2027届新高三数学热点突破复习+直线的倾斜角、斜率与直线的方程

【命题形式】本章内容命题形式多样，在选择题、填空题中主要考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义、方程和几何性质，解答题中主要考查直线、圆的方程及位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查．对于双曲线的有关性质考查多集中在双曲线的渐近线和离心率上，关于抛物线的有关性质考查多侧重于抛物线定义在求解与距离相关的最值问题中的转化，以及抛物线焦点弦的性质．结合本章的命题特点，复习过程中需注意以下几点：①求解直线与圆的问题时，要注意圆的性质的应用，常采用几何法求解，同时要注意与其他知识的交汇问题；②求解圆锥曲线方程时，需关注待定系数法与定义法的应用；③求解有关中点弦问题时，需关注点差法和根与系数的关系的应用；④求解定值、定点问题时，需注意求解思路与转化方法．2027届新高三数学热点突破复习直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[47]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一直线的倾斜角1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________.2．倾斜角的取值范围为______________________.正向向上0°[0°，180°)知识点二直线的斜率1．定义：一条直线的倾斜角α的__________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝__________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．2．过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝

________.正切值tanα

3．直线的方向向量与斜率的关系(1，k)知识点三直线方程的五种形式y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b两点式截距式过原点的A2＋B2≠0归

纳

拓

展1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线；小正大负皆递增，分类讨论记心中．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0且α越大，k就越大不存在k<0且α越大，k就越大2．特殊直线的方程(1)过点P1(x1，y1)垂直于x轴的直线方程为x＝x1；(2)过点P1(x1，y1)垂直于y轴的直线方程为y＝y1；(3)过原点的直线的方程为x＝my.3．谨记以下几点(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意．(2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝my＋b.(3)A，B，C三点共线⇔kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)．(4)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(

)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(

)(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(

)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(

)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×(5)×

(6)√[答案]

B3．(选择性必修1P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________.[答案]

3x－2y＝0或x＋y－5＝0题组三走向考场4．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(

)[答案]

A[答案]

D考点突破·互动探究直线的倾斜角与斜率——自主练透1．(2026·江苏南通统测)设直线l的方程为x－ysinθ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(

)[答案]

C[答案]

B3．已知曲线f(x)＝lnx的切线经过原点，则此切线的斜率为(

)[答案]

C[引申]本例2中，直线l斜率的取值范围是____________.名师点拨：1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tanα的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．[答案]

B2．(2024·河南创新发展联盟联考)过点P(1,1)作直线l，若直线l与连接A(2,3)，B(3，－1)两点的线段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为(

)[答案]

A直线的方程——师生共研2．(多选题)(2024·陕西部分学校联考)直线l经过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是(

)A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0[答案]

BCD3．(多选题)(2025·浙江数海漫游模拟)已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：2x－y＋1＝0，则直线AB的方程可能为(

)A．x＋3y＋1＝0 B．x－3y＋1＝0C．3x＋y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0[答案]

BC[引申]本例2中若去掉“绝对值”，则应选________.[答案]

BD名师点拨：1．求解直线方程的方法(1)直接法——根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法——①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．2．谨防3个失误(1)选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在．(2)选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，截距是否存在、是否为0.(3)由一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A>0.【变式训练】1．(2026·江西丰城中学月考)经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是____________.[答案]

2x－y＝0或x＋2y－5＝02．(2025·河北衡水周测)若一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为____________.[答案]

x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0直线方程的应用——多维探究角度1由直线方程确定斜率(2025·江西萍乡一模)已知直线emx－y(em＋1)2＋1＝0(m∈R)的斜率为k，则k的最大值为________.[引申]直线纵截距的取值范围是____________.[答案]

(0,1)角度2直线与坐标轴围成三角形的最值问题已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：(1)当△AOB面积最小时，直线l的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程；(3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程；(4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．名师点拨：求解与直线方程有关的最值问题，考查函数思想，即利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x或y的函数，借助函数性质求解．或利用直线过已知点，则点的坐标适合直线方程，借助基本不等式求解(注意取最值时等号成立的条件)．【变式训练】1．(角度1)(2026·福建适应性练习)斜直线Ax＋By＋C＝0不过原点和第四象限，则下列结论一定正确的是(

)A．AB>0 B．BC>0C．AC>0 D．ABC>0[答案]

C2．(角度2)直线l过点M(1,2)，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点，O为原点．求|OA|＋2|OB|的最小值及此时直线l的方程．名师讲坛·素养提升定点问题1．已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．(1)直线l过定点____________.(2)若直线l不过第一象限，则k的取值范围为____________.(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则S△AOB最小时直线l的方程为____________.2．(多选题)(2026·江西丰城中学月考)已知点A(－2，－1)，B(2,2)，直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5，则直线l的倾斜角可能为(

)[答案]

BD名师点拨：确定方程含参数的直线所过定点的方法1．将直线方程写成点斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点(x0，y0)．2．将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．3．给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．解题时，若直线方程中含有参数，应考虑直线是否过定点．【变式训练】(2025·贵州贵阳阶段练习)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为(

)[答案]

D提能训练练案[47]A组基础巩固

一、单选题[答案]

D2．(2026·新疆乌鲁木齐模拟预测)如图，直线l1、l2、l3、l4中，斜率最小的是(

)A．l1 B．l2

C．l3 D．l4[答案]

B[解析]

由图可知l1的倾斜角为锐角，l2，l3，l4的倾斜角为钝角，则直线l1的斜率为正数，直线l2，l3，l4的斜率均为负数，且l2，l3，l4中，直线l2的倾斜角最小，故直线l2的斜率最小．故选B.[答案]

A[答案]

A5．(2025·重庆乌江新高考协作体调研)若A(1,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则b＝(

)[答案]

A[答案]

C7．直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M(1，－2)恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(

)A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0[答案]

B8．(2024·安徽黄山八校联盟期中联考改编)下列说法正确的是(

)A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0D．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2[答案]

D9．(2025·安徽马鞍山一模)设点A(2,1)，B(－2,3)，若直线ax＋y＋1＝0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围为(

)A．(－∞，－1) B．(－2,1)C．(－1,2) D．(1，＋∞)[答案]

C二、多选题10．(2026·江苏苏州常熟中学调研)直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0(ab≠0，a≠b)，下列图象中正确的是(

)[答案]

BC11．(2025·辽宁辽南协作体期中)已知直线l过点P(3,2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(

)A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条[答案]

ABC三、填空题12．(2025·浙江五校联盟联考)直线3x－4y＋3＝0的一个方向向量是____________(答案不唯一)．13．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________.[答案]

x＋13y＋5＝0B组能力提升[答案]

A2．(2025·福建漳州期中)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(

)A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0[答案]

B[答案]

A4．(2026·湖北部分高中协作体联考)有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时(