高级结构力学1134

绪

论结构的概念及结构力学的研究对象与任务结构的简化荷载的简化及分类结构力学的学习要求与学习方法01020304CONTENTPART01结构的概念及结构力学的研究对象与任务0.1.1结构的概念所谓结构，是指建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分，如房屋建筑中的梁柱体系（见图0-1）、道路工程中的桥梁（见图0-2）和隧洞、水利工程中的水坝和渡槽等。0.1.1结构的概念工程中结构的形式多种多样，根据在空间的几何形状，可将结构分为以下三种。（1）实体结构。（3）杆件结构。（2）板壳结构。0.1.2结构力学的研究对象与任务结构力学的研究对象以杆件结构为主，结构力学中的结构通常指的是杆件结构。力学的任务是根据力学原理研究在荷载等外界因素作用下物体的力学性能，如理论力学讨论物体机械运动的基本规律，材料力学讨论构件的强度、刚度、稳定性等问题。0.1.2结构力学的研究对象与任务结构力学的任务是研究在荷载等外界因素作用下结构的内力和变形，讨论结构的强度、刚度、稳定性和动力响应，以及结构的组成规律，具体包括以下三个方面：（1）讨论结构的组成规律和合理形式，以及结构计算简图的合理选择。（3）讨论结构在动力荷载作用下的动力响应及结构的稳定性。（2）讨论结构内力和变形的计算方法，进行结构的强度和刚度验算。PART02结构的简化0.2.1由实际结构到计算简图在实际工程中，结构的形式多种多样，完全按照结构的真实情况进行力学分析比较困难。在对实际结构进行力学计算以前，应对结构加以分析，抓住主要特征，略去次要因素，用一个简化的图形来代替实际结构，这种图形称为结构的计算简图。对实际结构进行简化，使计算简图能反映实际结构的主要性能，同时便于计算，是力学分析的基础和工程应用的关键。结构计算简图的抽象包括材料的简化、结构的简化、荷载的简化。0.2.1由实际结构到计算简图在结构计算中，一般假设构件的材料为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。上述假设在小变形条件下，对于金属材料是符合实际情况的，对于混凝土、砖石等材料近似满足，对于木材等具有纹理性质的材料有较大误差。一般结构都是空间结构，各部分相互连接成为一个空间体系，以承受各个方向的荷载。在多数情况下，常忽略一些次要约束而将实际结构分解为平面结构，或将结构简化到特征面上讨论，使计算得以简化。本教材主要讨论平面结构的计算问题，对空间结构只做简略介绍。0.2.2平面结构的简化1.杆件的简化杆件的截面尺寸（宽度、高度）一般比杆件的长度小得多，截面上的应力根据截面的内力（弯矩、轴力、剪力）来确定。因此，在计算简图中，杆件用其轴线来表示，杆件间的连接区用结点来表示，杆长用结点间的距离来表示，而荷载的作用点也平移到轴线上。当杆件的截面尺寸较大（超过长度的1/4）时，杆件的简化存在较大的误差。0.2.2平面结构的简化2.杆件间连接的简化杆件间的连接区简化为结点。结点通常简化为以下两种形式：（1）刚结点。图0-3（a）为现浇钢筋混凝土梁柱连接点，被连接的杆件在连接处既不能产生相对移动，也不能相对转动，即杆件间不仅可以传递力，也可以传递力矩。这种情况可简化为图0-3（b）所示的刚结点。2）铰接点。图0-4（a）为木屋架的连接点，被连接的杆件在连接处不能产生相对移动，可以发生微小的相对转动，即杆件间只能传递力，不能传递力矩。这种情况可简化为图0-4（b）所示的铰接点。0.2.2平面结构的简化0.2.2平面结构的简化3.结构与基础间连接的简化结构与基础的连接区简化为支座。按其受力特征，一般简化为以下四种情形：（1）固定支座。结构被基础完全固定［见图0-5（a）］，结构既不能移动，也不能转动，基础对结构施加三个约束反力Fx、Fy和M。固定支座在计算简图中可按图0-5（b）表示。0.2.2平面结构的简化（2）铰支座。结构被支承的部分相对基础不能移动，但可以转动［见图0-6（a）］，基础能提供两个反力Fx和Fy。铰支座在计算简图中用两根相交的支杆来表示，如图0-6（b）所示。0.2.2平面结构的简化（3）滚轴支座。结构被支承的部分相对基础可以转动和水平移动，不能竖向移动［见图0-7（a）］，基础所提供的反力只有竖向反力Fy。滚轴支座在计算简图中用一根支杆来表示，如图0-7（b）所示。0.2.2平面结构的简化（4）定向支座。结构被支承的部分相对基础不能转动，但可沿一个方向平行滑动［见图0-8（a）］，基础只能提供反力矩M和一个反力Fy。定向支座在计算简图中用两根平行支杆来表示，如图0-8（b）所示。在实际结构中，如果基础的约束能力达不到上述理想状态，则在被限制的方向上可产生部分位移，且约束反力与位移量有关，构成弹性支座。0.2.3杆件结构的分类1.按受力和变形特性分类12345（1）梁。梁可以是单跨的，也可以是多跨的［见图0-9（a）］。（3）桁架。桁架是由直杆组成的结构［见图0-9（c）］，其所有结点都为铰接点。（5）拱。拱轴线多为曲线，其力学特点是在竖向荷载作用下能产生水平支座反力（推力），截面内既有弯曲内力，又有轴向力，如图0-9（e）所示。（2）刚架。刚架是由梁和柱组成的结构［见图0-9（b）］，其结点通常为刚结点。（4）组合结构。组合结构是由桁架和梁或刚架组合在一起而形成的结构［见图0-9（d）］，其中含有组合结点。0.2.3杆件结构的分类0.2.3杆件结构的分类2.按几何特性分类按几何特性，杆件结构可分为平面结构和空间结构。在平面结构中，各杆的轴线和外力的作用线都在同一平面内，图0-10为一平面桁架结构。若各杆轴线和外力作用线不在同一平面内，则此结构称为空间结构，图0-11为一空间刚架结构。大多数结构在设计中通常是按平面结构进行计算的。在有些情况下，必须考虑结构的空间效应。0.2.3杆件结构的分类按计算特性，杆件结构可分为静定结构和超静定结构。如果结构的杆件内力（包括反力）可由平衡条件唯一确定，则此结构称为静定结构。如果杆件内力不能由平衡条件唯一确定，而必须同时考虑变形条件才能唯一确定，则此结构称为超静定结构。3.按计算特性分类0.2.4结构简化实例如图0-1所示的屋架结构，上部物体的重力荷载通过椽条和檩条作用在屋架上，当进行重力作用分析时，可以将结构和荷载简化到平面内。若结构由木结构构成，则特征面内的计算简图如图0-10所示。若为现浇混凝土结构，则结构可简化为图0-12所示的形式，但这样计算就复杂得多。0.2.4结构简化实例如图0-2所示的桥梁结构，因为结构和荷载有一个对称面，所以既可以将结构简化到对称面上进行分析，也可以取半结构在平面内进行分析，其计算模型可以简化为图0-13所示的形式。PART03荷载的简化及分类0.3.1荷载的简化结构承受的荷载可分为体积力和表面力两大类。体积力是指其他物体作用于结构中每点的力，如重力、惯性力等；表面力是指由其他物体通过接触面传递给结构的作用力，如土压力、车辆的车轮压力等。在杆件结构中把杆件简化为轴线，因此不管是体积力还是表面力，都可以简化为作用在杆件轴线上的力。荷载按其分布情况可简化为集中荷载和分布荷载。0.3.2荷载的分类恒载活载恒载是指长期作用在结构上的不变荷载，如结构的自重或土压力。活载是指在建筑物施工和使用期间短期存在的荷载，如楼面荷载、吊车荷载、风荷载和雨雪等屋顶荷载等。VS1.按荷载作用时间的长短分类0.3.2荷载的分类2.按荷载作用的位置分类（1）固定荷载。进行结构计算时，恒载和大部分活载（如雪荷载、风荷载）在结构上作用的位置可以认为是固定的，这种荷载称为固定荷载。（2）移动荷载。有些活载在结构上的位置是移动的，如吊车梁上的吊重、桥梁上的车辆，这种荷载称为移动荷载。0.3.2荷载的分类3.按荷载作用的性质分类（1）静力荷载。静力荷载的量值、方向和位置不随时间变化或变化极为缓慢，不使结构产生显著的加速度，因而惯性力的影响可以忽略。（2）动力荷载。动力荷载是随时间迅速变化或在短暂时段内突然作用或消失的荷载，使结构产生显著的加速度，因而惯性力的影响不能忽略。PART04结构力学的学习要求与学习方法0.4.1结构力学的学习要求分析能力1234计算能力判断能力自学能力分析能力是指对常用的杆件结构具有选择计算简图的初步能力，并能根据具体问题选择恰当的计算方法。计算能力是指具有对各种静定、超静定结构进行计算的能力，初步具有使用结构计算程序的能力。判断能力是指具有对计算结果进行校核、对内力分布的合理性作出定性判断的能力。自学能力是指具有自学和阅读结构力学教学参考书的能力。0.4.2结构力学的学习方法多摄取，厚积薄发多设问，深思解惑学习中要多提问，多提问能促进多思考，多思考能出大智慧。多练习，“实用”创新010203有人把人脑比作笔记本，学习知识应“由薄到厚，再由厚到薄”。学习是“学”和“习”的全过程，所谓“习”，就是实践，也就是应用。演示完毕谢谢观看第1章平面体系的几何构成分析几何构成分析的几个概念几何不变体系的组成规律计算自由度与复约束几何构成分析示例01020304CONTENTPART01几何构成分析的几个概念1.1.1刚体与变形体2.变形体变形体是指在外力作用下发生形状变化的构件或结构。实际结构构件都是变形体。1.刚体刚体是指在外力作用下不发生形状变化的理想构件或结构。刚体是理论上的理想构件，形状不变是相对的。在平面体系中，刚体又被称为刚片。注意：本章只分析结构的几何构成性质，不涉及外力，因此将构件视为刚体。1.1.2几何不变体系与几何可变体系1.三角形的稳定性图1-1（a）为由杆AC、杆BC和基础三个刚片两两铰接组成的三角形，C点既在杆AC上，又在杆BC上。假设基础不动，分析C点的运动状态。当只有杆AC，没有杆BC时，C点将以A点为圆心，以AC为半径转动，运动轨迹为Ⅰ；当只有杆BC，没有杆AC时，C点将以B点为圆心，以BC为半径转动，运动轨迹为Ⅱ；当杆AC和杆BC同时存在时，C点应该沿轨迹Ⅰ和轨迹Ⅱ的共同部分运动，而轨迹Ⅰ与轨迹Ⅱ交于C点，故C点为不动点，如图1-1（b）所示。因此，铰接组成的△ABC具有稳定性。1.1.2几何不变体系与几何可变体系2.几何不变体系在外部因素作用下，由刚片组成的体系不发生杆件位置和体系形状的改变，这样的体系称为几何不变体系，如图1-1（a）所示。3.几何可变体系在外部因素作用下，由刚片组成的体系可发生杆件位置和体系形状的改变，这样的体系称为几何可变体系，如图1-2所示。1.1.3自由度自由度是指刚片或由刚片组成的体系所具有的独立运动方式的个数或确定体系位置所需的独立坐标的数目。1.点的自由度在平面内，一个点有两个自由度。如图1-3（a）所示，A点移动到A′点可以通过Δx和Δy两种运动方式或两个独立坐标参数来描述。2.刚片的自由度在平面内，一个刚片有三个自由度。如图1-3（b）所示，刚片从AB移动到A′B′可以通过Δx、Δy和θ三种运动方式或三个独立坐标参数来描述。1.1.3自由度1.1.4约束1.链杆一根链杆相当于一个约束。如图1-4所示，刚片在平面内有三个自由度，在A点加一根链杆与基础相连，当钢片从AB变化到A′B′时，可以理解为有一个水平位移后又有一个转角；也可以理解为既绕O点转动，又绕A点转动。可见，链杆约束后刚片还有两个自由度，因此一根链杆起到了一个约束的作用。1.1.4约束2.铰接点一个铰接点相当于两个约束。如图1-5所示，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ由铰O连接，连接前，一个刚片的自由度为3，两个刚片的自由度为6，经铰连接后，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ共同运动，同时刚片Ⅰ和刚片Ⅱ可以发生绕O点的相对转动，则自由度为3+1=4。因此，一个铰的约束数量为6－4=2，一个铰相当于两个约束。1.1.4约束3.刚结点一个刚结点相当于三个约束。如图1-6所示，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ经刚结点A连接后形成一个新的刚片，可以完全共同运动，因此，自由度由6降为3，表明一个刚结点的约束数量为3。1.1.4约束4.虚铰如图1-7（a）所示，刚片Ⅰ相对于基础有三个自由度，当刚片Ⅰ与基础由两根链杆相连时，每根链杆相当于一个约束，则刚片Ⅰ相对于基础还有一个自由度。由于B点既在刚片Ⅰ上又在杆AB上，所以B点的运动方向垂直于杆AB。同理，D点的运动方向也垂直于杆CD。因此，刚片Ⅰ相对于基础的运动为绕着链杆AB和链杆CD的交点O转动，称O点为虚铰。在刚片Ⅰ的转动过程中，链杆AB和链杆CD的角度发生变化，交点O的位置也随之变化，所以O点也称为瞬铰。1.1.4约束1.1.4约束如图1-7（b）所示，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ由链杆AB及链杆CD连接，刚片Ⅰ相对于刚片Ⅱ仍为绕O点转动，O点为虚铰。如图1-7（c）所示，当连接刚片Ⅰ和刚片Ⅱ的链杆AB与链杆CD在O点有交叉时，O点为虚铰。如图1-7（d）所示，当连接刚片Ⅰ和刚片Ⅱ的链杆AB与链杆CD平行时，可视为在无穷远处形成虚铰。从约束效力上看，由两根链杆组成的虚铰等同于实铰，可减少两个自由度，相当于两个约束。反过来说，一个实铰也可以用两根链杆来代替。1.1.5多余约束和必要约束如果体系增加或去掉约束后自由度不变，这样的约束称为多余约束。如图1-8（a）所示，刚片AB由铰A及链杆1与基础相连接。连接前，钢片AB相对于基础有三个自由度；连接后，体系的自由度为零。如图1-8（b）所示，增加了链杆2，体系的自由度仍然为零，则称链杆2为一个多余约束。如果体系增加或去掉约束后自由度发生改变，这样的约束称为必要约束。显然图1-8（b）所示的体系中，水平链杆为必要约束，而三根竖向链杆中的任意一根都可被视为多余约束。1.1.6几何瞬变体系在某一特定位置满足几何可变体系的条件，但经微量运动后，成为几何不变体系，这样的体系称为几何瞬变体系。如图1-9（a）所示，A点在平面中相对于基础有两个自由度，由链杆AB和链杆AC与基础相连，此时三个铰在一条直线上。当只有链杆AB，没有链杆AC时，A点以链杆AB为半径绕B点转动，运动轨迹为Ⅰ；当只有链杆AC，没有链杆AB时，A点以链杆AC为半径绕C点转动，运动轨迹为Ⅱ；当链杆AB和链杆AC同时存在时，A点应该在轨迹Ⅰ和轨迹Ⅱ的共同部分运动，而轨迹Ⅰ和轨迹Ⅱ正好在A点相切［见图1-9（b）］，则A点可以沿切线方向有一个微量运动，微量运动后，组成铰接三角形，成为几何不变体系，如图1-9（c）所示。1.1.6几何瞬变体系1.1.6几何瞬变体系

PART02几何不变体系的组成规律1.2.1点与刚片的连接规律1：一个点与一个刚片由不共线的两根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图1-10所示，点B与刚片Ⅰ由链杆AB和链杆BC相连组成几何不变体系。它的本质是在铰接三角形中，将其中的一根链杆视为刚片Ⅰ。如图1-10所示的不共线的链杆AB和链杆BC，称为二元体。在一个体系上加二元体或减二元体不影响这个体系的几何构成性质。在规律1中强调两根链杆不共线，实质上是为了避免出现瞬变体系。1.2.2两个刚片之间的连接规律2：两个刚片由一个铰和一根链杆相连，且三个铰不共线，组成无多余约束的几何不变体系。如图1-11所示，刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由铰A及链杆1相连组成几何不变体系，它的本质是在铰接三角形中，将其中的两根链杆改为刚片。规律2中强调的三个铰不共线与规律1中强调的两根链杆不共线说的是同一个问题。1.2.2两个刚片之间的连接推论1：两个刚片由不完全平行也不全交于一点的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图1-12所示，刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由链杆1、链杆2和链杆3相连组成无多余约束的几何不变体系。这里相当于用瞬铰的概念将图1-11中的铰A替换为链杆2和链杆3。1.2.2两个刚片之间的连接在推论1中强调三根链杆不完全平行。三根链杆平行分为以下两种情况：情况1：三根链杆不完全等长，但平行。如图1-13（a）所示，假设刚片Ⅱ不动，由于链杆1、2、3平行，则刚片Ⅰ可以产生水平运动；如图1-13（b）所示，当产生一个微小的水平位移后，链杆1、2、3则不再保持平行，原体系变为几何不变体系，因此原体系为瞬变体系。情况2：三个链杆等长且平行。如图1-14（a）所示，假设刚片Ⅱ不动，则刚片Ⅰ可以发生水平运动；如图1-14（b）所示，当产生一个微小位移后，链杆1、2、3仍然保持平行，刚片Ⅰ还可继续做水平运动，因此该体系为常变体系。1.2.2两个刚片之间的连接1.2.2两个刚片之间的连接在推论1中强调三根链杆不能交于一点。如图1-15（a）所示，由于链杆1、2、3交于O点，假设刚片Ⅱ不动，则刚片Ⅰ可以绕O点转动；如图1-15（b）所示，当发生微小转动后，链杆1、2、3不再交于同一点，则体系为瞬变体系。1.2.3三个刚片之间的连接规律3：三个刚片由不共线的三个铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。如图1-16（a）所示，三个刚片由铰A、铰B和铰C相连组成几何不变体系。它的本质是将铰接三角形中的三根杆均视为刚片。推论2：根据连接两个刚片的两根链杆可以组成一个虚铰的条件，三个刚片之间可以由两个铰和两根链杆、一个铰和四根链杆或六根链杆相连，分别如图1-16（b）、（c）、（d）所示。此时，特别注意虚铰的相互位置。1.2.3三个刚片之间的连接1.2.3三个刚片之间的连接对于推论2，应特别注意虚铰在无穷远处时的特性。（1）如图1-17（a）所示，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ由两根平行的链杆相连，虚铰为OⅠⅡ。当铰A与铰B的连线与OⅠⅡ同方向时，为瞬变体系；否则为无多余约束的几何不变体系。（2）如图1-17（b）所示，虚铰OⅠⅡ、OⅠⅢ和OⅡⅢ都在无穷远处，可理解为三铰共线于无穷远处，为瞬变体系。（3）如图1-17（c）所示，虚铰OⅠⅢ与OⅡⅢ都在无穷远处，但方向不同，而虚铰OⅠⅡ不在无穷远处，可理解为三铰不共线，为无多余约束的几何不变体系。1.2.3三个刚片之间的连接PART03计算自由度与复约束1.3.1计算自由度1.计算自由度的公式计算自由度是对体系进行几何构成分析的辅助工具，是将各研究对象的自由度总数减去全部约束总数而得到的。计算自由度=各研究对象的自由度之和－全部约束的数量（1-1）（1）选择刚片为研究对象。在平面杆件体系中，若刚片和刚片之间、刚片和基础之间通过链杆、铰接点和刚结点进行连接，则可按式（1-2）得到计算自由度。W=3m-(r1+2r2+3r3) （1-2）1.3.1计算自由度式中，W为计算自由度；m为自由度为3的刚片的数量；r1为约束为1的简单链杆的数量；r2为约束为2的简单铰接点或铰支座的数量；r3为约束为3的简单刚结点或固定支座的数量。（2）选择点为研究对象。在平面杆件体系中，若所有杆件之间均视为铰接，则可按式（1-3）得到计算自由度。W=2j－r1 （1-3）式中，W为计算自由度；j为铰接点的数量；r1为简单链杆的数量。1.3.1计算自由度2.计算自由度的三种情况体系的计算自由度与实际自由度既有联系又有不同，在式（1-2）和式（1-3）中没有考虑局部有多余约束的情况。对于如图1-18所示的体系，利用式（1-2）得到的计算自由度为W=3×2－(1＋2×1＋3)=01.3.1计算自由度但图1-18（a）为无多余约束的几何不变体系；图1-18（b）为几何可变体系，由于在AB段有多余约束，因此BC段为可变体系。1.3.1计算自由度如图1-19所示，图1-19（a）为无多余约束的几何不变体系，图1-19（b）为有一个多余约束的几何不变体系，图1-19（c）为有两个多余约束的几何不变体系，图1-19（d）为有三个多余约束的几何不变体系。1.3.1计算自由度计算自由度有如下三种情况：010203W>0，说明体系一定有自由度，几何可变，但不能断定体系有无多余约束。W<0，说明体系一定有多余约束，但不能断定体系有没有自由度。W=0，当无多余约束时，为几何不变体系；当有多余约束时，为几何可变体系。1.3.2复约束1.复链杆如图1-20（a）所示，连接两个铰的链杆为简单链杆。如图1-20（b）、（c）所示，连接三个或三个以上铰的链杆为复链杆。复链杆换算为简单链杆的公式为2j－3，j为结点数。以图1-20（b）为例，三个结点有六个自由度，由一根链杆连在一起后，还剩三个自由度，说明相当于三个约束。1.3.2复约束2.复铰如图1-21（a）所示，连接两根杆件的铰为简单铰。如图1-21（b）所示，同时连接两根以上杆件的铰为复铰。复铰换算为简单铰的公式为m－1，m为杆件数。1.3.2复约束3.复刚结点如图1-22（a）所示，连接两根杆件的刚结点为简单刚结点。如图1-22（b）所示，连接超过两根杆件的刚结点为复刚结点。复刚结点换算为简单刚结点的公式为m－1，m为杆件数。PART04几何构成分析示例1.4几何构成分析示例【例1-1】计算图1-23所示体系的自由度，并对其进行几何构成分析。【解】（1）计算自由度。在图1-23（a）中，选A、B、C、D、E、F点为研究对象，杆为约束，利用式（1-3），得W=2j－r1=2×6－（8+4）=0在图1-23（b）中，选A、B、C、D、E、F、G点为研究对象，杆为约束，利用式（1-3），得W=2j－r1=2×7－（11+3）=0在式（1-2）和式（1-3）中，r1、r2、r3指的是简单约束；如果是复约束，则要换算为简单约束。本例中的链杆均为简单链杆。1.4几何构成分析示例1.4几何构成分析示例（2）几何构成分析。①图1-23（a）所示体系的几何构成分析。方法一：以基础为刚片，依次增加二元体ACB、二元体CDB、二元体CFD、二元体CEF，由规律1可知，整个体系几何不变，无多余约束。方法二：从E点、F点、D点依次去掉二元体CEF、二元体CFD、二元体CDB后，剩余的刚片AC、刚片BC与基础之间两两铰接，且三铰不共线，几何不变，无多余约束，则整个体系几何不变，无多余约束。1.4几何构成分析示例方法三：△CDB与基础由铰B及链杆AC相连，且铰A、C、B不共线，几何不变，无多余约束，成为扩大的基础；△CEF与扩大的基础由铰C和不过铰C的链杆DF相连，构成无多余约束的几何不变体系，即整个体系几何不变，无多余约束。方法四：△EFC、△CDB和链杆DF作为三个刚片，由不共线的三个铰C、D、F两两相连，无多余约束，几何不变。上部结构BCDEF、链杆AC和基础作为三个刚片，由不共线的三个铰A、B、C两两相连，道理与结论同上。因此，整个体系几何不变，无多余约束。1.4几何构成分析示例②图1-23（b）所示体系的几何构成分析。方法一：从△ACE开始依次增加二元体EGC、CDG、GFD、FBD，上部体系几何不变，无多余约束。上部体系与基础由铰A及不过铰A的链杆1连接，满足两个刚片之间的连接规律，几何不变，无多余约束。因此，整个体系几何不变，无多余约束。方法二：△ACE加二元体EGC，则ACGE几何不变，无多余约束。对于BDGF，道理与结论同上。刚片ACGE与刚片BDGF由铰G和不过铰G的链杆CD相连，几何不变，无多余约束。同理，上部体系与基础相连，几何不变，无多余约束。因此，整个体系几何不变，无多余约束。1.4几何构成分析示例【例1-2】计算图1-24所示体系的自由度，并对其进行几何构成分析。【解】（1）计算自由度。在图1-24（a）中，选ABC和CD为研究对象，其余为约束，利用式（1-2），得W=3m－(r1＋2r2＋3r3)=3×2－(4＋2×1+3×0)=0在图1-24（b）中，选AB和BCD为研究对象，其余为约束，利用式（1-2），得W=3m－(r1＋2r2＋3r3)=3×2－(4＋2×1＋3×0)=0在图1-24（c）中，选AB和CD为研究对象，其余为约束，利用式（1-2），得W=3m－(r1+2r2+3r3)=3×2－(2+2×1+3×1)=－1在图1-24（d）中，选AC和CD为研究对象，其余为约束，利用式（1-2），得W=3m－(r1+2r2+3r3)=3×2－(4+2×1+3×0)=01.4几何构成分析示例1.4几何构成分析示例（2）几何构成分析。①图1-24（a）所示体系的几何构成分析。③图1-24（c）所示体系的几何构成分析。②图1-24（b）所示体系的几何构成分析。④图1-24（d）所示体系的几何构成分析。1.4几何构成分析示例【例1-3】对图1-25（a）、（b）所示体系进行几何构成分析。【解】（1）图1-25（a）所示体系的几何构成分析。AB为刚片Ⅰ，CD为刚片Ⅱ，EF为刚片Ⅲ，如图1-25（c）所示。刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由链杆AC和链杆BD形成的虚铰O1相连，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ由链杆AF和链杆BE形成的虚铰O2相连，刚片Ⅱ与刚片Ⅲ由链杆CE和链杆DF在无穷远处形成的虚铰O∞相连，虚铰O1和虚铰O2的连线与虚铰O∞在同一条直线上，则整个体系为瞬变体系。另外，由于体系与基础没有连接，在平面内，整个体系又有三个自由度。1.4几何构成分析示例（2）图1-25（b）所示体系的几何构成分析。选择△ADF为刚片Ⅰ，△CEF为刚片Ⅱ，基础为刚片Ⅲ，如图1-25（d）所示。刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由铰F相连，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ由链杆1和链杆BD在D点形成的虚铰相连，刚片Ⅱ与刚片Ⅲ由链杆2和链杆BE在E点形成的虚铰相连，铰F、虚铰D和虚铰E不在同一条直线上，因此整个体系为无多余约束的几何不变体系。1.4几何构成分析示例【例1-4】对图1-26（a）所示体系进行几何构成分析。【解】在几何构成分析中，可以将两端为铰的曲线链杆和折线链杆用两端连线的直链杆代替，如图1-26（b）中的虚线链杆AB和ED，选择FBCD和基础为研究对象，由于链杆1和虚线链杆AB、ED交于O点，因此该体系为瞬变体系。思考与练习1.简答题（1）在体系几何构成分析中，静定结构与超静定结构有什么不同？（2）在体系几何构成分析中，构件是按刚体考虑的，还是按变形体考虑的？（3）实铰与虚铰有什么不同？（4）瞬变体系的特点是什么？（5）瞬变体系可以作为土木工程中的结构体系吗？（6）为什么说几何不变体系组成规律的基础是铰接三角形的稳定性？（7）在体系几何构成分析中，将一个构件既作为研究对象，又作为约束条件，可以吗？（8）各种简单约束与复约束有什么不同？如何将复约束换算为简单约束？（9）利用式（12）和式（13）一定能准确计算出结构的自由度吗？（10）当体系的计算自由度W≤0时，能说明该体系是几何不变体系吗？思考与练习2.计算题（1）对图127所示体系进行几何构成分析。思考与练习（2）对图128所示体系进行几何构成分析。思考与练习（3）对图129所示体系进行几何构成分析。思考与练习（4）对图130所示体系进行几何构成分析。思考与练习（5）对图131所示体系进行几何构成分析。思考与练习（6）对图132所示体系进行几何构成分析。思考与练习（7）判断图133所示体系多余约束的数量。（8）求图127、图130和图132所示体系的计算自由度。演示完毕谢谢观看第2章静定结构的内力分析截面内力计算及内力图特征多跨静定梁的内力分析静定平面刚架的内力分析不求或少求反力绘制弯矩图01020304CONTENT桁架的内力计算组合结构的内力计算三铰拱的受力分析静定结构的特性05060708CONTENTPART01截面内力计算及内力图特征2.1.1截面内力计算1.截面内力及其正负号的规定在平面杆件的任意一个截面上，一般有三个内力分量：轴力FN、剪力FQ和弯矩M。轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同，轴力以拉力为正，压力为负；剪力使该截面所在隔离体有顺时针转动的趋势为正，反之为负。如图2-1所示的截面轴力和剪力均为正。在梁中，弯矩使下部受拉时为正，图2-1（a）所示的截面弯矩为正。在刚架中，弯矩一般不做正负号规定。但一定要记住，作弯矩图时，弯矩纵标画在杆件的受拉侧，不用标明正负号；而轴力图和剪力图可画在杆件的任意侧，但要标明正负号。2.1.1截面内力计算2.截面内力的计算方法（1）截面法。计算截面内力的基本方法是截面法，即用一个假想截面沿所求内力截面切开，取截面一侧部分作为隔离体，利用隔离体的平衡方程求出三个内力分量。例如，求结构［见图2-2（a）］B截面的内力。取B截面以右为隔离体，画出隔离体的受力图［见图2-2（b）］，列平衡方程，即可求出内力。由∑Fx=FP2cos45°－FNB=0求出FNB=100（kN）2.1.1截面内力计算由∑Fy=FP2sin45°+FQB－FP1－5q=0求出FQB=－FP2sin45°+FP1+5q=－25(kN)由∑MB=10FP2cos45°+M－5FP1－5×2.5q－MB=0求出MB=10FP2cos45°+M－5FP1－5×2.5q=812.5（kN•m）(下侧受拉）2.1.1截面内力计算（2）直接计算法。由截面法可以得出由外力求内力的直接计算法。132截面轴力等于该截面一侧所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和截面剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和截面弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心产生的外力矩的代数和2.1.1截面内力计算其中，FP1拉A截面，投影取正；FP2压A截面，投影取负；M无投影。所以FNA=50－141.4×sin45°＝－50（kN）例如，在如图2-2所示的结构中，A截面的轴力等于A截面以下的外力FP1、FP2和M沿A截面的轴向（竖向）投影之和。2.1.1截面内力计算2.1.1截面内力计算A截面的剪力等于A截面以下的外力FP1、FP2和M沿A截面的切向（水平方向）投影之和。其中，FP2绕A截面有逆时针转动的趋势，其投影取负；FP1和M沿水平方向的投影为零。所以FQA=－141.4×cos45°＝－100（kN）同理，可以求得B截面的轴力和剪力分别为FNB=141.4×cos45°＝100（kN）FQB＝5×5＋50－141.4×sin45°＝－25（kN）2.1.1截面内力计算A截面的弯矩等于A截面以下的外力FP1、FP2和M对A截面形心产生的外力矩的代数和。若取顺时针转动的外力矩为正，则FP1对A截面形心产生顺时针转动的外力矩，取正；FP2和M对A截面形心产生逆时针转动的外力矩，取负。所以，A截面以下的外力对A截面形心产生的外力矩的代数和为∑M外A下=50×5－125－141.4×cos45°×5=－375(kN•m)2.1.1截面内力计算所得结果为负，说明A截面以下的外力矩之和绕A截面形心逆时针转动［见图2-2（c）］，使杆件左侧受拉。所以，A截面的弯矩MA=375kN•m（左侧受拉）。同理，B截面以右的外力对B截面形心产生的外力矩的代数和为∑M外B右=5×5×2.5＋50×5-125-141.4×cos45°×10＝－812.5（kN•m）所得结果为负，说明B截面以右的外力矩之和绕B截面形心逆时针转动［见图2-2（d）］，使杆件下侧受拉。所以，B截面的弯矩MB=812.5kN•m（下侧受拉）。2.1.2荷载与内力之间的关系1.荷载与内力之间的微分关系在荷载连续分布的直杆段内，取微段dx为隔离体，如图2-3所示。在图示荷载和坐标设置的情况下，由平衡条件可导出如下微分关系：2.1.2荷载与内力之间的关系2.荷载与内力之间的增量关系在集中荷载作用处，取微段dx为隔离体，如图2-4所示。在图示荷载和坐标设置的情况下，由平衡条件可导出集中荷载与内力之间的增量关系为2.1.2荷载与内力之间的关系3.荷载与内力之间的积分关系从直杆中取出荷载连续分布的一段AB（见图2-5），由式（2-1）积分可得如下积分关系：2.1.2荷载与内力之间的关系积分关系的几何意义如下：（1）一段杆的右端截面剪力等于左端截面剪力减去该段杆上的横向荷载的合力。荷载向下为正。（2）当一段杆上无集中力偶作用时，其右端截面弯矩等于左端截面弯矩加上该段剪力图的面积。正剪力其面积为正，负剪力其面积为负。2.1.3内力图的形状特征（1）由微分关系可以得到两种区段上两种内力图的形状特征：零、平、斜、抛。①无荷载（q=0）区段，剪力图平行于轴线，弯矩图为一条斜直线（零、平、斜）。如果这一段内各个截面的剪力均为零，则弯矩图平行于轴线，即各截面弯矩为一个常数。②均布荷载（荷载图为平直线）区段，剪力图为一条斜直线，弯矩图为一个抛物线（平、斜、抛），抛物线的凸向即荷载q的指向，剪力等于零处，弯矩达到极值。2.1.3内力图的形状特征（2）由增量关系可以得到集中荷载作用处内力图的形状特征。①集中力作用处，剪力图有突变，突变量等于集中力的值；弯矩图连续，但发生拐折，形成尖角，尖角的指向与集中力的指向相同。②集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图有突变，突变量为该集中力偶的值。因为集中力偶作用处两侧的剪力值相等，所以集中力偶作用处两侧弯矩图应互相平行。上述荷载与内力图形状之间的对应关系可由表2-1直观地给出。由表2-1可以看到弯矩图的弯折方向与外力的指向相同。③对于自由端、铰接杆端、铰支杆端，当无集中力偶作用时，这些截面弯矩均为零；当有集中力偶作用时，这些截面弯矩就等于该集中力偶。这些特殊的杆端常常是绘制弯矩图的切入点。2.1.3内力图的形状特征2.1.4利用区段叠加法作弯矩图

2.1.4利用区段叠加法作弯矩图2.1.4利用区段叠加法作弯矩图再以图2-7（a）中的杆段AB为例，讨论结构中任意直杆段的弯矩图叠加法。取杆段AB为隔离体［见图2-7（b）］，隔离体上除作用有荷载q外，在杆端还有弯矩MA和MB、剪力FQA和FQB、轴力FNA和FNB（由于在小变形的条件下，杆端轴力对直杆的弯矩无影响，故FNA和FNB省略不画）。为了说明杆段AB弯矩图的特性，将其与图2-7（c）中的简支梁相比。设简支梁承受相同的荷载q和相同的杆端力偶MA、MB。2.1.4利用区段叠加法作弯矩图

2.1.4利用区段叠加法作弯矩图2.1.4利用区段叠加法作弯矩图2.1.4利用区段叠加法作弯矩图③利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩值，少求甚至不求支座反力，方便作图。而且对以后利用图乘法求位移，也提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。④对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静定的；不论是等截面杆还是变截面杆；不论该杆段内各相邻截面间是连续的还是定向联结的，或是铰联结的，弯矩图叠加法均适用。2.1.4利用区段叠加法作弯矩图（2）利用区段叠加法绘制弯矩图的步骤。1324分段定形求值作图2.1.4利用区段叠加法作弯矩图【例2-1】作如图2-9（a）所示简支梁的内力图。【解】（1）求支座反力。由整体平衡条件可求出支座反力。∑MA=0，FRF×8－16－4×4×4－8×7=0,FRF=17kN(↑)∑Fy=0,FRF+FRA－4×4－8=0,FRA=7kN(↑)2.1.4利用区段叠加法作弯矩图（2）作剪力图。因为在集中力作用处，剪力图发生突变，如将正剪力画在基线上侧，突变的方向即集中力的指向。当支座反力求出以后，可直接根据荷载和支座反力的指向作静定梁的剪力图。2.1.4利用区段叠加法作弯矩图对本例，如图2-9（b）所示，先从A点开始向上突变7kN，以平直线到C点（集中力偶作用处剪力图无变化）；CD段的剪力图为斜直线，荷载向下，剪力图向右下斜，由积分关系得到FQD=FQC－CD段分布荷载的合力=7－4×4=－9kN；从D点开始以平直线到E点，然后向下突变8kN，再按17kN以平直线到F点，从F点向上突变17kN正好回到基线，这表明所有外力均满足竖向投影平衡。按这种作剪力图的方法若最后不能回到基线零点，则说明计算过程中有错误，因此这种方法能自动检验计算结果的正确性。2.1.4利用区段叠加法作弯矩图（3）作弯矩图。选A、B左、B右、C、D、E和F为控制截面。由截面以左的外力直接求得：MA=0MB左=FRA×1=7（kN•m）MB右=FRA×1+16=23（kN•m）MC=FRA×2+16=30（kN•m）由截面以右的外力直接求得：MF=0ME=FRF×1=17(kN•m)MD=2FRF－8×1=26(kN•m)2.1.4利用区段叠加法作弯矩图将各控制截面弯矩值按同一比例画在梁的受拉侧，如图2-9（c）所示。因为AB、BC、DE、EF段无荷载作用，所以这些段内的弯矩图为斜直线，将相邻控制截面弯矩竖标连成直线，即得这些段的弯矩图。2.1.4利用区段叠加法作弯矩图作CD段弯矩图时，先用虚直线连接两杆端控制截面弯矩竖标30kN•m和26kN•m，然后以该虚线为基线，叠加上以CD为跨度的简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。CD段中点的截面弯矩为2.1.4利用区段叠加法作弯矩图注意均布荷载区段内的最大弯矩并不一定发生在区段的中点处。由剪力为零不难求出最大弯矩所在处并求出最大弯矩为36.1kN•m，它与区段中点处的弯矩相差0.28%。因此，以后作承受均布荷载区段的弯矩图时，不一定要求出该区段的最大弯矩，也可通过区段中点弯矩值来作弯矩图。有时也用均布荷载区段的中点弯矩近似代替该区段的最大弯矩。PART02多跨静定梁的内力分析2.2多跨静定梁的内力分析多跨静定梁是由若干根单跨静定梁（悬臂梁、简支梁、外伸梁）用铰联结而成的静定结构。多跨静定梁常用于预制装配桥梁结构和房屋建筑中的檩条。图2-10（a）为用于公路桥的钢筋混凝土多跨静定梁。C、D为连接点，通常是在两构件端部伸出钢筋，吊装完毕后焊接在一起，再浇上混凝土。由于这些结点抵抗转动的能力较差，所以计算时可简化为光滑铰接点，其计算简图如图2-10（b）所示。2.2多跨静定梁的内力分析2.2多跨静定梁的内力分析从几何构成上看，多跨静定梁可分为基本部分和附属部分。不依赖于其他部分，本身就能承受荷载并保持平衡的部分称为基本部分，需依靠其他部分才能承受荷载的部分称为附属部分。为了分辨基本部分和附属部分，将相互连接的铰C、D切开［见图2-10（c）］，由上述定义可知，梁AC和梁DB可以独立承受作用于其上的竖向荷载，是基本部分（尽管梁DB在水平方向上少一个约束）。而梁CD离开了基本部分就不能单独平衡作用于其上的竖向荷载，是附属部分。2.2多跨静定梁的内力分析为了更清楚地表示各部分之间的关系，把附属部分放在基本部分的上面，把联结铰用附属部分的两根支杆代替［见图2-10（d）］，这种表示力的传递路线的图形称为层次图。需要说明的是，在层次图上有的梁只有两根支杆，有的梁却有四根支杆，实际上，附属梁CD在整个梁中起到了水平约束的作用，整个体系是几何不变的。由层次图可以清楚地看到，多跨静定梁的组成次序是先固定基本部分，后固定附属部分。2.2多跨静定梁的内力分析CABD也就是说，当结构是由基本部分出发，逐次连接附属部分而组成时，应该采用相反的次序进行内力分析，即后装的先算，先装的后算。不仅对多跨静定梁如此，对以后要学到的多跨静定刚架等主从结构也是如此。多跨静定梁的受力特点是：当外力作用在基本部分上时，附属部分不受力，只有基本部分受力；当外力作用在附属部分上时，附属部分和基本部分均受力。因此，计算多跨静定梁应遵循的原则是：先计算附属部分，将附属部分的支座反力反向加在基本部分上，然后再计算基本部分。2.2多跨静定梁的内力分析【例2-2】作如图2-11（a）所示多跨静定梁的内力图。【解】（1）分析几何构成。切断铰C、F即可看出中间部分是基本部分，两侧部分是附属部分，其层次图如图2-11（b）所示。（2）先算附属部分，求得支座反力，作出弯矩图如图2-11（c）所示。（3）将附属部分的相应支座反力反向作用在基本部分上，算得基本部分的支座反力，作出弯矩图如图2-11（d）所示。（4）将各梁的弯矩图合并即得全梁的弯矩图，如图2-11（e）所示。值得注意的是，铰C、F处的弯矩为零，BCD段、EFG段上无外荷载作用，弯矩图应为一条斜直线。2.2多跨静定梁的内力分析（5）可直接根据荷载和支座反力的指向作多跨静定梁的剪力图，如图2-11（f）所示。先从A点开始向下突变ql，平直线到B点；向上突变2ql，平直线到D点；向下突变3ql/4，DE段的剪力图为一条向右下斜的直线，由积分关系得到FQED=FQDE－2ql=ql/4－2ql=－7ql/4；向上突变9ql/4，平直线到G点；向下突变ql，平直线到H点；向上突变ql/2，正好回到基线，这表明所有外力满足竖向投影平衡。2.2多跨静定梁的内力分析

2.2多跨静定梁的内力分析铰D的位置确定以后，可作出弯矩图［见图2-12（c）］，其中正、负弯矩峰值均为0.086ql2。如果改用两个跨度为l的简支梁，则弯矩图如图2-12（d）所示，其最大弯矩为0.125ql2，为本例最大弯矩的1.45倍。由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中间支座处产生了负弯矩，降低了跨中正弯矩；而且还减小了附属部分的跨度。因此，多跨静定梁比相应的多个简支梁弯矩分布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些。PART03静定平面刚架的内力分析2.3.1刚架的组成及其特点图2-13（a）为一个几何可变的铰接体系，使它成为几何不变体系的方法有两种：一是增设斜杆，使其成为桁架结构［见图2-13（b）］；二是把原来的铰接点D和E改为刚结点，使其成为刚架结构［见图2-13（c）］。由此可见，刚架和桁架都是由直杆组成的结构，两者的区别是：桁架中的结点全部都是铰接点，刚架中的结点全部或部分为刚结点。刚架中由于具有刚结点，因而不需要用斜杆也可组成几何不变体系，使结构内部具有较大的空间，便于使用。2.3.1刚架的组成及其特点与铰接点不同的是，刚结点不仅约束各杆段不能发生相对移动，也不能发生相对转动。因而，当结构变形时，各杆件的夹角始终保持不变，如图2-13（c）所示；而铰接点各杆件的夹角则随之变化，如图2-13（b）所示。从受力角度来看，刚结点可以承受和传递弯矩，因而刚架中的主要内力是弯矩；而桁架中的各杆弯矩为零。2.3.1刚架的组成及其特点为了将刚架与简支梁加以比较，给出两者在均布荷载作用下的弯矩图和变形图，如图2-14所示。由此可见，刚架的梁、柱被刚结点刚性地连成一个整体，不仅增强了结构的刚度，而且使其内力分布和变形分布更为均匀、合理，故比较节省材料。刚架的这些优点，使其在建筑工程中得到广泛的应用。2.3.1刚架的组成及其特点各杆轴线都在同一平面内且外力也可简化到该平面内的刚架，称为平面刚架；而各杆轴线或外力不能简化到同一平面内的刚架，则称为空间刚架。若刚架的全部反力和内力仅由静力平衡条件就能完全确定，则这样的刚架称为静定刚架。2.3.1刚架的组成及其特点静定平面刚架的基本形式有悬臂刚架［见图2-15（a）］、简支刚架［见图2-15（b）］和三铰刚架［见图2-15（c）］。将这三种基本形式进行组合，可得到复合刚架。如图2-15（d）所示的复合刚架就是由三铰刚架ABC及简支刚架DE和FG组合而成的，其中ABC部分是基本部分，DE部分和FG部分是附属部分。2.3.2刚架的支座反力在静定平面刚架的受力分析中，通常先由刚架的整体或局部的平衡条件求出各支座反力，并校核正确无误，然后再求控制截面的内力，最后作内力图。（1）对于悬臂刚架和简支刚架，只有三个支座反力，可由刚架的三个整体平衡方程直接求出全部支座反力。比较简单，这里不再赘述。（2）三铰刚架求支座反力，除了利用三个整体平衡方程，还必须取刚架的一部分为隔离体，由其平衡条件建立补充方程，才能求出全部支座反力。2.3.2刚架的支座反力【例2-4】求如图2-16（a）所示三铰刚架的支座反力。【解】取整体对左支座建立力矩平衡方程，即∑MA=0,FyB•2l+FxB•l－2ql•l－ql•2l=0 （1）取右半边为隔离体［见图2-16（b）］，对C铰建立力矩平衡方程，即∑MC=0,FyB•l－FxB•l－ql•0.5l=0 （2）解方程（1）和方程（2），求出右支座的两个反力分量为FyB=1.5ql，FxB=ql2.3.2刚架的支座反力2.3.2刚架的支座反力再由整体∑Fx=0,FxA－FxB+ql=0,FxA=0∑Fy=0,FyA+FyB－2ql=0,FyA=0.5ql校核∑MC=FxA•2l－FyA•l－FxB•l+FyB•l=0反力计算无误。也可以分别取左、右两部分为隔离体，对A点和B点建立两个力矩平衡方程，先求出连接左、右两部分的C铰的约束力，然后再求支座反力。2.3.2刚架的支座反力【例2-5】求如图2-17（a）所示刚架的支座反力。【解】结构为三刚片体系，折杆EGB和FHB为二力杆，约束力沿两铰连线。取AED为隔离体［见图2-17（b）］，对O1点建立力矩平衡方程，即∑MO1=0,8FyD－3FxD=0 （1）取DFC为隔离体［见图2-17（c）］，对O2点建立力矩平衡方程，即∑MO2=0,8FyD+3FxD+10×8×4=0 （2）2.3.2刚架的支座反力

2.3.2刚架的支座反力（3）对于复合刚架，其支座反力计算与多跨静定梁相同。先进行几何构成分析，将刚架分为基本部分和附属部分，然后求出附属部分的约束力，并将此约束力反向施加在支承它的基本部分上，最后计算基本部分的支座反力。这样可避免求解联立方程的麻烦。【例2-6】求如图2-18（a）所示复合刚架的支座反力。【解】由几何构成分析可知，ABCD为基本部分，CEF为附属部分。先考虑附属部分CEF，如图2-18（b）所示。∑MC=0,4FyF－10×4×2－30×2=0,FyF=35kN(↑)∑Fx=0,FxC－10×4=0,FxC=40kN(→)∑Fy=0,FyC+FyF－30=0,FyC=－5kN(↓)2.3.2刚架的支座反力2.3.2刚架的支座反力将求出的FxC和FyC施加于基本部分上作出受力图，如图2-18（c）所示。∑MA=0,4FyD－4FyC+4FxC－30×2=0,FyD=－30kN(↓)∑Fy=0,FyA+FyD－FyC－30=0,FyA=55kN(↑)∑Fx=0,FxA－FxC=0,FxA=40kN(→)或者由附属部分CEF求出FyF后，由整体平衡方程求出FxA、FyA、FyD。校核∑MC=4FyA－4FxA－30×2+30×2+10×4×2－4FyF=0反力计算无误。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制当求出支座反力和铰接处的约束力后，刚架任意截面的内力均可由截面法计算出来，或由内力算式求出。若要绘制刚架内力图，则可先求出各杆杆端截面（控制截面）的内力值，然后再根据荷载情况，按内力图的形状特征及叠加法逐杆作出内力图。刚架的弯矩图画在受拉侧，无须标明正负号；刚架的剪力图和轴力图可画在杆件的任意侧，但要标明正负号。剪力和轴力的正负规定与梁相同。为了清楚地表示各杆杆端截面内力，在内力符号后引入两个脚标，第一个脚标表示某杆内力所属截面，第二个脚标表示该截面所属杆件的另一端。例如，在如图2-19（a）所示的刚架中，MCA表示CA杆C端的弯矩，FQCD表示CD杆C端的剪力，等等。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制1.静定平面刚架的内力计算和内力图绘制方法（1）求支座反力。由刚架的整体平衡条件，得∑Fx=0,－FxA+8×8=0,FxA=64kN(←)∑MA=0,8FyB－8×8×4=0,FyB=32kN(↑)∑Fy=0,－FyA+FyB=0,FyA=32kN(↓)校核∑MD=0,4FyA+4FyB－4FxA=4×32+4×32－4×64=0反力计算无误。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制（2）计算杆端弯矩，作弯矩图。MAC=0，MBD=0，MED=0由C截面以左的外力直接求得MCA=32×4=128(kN•m)(上侧受拉）MCD=32×4=128(kN•m)(左侧受拉）由CD杆D截面以上的外力直接求得MCD=32×4－8×4×2=64(kN•m)(右侧受拉)由DE杆D截面以上的外力直接求得MDE=8×4×2=64(kN•m)(左侧受拉)由DB杆D截面以右的外力直接求得MDB=32×4=128(kN•m)(下侧受拉)作弯矩图，将各杆段的两杆端弯矩以适当的比例画在受拉侧，当杆段上无荷载时连一条直线，当杆段上有荷载时连一条虚线，再以该虚线为基线，叠加上相应的简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。图2-19（b）为作出的弯矩图。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制（3）求杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。由CA杆C截面以左的外力直接求得FQCA=-32kN，FNCA=64kN由CD杆C截面以上的外力直接求得FQCD=64kN，FNCD=32kN由CD杆D截面以下的外力直接求得FQDC=32kN，FNDC=32kN由DE杆D截面以上的外力直接求得FQDE=32kN，FNDE=0由DB杆D截面以右的外力直接求得FQDB=-32kN，FNDB=0图2-19（c）、（d）为作出的剪力图和轴力图。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制（4）校核。作出全部内力图以后，可截取刚架的任意一部分进行校核。当所取隔离体满足平衡方程时，说明内力计算无误。如取结点C为隔离体，将计算出的各杆端内力按实际的大小、方向标在隔离体上，得到的受力图如图2-19（e）所示，由∑MC=128－128=0,∑Fy=32－32=0,∑Fx=64－64=0可知，结点C满足平衡条件，所以内力计算是正确的。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制由图2-19（e）可见，在刚结点上，不仅应满足力的投影平衡，各杆端弯矩和结点集中力偶还应满足结点的力矩平衡。尤其是，当两杆相交的刚结点上无外力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧（外侧或内侧）受拉。作上述剪力图和轴力图时，杆端剪力和杆端轴力是根据截面一边的荷载和支座反力直接求出的。对于一些较复杂的情况（如外力比较多、带斜杆刚架或绘制超静定刚架的剪力图和轴力图），当不便利用上述方法计算时，可先利用已作出的弯矩图，取杆件为隔离体，建立力矩平衡方程，求出杆端剪力，作剪力图；然后取结点为隔离体，建立投影平衡方程，由已知的杆端剪力求出杆端轴力，作轴力图。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制$350.00From20XX如本例要求CD杆的剪力，可取CD杆为隔离体，作用在隔离体上的外力和已知的杆端弯矩按实际方向标出，未知的杆端剪力按正方向标出，轴力忽略不画，如图2-20（a）所示。建立力矩平衡方程，求剪力。∑MD=FQCD×4－128－8×4×2－64=0,FQCD=64kN∑MC=FQDC×4－128+8×4×2－64=0,FQDC=32kN同理可以求出其他杆的剪力。作出刚架的剪力图后，分别取结点C、D为隔离体［见图2-20（b）、（c）］，利用投影平衡方程即可求出各杆轴力。结点C平衡：∑Fy=FNCD－32=0,FNCD=32kN∑Fx=64－FNCA=0,FNCA=64kN结点D平衡：∑Fy=FNDE+32－32=0,FNDE=0∑Fx=FNDB+32－32=0,FNDB=02.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制2.绘制静定平面刚架内力图的具体步骤（1）求支座反力。（2）求控制截面的内力。（3）根据每个杆段内的荷载情况，利用内力图的形状特征及叠加法作出内力图。（4）求杆端截面剪力和轴力（5）取刚架的任意一部分为隔离体，验算其是否满足平衡条件。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制

2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制（2）求杆端弯矩，作弯矩图。MAD=0，MBE=0，MCD=0，MCE=0由D截面以下的外力直接求得MDA=MDC=20×6=120（kN•m）(外侧受拉)由E截面以下的外力直接求得MEB=MEC=20×6=120（kN•m）(外侧受拉)作弯矩图，将各杆段的两杆端弯矩以适当的比例画在受拉侧并连成一条直线；当杆段上有荷载时，以该直线为基线，叠加上相应的简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。作出的弯矩图如图2-21（b）所示。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制

2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制

2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制为了求出FNCD和FNCE，可取结点C为隔离体，如图2-21（h）所示。由∑Fx=FNCDcosβ+8.94sinβ－8.94sinβ－FNCEcosβ=0∑Fy=FNCDsinβ－8.94cosβ－8.94cosβ+FNCEsinβ=0解得FNCD=FNCE=17.88（kN）(压力)作出的轴力图如图2-21（i）所示。（5）校核。取结点D为隔离体，沿与杆轴线垂直的方向列投影方程：44.72+20sinβ－60cosβ=44.72+8.94－53.64≈0满足平衡条件。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制【例2-8】作如图2-22（a）所示刚架的弯矩图。【解】（1）求支座反力。该刚架是多跨静定刚架，应先进行几何构成分析，然后按先基本部分后附属部分的顺序计算约束力和支座反力。具体计算过程参见【例2-6】，计算结果如图2-22（b）、（c）所示。当求出支座反力和约束力以后，原刚架实际上已转化为两个简单刚架。其内力计算和内力图的绘制方法与前述例题相同。2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制2.3.3静定平面刚架的内力计算和内力图绘制（2）计算杆端弯矩。MFE=0，MEF=10×4×2=80（kN•m）（右侧受拉）由结点E的力矩平衡，得MEC=MEF=80kN•m（上侧受拉），MCE=0CD杆只有轴力，无弯矩，由结点C的力矩平衡，得MCB=0。AB杆B截面弯矩可由B截面以下的外力求得：MBA=40×4=160（kN•m）（左侧受拉）由结点B的力矩平衡，得MBC=MBA=160（kN•m）（上侧受拉）（3）作弯矩图。利用求出的各杆端弯矩值和叠加法作出的弯矩图如图2-22（d）所示。PART04不求或少求反力绘制弯矩图2.4不求或少求反力绘制弯矩图1.绘制简支刚架的弯矩图绘制简支刚架的弯矩图时，只需先求出与杆轴线垂直的支座反力，然后由支座开始作弯矩图即可。【例2-9】作如图2-23（a）所示刚架的弯矩图。【解】（1）先由整体竖向投影平衡，得FyA＝2×2+4=8（kN）（↑）2.4不求或少求反力绘制弯矩图（2）控制截面的弯矩为MAD＝MBD＝MCD＝0由DA杆D截面以左的外力求得MDA＝8×2－2×2×1＝12（kN•m）(下侧受拉)由DB杆D截面以右的外力求得MDB＝4×2＝8（kN•m）(上侧受拉)由结点D的力矩平衡，得MDC＝8（kN•m）(左侧受拉)（3）利用已求出的杆端弯矩和叠加法作出弯矩图，如图2-23（b）所示。2.4不求或少求反力绘制弯矩图注意定向支座处、定向连接处的剪力等于零，剪力等于零的杆段的弯矩图平行于轴线。利用这个特点可以简化支座反力的计算和弯矩图的绘制。2.4不求或少求反力绘制弯矩图【例2-10】作如图2-24（a）所示刚架的弯矩图。【解】（1）求支座反力。首先考虑到B点的水平反力为零，由整体平衡∑Fx=0，得FxA=－qa(←)。由ADC部分平衡∑Fy=0，得FyA=0。2.4不求或少求反力绘制弯矩图（2）求控制截面的弯矩并作出弯矩图。由F截面以下的外力得到MFA＝qa2（右