2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课标解读考向预测1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．近三年高考主要考查了直线与圆有公共点求参数的取值范围、直线与圆相切以及弦长最值问题，主要以选择题、填空题的形式出现，常结合基本不等式、函数等知识考查最值．预计2026年高考本部分内容仍会考查，以选择题或设问方式为开放性的填空题为主，难度中档．必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ____0Δ____0Δ____0几何观点d____rd____rd____r<＝>>＝<位置关系图形几何法公切线条数外离d>r1＋r2四条外切d＝r1＋r2三条2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)相交|r1－r2|<d<r1＋r2两条内切d＝|r1－r2|一条内含0≤d<r1－r2无1．圆的切线方程常用的结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(3)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．题组一走出误区——判一判(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(

)(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(

)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(

)(4)在圆中最长的弦是直径．(

)×√√√题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题2．5T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(

)A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离(2)(人教A选择性必修第一册2．5．2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是(

)A．外离 B．外切C．相交 D．内切(3)(人教A选择性必修第一册习题2．5T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是__________________．(x－3)2＋(y＋1)2＝1(4)(人教B选择性必修第一册习题2．3．3例3(2)改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0．若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为_________．y＝x＋1考点探究—提素养直线与圆的位置关系

(1)(2025·甘肃张掖模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(

)A．相交

B．相切C．相离

D．不确定(2)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r的值为________．(3)(2025·浙江宁波模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为______．3

1．判断直线与圆的位置关系的常用方法特别地，对于过定点的直线，若定点在圆内部，则可判定直线与圆相交；若定点在圆上，则可判定直线和圆有公共点．2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离问题求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t．如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t．由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t．若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t．

1．(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为______________．圆的弦长、切线问题(多考向探究)5

求直线被圆截得的弦长的两种方法(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k．注意验证斜率不存在的情况．3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．

5．已知圆M过点A(1，3)，B(1，－1)，C(－3，1)，则圆M在点A处的切线方程为(

)A．3x＋4y－15＝0 B．3x－4y＋9＝0C．4x＋3y－13＝0 D．4x－3y＋5＝06．(2025·陕西西安一中高三开学考试)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为______．圆与圆的位置关系

(1)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为(

)A．相交 B．相离C．外切 D．内切(3)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________________________________________________________．x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(写出其中一个即可)

(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．

7．圆C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0公切线的条数为(

)A．1 B．2C．3 D．4课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考向直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆的弦长、切线问题圆的弦长、切线问题圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系；圆的弦长、切线问题考点判断直线与圆的位置关系由直线与圆的位置关系求参数的取值范围弦长问题切线问题两圆的公切线；由圆与圆的位置关系求参数的取值范围由直线与圆的位置关系求参数的取值范围判断直线与圆的位置关系；两圆的公切线由两圆的位置关系求参数；两圆的公共弦问题判断直线与圆的位置关系；弦长问题题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆的弦长、切线问题圆的弦长、切线问题直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系圆的弦长、切线问题考点两圆的公切线；两圆的公共弦判断圆与圆的位置关系；两圆的公共弦问题判断圆与圆的位置关系由直线与圆的位置关系求参数两圆的公切线切线问题；弦长问题弦长问题判断直线与圆的位置关系；判断圆与圆的位置关系切线问题一、单项选择题1．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＝0，直线l：2x－y－1＝0，则直线l与圆C的位置关系是(

)A．相交

B．相切C．相离

D．相交且直线过圆C的圆心2．(2025·浙江宁波模拟)已知直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－2x－m＝0相离，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，1) B．(－1，1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)三、填空题12．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5．因为|C1C2|>r1＋r2，所以圆C1与圆C2外离．又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．81(答案不唯一)x＝2或5x＋12y－26＝0(写出一个即可)四、解答题15．(2025·辽宁大连高三月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2