为a－x>0，若0<a<1，则lna<0，当x∈(0，＋∞)时，a2x－1<0，所以f′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，a2x－1>0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；若a>1，则lna>0，当x∈(0，＋∞)时，a2x－1>0，所以f′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，a2x－1<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以不存在a∈N，使得f(x)为增函数，故A错误．当λ＝－1时，f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，当a>1时，f(x)单调递增，故B错误．当λ＝1时，f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)，因为f(－x)＝a－x＋ax＝f(x)，所以f(x)＝ax＋a－x为偶函数，所以不存在a∈N，使得f(x)为奇函数，故C错误，D正确．故选D.

指数函数综合问题的处理策略(1)涉及单调性的问题，一定要注意底数对指数函数单调性的影响．(2)涉及值域(或最值)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的值域(或最值)．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考向指数函数的性质及应用指数函数的图象及应用指数函数的解析式指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的图象及应用指数函数的性质及应用指数函数的图象及应用考点解简单的指数不等式由指数型函数的解析式求值比较指数式的大小由指数函数的单调性求参数的值与指数函数有关的复合函数问题解简单的指数不等式利用图象比较大小指数函数性质的综合应用利用图象比较大小题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用考点与指数函数有关的抽象函数问题解简单的指数方程由函数的值域求参数的取值范围解简单的指数不等式指数函数性质的综合应用与指数函数有关的复合函数问题与指数函数有关的复合函数问题与指数函数有关的单调性问题与指数函数有关的新定义问题2．(2025·湖南长沙一中模拟)函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(

)解析：因为函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)，当a>1时，y＝ax是增函数，且图象恒过定点(0，1)，又因为f(x)＝ax－a的图象在y＝ax的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当0<a<1时，y＝ax是减函数，且图象恒过定点(0，1)，又f(x)＝ax－a的图象在y＝ax的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误．故选C.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)解析：当x>0时，－x<0，f(－x)＝2－2x＝－(2x－2)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x－2＝－(2－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a)>f(－a)＝－f(a)，即f(a)>0，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得，实数a的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.10．已知实数a，b满足3a＝6b，则下列关系式可能成立的是(

)A．a＝b B．0<b<aC．a<b<0 D．1<a<b解析：由题意，在同一直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以A可能成立；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，所以B可能成立；当0<k<1时，若3a＝6b＝k，则a<b<0，所以C可能成立．故选ABC.三、填空题12．指数方程4x－6×2x－16＝0的解是________．解析：∵4x－6×2x－16＝(2x)2－6×2x－16＝0，∴2x＝－2(舍去)或2x＝8，解得x＝3.x＝313．若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为________．解析：令g(x)＝|2x－a|，由题意，得g(x)的值域为[0，＋∞)，又y＝2x的值域为(0，＋∞)，所以－a<0，解得a>0.(0，＋∞)解析：当a≥0时，结合图象可得f(x)≤f(2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a<0时，2－a>2a，由于f(x