北师大版高中数学必修第二册 平面向量在几何、物理中的应用举例【原卷+答案】

02

6.2平面向量在几何、物理中的应用举例

A级必备知识基础练

1.［探究点一］已知点4・2,・3)收19,4),。(・1,・6),则“四是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角二角形D.等腰直角二角形

2」探究点二］在四边形ABCQ中，若前二(1,3),丽二(-6,2),则该囚边形的面枳为()

A.V5B.2V5C.5D.10

3.［探究点二］一条河宽为8000m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水

速为12km/h,则船到达B处所需时间为h.

4.［探究点一］已知在矩形4BCD中、A8=2,AO=1£F分别为BCCO的中点，则(而+

AF)BD=.

5.［探究点一］如图所示，若D是△A8C内的一点，且482/。2=。.。。2,求证么。_18。.

B级关键能力提升练

6.若点M是△A8C所在平面内的•点,且满足3AM-AB-熊=0,则AABM与AABC的面积之比为

()

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：5

7.如图所示,两根固定的光滑硬杆0408成〃角，在杆上各套一小环P.Q,且0.Q用轻线相连.现用恒力

F沿而方向拉环Q,则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为__________.

8.如图，在正方形ABCD中,P为对角线4c上任一点,PEJ_AB,PFJ_8C,垂足分别为£F,连接DP,EF,求

证:。尸_L££

D\

AEB

9.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡

状态,若两只胳膊的夹角为60。,每只胳膊的拉力大小均为360N,则该学生的体重（单位:kg）约为多

少?（参考数据:取重力加速度大小为10m/s2,V3=1,732）

C级学科素养创新练

10.已知某河流河水自西向东流速大小为|vo|=lm/s,设某人在睁水中游泳的速度为VI,在流水中实际

速度为V2.

北

(1)若此人朝正南方向游去，且|vj|二，5m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角a和V2的大小;

⑵若此人实际前进方向与水流垂直，且Ml二遮m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角夕和vi的大

小.

6.2平面向量在几何、物理中的应用举例

ICA5=(19,4)-(-2,-3)=(21,7),

C=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3),

丽•尼=21・21=0,・・・而1元.

则NA=90。,又|话国而

・•・为直角三角形.

2.D\'AC■前一0,・・・ACJ_6D.

・•・西边形ABCD的面积为:|宿丽|二；x710x2710=10.

3.0.5如图，不妨设水流的速度为V2,v尖峰二v四+v水=Vi+、2

B

|VI|=20JV2|=12,

・•・|v实陆仁匕Iv/

=V202-122=16(km/h).

・••所需时间/=^=0.5(h).

Io

4,-1如图，以A为坐标原点，以人8所在直线为x轴，以A。所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

则A(0,0),8(2,0),。(0』)，

：.C(2A).

*：E,F分别为BC,CD的中点,

・・・E(2,p尸(1,1),

・•・荏+而二(3,式丽=(-2,1),

+AF)-fiD=3x(-2)+|xl=-1.

5.证明设标=a,n=bjf5=e,而=c,尻=d,

则a=e+c,b=e+d,

所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2-2ec-2ed-d2,

由条件知,a'cZd+b1

所以ec=ed,

即e.(c-d)=O,即而•而=0,

所以AO_L8C

6.B如图Q为8c边的中点，

BDL

则而=；(而+隔.

因为3AM-AB-AC=d.

所以3宿二2而，

所以宿=1彳5,

•J

21

所以5A4BM=2BD=-jSA4fiC-

7.上对受力进行分析,依题意，重力可以忽略不计，记Q受轻线的拉力为T,由于两环稳定时受

sind

力平衡，只能是轻线与OA杆垂直和轻线与OB的夹角为Y，故IT|二2l

Lsin0

8.证明(方法一)设正方形ABCD的边长为1AE=a(0<a<1),

则EP=AE=a,PF=EB=l-a,AP=缶,

-♦-->''♦'…♦-->'

・•・DP•EF=(DA+AP\(EP+PF)

=DA-~EP+DA-~PF+AP-EP+AP-~PF

=1x«xcos1800+1X(1-6/)XCOS90°+鱼ax〃xcos450+&〃X(]-B)XCOS450=-a+a2+a(I-«)=0.

・••91配即DPLEF.

（方法二）如图，以A为原点,A。,所在直线分别为人•轴、y轴建立平面直角坐标系.

设正方形ABCD的边长为I,

AP=A（0<A<V2）,

则0（0,1）,尸乌,当）,

E（*,O）,F（1号）.

・,・赤一（多岁.1）,前一（1学岁）.

：.DPEF=争一12+12学=o,

：.DP1EF.

即DPL.EF.

9.解由题作出学生处于如图所示的平衡状态受力示意图，记F为Fi与F2的合力，则有|G|二|F|,其

中|G|二〃?gj〃（单位:kg）为学生的体重，

因为田|=眄|=360N,为与F2的夹角为60°,

2

所以|F|=|FI+F2|=(FI+F2)=，尸+2&尸2+4=36。75N.

又g取10m/s2,

所以10/??=360V3,AH=36V3,

把8H1.732代入，可得/*62.

故该学生体重约为62kg.

10.解如图①，设。A=V（）,05二VI,配二V2,

则由题意知v?=vo+v।,\OA|=1.

根据向量加法的平行四边形法则得四边脑OACB为平行四边形.

⑴由此人朝正南方向游，得四边形OACB为矩形，且|直|二AC=百，如图②所示，则在直角三府形

OAC中,|V2|=OC=A/042+4C2=2（m/s）.

因为tanNAOC邛=百,且G=NAOC£（0,5

所以a=^.

故他实际前进方向与水流方向的夹角a为云丫2的大小为2m/s.

于

图③

⑵由题意知NOCB带.且|V2|=OC=\/5,BC=1,如图③所示，

则在直