2027届新高考数学热点突破复习数列的奇偶项问题

2027届新高考数学热点突破复习数列的奇偶项问题重难解读数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运用能力与探究问题能力，

解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项

数、公差、公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用.目录/CONTENTS考点一已知奇偶项型01考点二通项含有（－1）n型02课时跟踪训练0301PART考点一已知奇偶项型

（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn.

规律方法4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的

奇数项、偶数项所具备的性质，从而求出其通项公式.

（1）设cn＝an－bn，证明：{cn}是等比数列；解：证明：∵an＋1＝bn－2an，bn＋1＝3bn－4an，∴an＋1－bn＋1＝bn－2an－3bn＋4an＝2（an－bn），∴cn＋1＝2cn，又c1＝a1－b1＝－6≠0，∴{cn}是以－6为首项，2为公比的等比数列.

解：由（1）可知cn＝－6·2n－1＝－3·2n，∴an－bn＝－3·2n，∴bn＝an＋3·2n，∴an＋1＝an＋3·2n－2an＝－an＋3·2n，∴an＋1－2n＋1＝－（an－2n），又a1－21＝－1≠0，∴{an－2n}是以－1为首项，－1为公比的等比数列，∴an－2n＝－1·（－1）n－1＝（－1）n，∴an＝2n＋（－1）n，∴bn＝2n＋（－1）n＋3·2n＝2n＋2＋（－1）n，

02PART考点二通项含有（－1）n型

（2026·陕西安康模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3

＝13，S6＝36.（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]2n，求{bn}的前2n

项和T2n.

规律方法练2已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝λ·2n（n∈N*）（λ是常数）.（1）若λ＝0，证明{an}是等比数列；解：证明：依题意，a1＝1，an＋an＋1＝λ·2n（n∈N*），当λ＝0时，an＋an＋1＝0，an＋1＝－an，所以数列{an}是首项a1＝1，公比为－1的等比数列.（2）若λ≠0，且{an}是等比数列，求λ的值以及数列{（－1）nlog2a3n－1}

的前n项和Sn.

03PART课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：55分）1.

（10分）已知数列{an}满足（－1）n＋1an＋2＋（－1）nan＝3（－1）n

＋1（n∈N*），若a1＝a2＝1，求{an}的前20项的和S20.

1234

（1）记bn＝a2n＋2，求b1，b2，并证明数列{bn}是等比数列；

1234（2）记cn＝a2n＋3，求满足c1＋c2＋c3＋…＋cn＜100的所有正整数n的值.解：由（1）知bn＝5×2n－1，所以cn＝5×2n－1＋1，所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝5×（20＋21＋…＋2n－1）＋n＝5×2n＋n－5，因为c1＋c2＋c3＋…＋cn单调递增，且c1＋c2＋c3＋c4＝79＜100＜c1＋c2＋c3＋c4＋c5＝160，所以正整数n的所有取值为1，2，3，4.12343.

（15分）（2026·山东济宁模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝

4且an＋1＝Sn＋4（n∈N*）.（1）求数列{an}的通项公式；

1234

1234

（1）证明：数列{a2n－1＋5}是等比数列；解：证明：因为a2n＝a2n－1＋2，a2n＋1＝2a2n＋1，n∈N*，所以a2n＋1＝2（a2n－1＋2）＋1＝2a2n－1＋5，即a2n＋1＋5＝2（a2n－1＋5），又a1＋5＝4，所以数列{a2n－1＋5}是首项为4，公比为2的等比数列.1234（2）求数列{bn}的通项公式；