沪教版九年级数学相似三角形习题集

沪教版九年级数学相似三角形习题集引言相似三角形，作为平面几何中的核心内容之一，不仅是全等三角形知识的延伸与拓展，更是后续学习更复杂几何问题、乃至高中阶段解析几何的重要基础。其精髓在于“形状相同，大小未必相等”，通过对应边的比例关系和对应角的相等关系，我们能够解决许多与测量、计算、证明相关的实际问题与理论问题。本习题集旨在帮助同学们系统梳理相似三角形的知识点，通过典型例题的剖析与多样化的练习，深化理解，提升运用相似三角形知识解决问题的能力。一、核心知识点回顾在进入习题之前，让我们简要回顾一下相似三角形的关键知识点，这是解决所有相关问题的基石。1.相似三角形的定义与表示定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。表示：若△ABC与△DEF相似，则记作△ABC∽△DEF，读作“△ABC相似于△DEF”。其中，对应顶点的字母通常写在对应的位置上，以明确对应关系。2.相似三角形的判定方法判定两个三角形相似，我们有以下几种基本方法：*（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。*（SSS判定）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。*（SAS判定）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。*（AA判定）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。*（推论：直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。可视为AA或SAS的特殊情况。）3.相似三角形的性质一旦两个三角形相似，它们具有以下性质：*对应角相等。*对应边成比例。这个比例称为相似比（或相似系数）。*对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*周长的比等于相似比。*面积的比等于相似比的平方。二、例题精析类型一：相似三角形的判定例1：已知在△ABC和△A'B'C'中，AB=4，BC=6，AC=8；A'B'=2，B'C'=3，A'C'=4。试判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由。分析：本题给出了两个三角形的所有边长，因此考虑使用“SSS判定”方法，即验证三组对应边的比是否相等。解答：计算对应边的比值：AB/A'B'=4/2=2，BC/B'C'=6/3=2，AC/A'C'=8/4=2。由于AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=2，根据“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，可得△ABC∽△A'B'C'。例2：如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC。若AD=3，DB=2，AE=4，求EC的长。分析：根据题目条件DE∥BC，容易联想到“预备定理”，即△ADE与△ABC相似。然后利用相似三角形对应边成比例的性质来求解EC。解答：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似）。∴AD/AB=AE/AC。∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=5。设EC=x，则AC=AE+EC=4+x。∴3/5=4/(4+x)。交叉相乘得：3(4+x)=5×412+3x=203x=8x=8/3。故EC的长为8/3。类型二：相似三角形的性质应用例3：已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3。若△ABC的周长为18，面积为12，求△DEF的周长和面积。分析：直接利用相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。解答：∵△ABC∽△DEF，相似比k=AB/DE=2/3。∴△ABC的周长/△DEF的周长=k=2/3。即18/△DEF的周长=2/3，解得△DEF的周长=18×(3/2)=27。又∵△ABC的面积/△DEF的面积=k²=(2/3)²=4/9。即12/△DEF的面积=4/9，解得△DEF的面积=12×(9/4)=27。所以，△DEF的周长为27，面积为27。例4：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。求证：△ABC∽△ACD∽△CBD。分析：这是一个经典的“母子直角三角形”模型。要证明三个三角形两两相似，可通过寻找公共角和直角，利用“AA判定”来证明。解答：在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°（已知），∠A=∠A（公共角），∴△ABC∽△ACD（AA判定）。在△ABC和△CBD中，∠ACB=∠CDB=90°（已知），∠B=∠B（公共角），∴△ABC∽△CBD（AA判定）。∴△ABC∽△ACD∽△CBD。（由此还可推出CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB等重要比例线段关系，即“射影定理”。）类型三：相似三角形的综合应用例5：如图，某同学想利用标杆测量一棵大树的高度。他在同一时刻测得标杆CD的高为1.5米，其影长CE为2米，而大树AB的影长BF为12米，求大树AB的高度。分析：同一时刻，太阳光线可视为平行光线，因此标杆及其影子、大树及其影子分别构成的两个直角三角形是相似的。即△CDE∽△ABF。解答：由题意知，∠CDE=∠ABF=90°，且光线AC∥DF，∴∠CED=∠AFB（同位角相等）。∴△CDE∽△ABF（AA判定）。∴CD/AB=CE/BF。即1.5/AB=2/12。解得AB=(1.5×12)/2=9（米）。答：大树AB的高度为9米。三、习题精练以下习题供同学们巩固练习，请尝试独立完成。A组（基础巩固）1.下列说法中，正确的是（）A.两个等腰三角形一定相似B.两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等腰直角三角形一定不相似2.若△ABC∽△DEF，且相似比为3:2，则△DEF与△ABC的相似比为______。3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，DE=4，则BC的长为______。4.已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，若△ABC的面积为S，则△A'B'C'的面积为______。5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠AED=∠B。若AE=3，AB=5，AD=4，求AC的长。B组（能力提升）6.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，CE。若△ABE∽△DEC，AB=6，BC=10，求AE的长。7.已知：如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=∠C。求证：AB²=BD·BC。8.如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E。C、E、A三点在同一条直线上，点B、D分别在点E、A的正下方且B、C、D三点在同一条直线上。B、C相距20米，D、C相距40米，乙楼高BE为15米，求甲楼高AD为多少米（小明身高忽略不计）。9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ，当t为何值时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？四、总结与提示相似三角形的学习，关键在于理解“对应”的含义——无论是对应角还是对应边。在解决问题时，首先要准确判断哪两个三角形相似，或通过添加辅助线构造相似三角形；其次要找准对应关系，明确相似比；最后灵活运用相似三角形的性质解决比例计算、线段长度、角度大小、面积关系等问题。解题时，要注意以下几点：1.仔细审题，识别模型：如“A”型相似、“X”型相似、母子型相似、一线三垂直等常见模型，有助于快速找到解题思路。2.规范书写：在证明相似时，要清晰写出判定的依据；