趋势新题特训四 中考新考法-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

趋势新题特训四中考新考法

一、选择题

1.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数'.如4=22-()212=42-22,20=62

-42,因此4,12,20都是,神秘数"贝J下列是神秘数'的是().

A.56B.60C.62D.88

2.定义运算:a@=a(I-b).下面给出了关于这种运算的几种结论:①23-2)=6;②a&>=b&;③(a(gb)T：b&)=a-b;④若a

劭=0厕a=O或b=I.其中结论正确的序号是().

A.①④B.①@C.②③©D.①③④

3.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3,4,

6,8,且相邻两根木条的夹角均可以调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是(

).

(第3题)(第5题)

4.我们知道，同底数幕的乘法法则为"〃口/=。"汁〃(其中a加，m,n为正整数),类似地，我们规定关于任意正整

数m.n的一种新运算:h(m+n)=h(m)h(n).比如h⑵=3,则h(4)=h(2+2)=3x3=9.若h(2)=k(k和)，则h(2n)h(2026)的结果是(

).

A.2k+2()25B.2k+2O26C.F,1013D.2026k

5.(2025•河北石家庄期中)如图,已知AB=4cm,NA=NB二60。A©=8氏35点P在线段AB上以IcnVs的速度由

点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s).当x的

值为()时,△ACP与二BPQ全等.

A.1B.2C.1或2D.1或1.5

二、填空题

6.已知2"=3,2'=6,2，=12,现给出3个数a,b,c之间的三个关系式:①a+c=2b;②b=a+2;③a+b=2c-3.其中正确的关系式

是______(填序号).

7.如图.△ABC,ADEF,AGHK是大小相同的等边三角形，它们的面积都是16cm2.又知△AHF的面积为25cm2,

三张纸片互相重合部分（即中间小三角形）的面积为4cm2,则图中三人阴影部分面积的和为cnf.

8.（2025・河北张家口经开区期末）如图在△ABC中2C=9（）o,AC=6,BC=8.点C在直线1上点P从点A出发，在

三角形边上沿A-CTB的路径向终点B运动；点Q从点B出发,在三角形边上沿BTC—A的路径向终点A

运动.点P和Q分别以I个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达

终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻，分别过

P和Q作PE±I于点E,QFJJ于点F,则点P的运动时间等于秒时,△PEC与^CFQ全等.

9.（2024.长春绿园区二模）如图,C为线段AB上一点,△DAC,AECB都是等边三角形,AE,DC交于点M,DB,EC

交于点N.DB.AE交于点P.连接MN.给出下面四个结论:①MN〃AB;②NDPM=60。;③NAEB=90。;④△ACM^^DC

N.上述结论中,一定正确的是________（填序号）.

10（2024•广东深圳龙岗区德琳学校期中）如图在等腰三角形ABC中,AB=AC=12cm,BC=20cm,点P从点B出发,

以4ciws的速度沿BC向点C运动.点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动.当v=时,△ABP

与△PQC全等.

II（2024.广东深圳罗湖外国语学校期中）如图.在RtAAOB和COD中,/AOB:/COD4O）/BGOtNC;

45。,点D在边OA上.将图中的△COD绕点O按每秒15。的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_

秒时，边CD恰好与边AB平行.

12.观察以下等式.

第1个等式:(2xl+l)2=(2x2+l)2—(2x2)2；

第2个等式：(2x2+1)2=(3x4+1)2-(3x4)2;

第3个等式:(2乂3+1)2=(4*6+1)2-(4乂6)2；

第4个等式：(2x4+1)2=(5x8+l)2-(5x8)2;

按照以上规律，解决下列问题：

(1)第5个等式为：

(2)若第n个等式为PXUxBZ+l)?-(17x32)2,则t2=.

三、解答题

13.(2025.陕西咸阳兴平期末)如图⑴，从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分

剪拼成一个长方形，如图(2)所示.

(1)(2)

(第13题)

(I根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式：

(2)应用以上公式，解答下列问题：

①已知x-2y=3,x+2广5,求『-4炉的值；

②计算：20252-2026X2024;

(3柘展：计算(22+42+62+82)-(12+32+52+72).

14(2025.河南郑州期末)综合与实浅：

实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵.为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收

集一些该植物植株幼苗进行试验研究.

试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验,

最后统计各组数据.

［数据记录］

一组二组三组四组五组

开红花的植株数量561716386

开其他颜色花的植株数量86910193129

出现红花的频率（保留两位小数）0.39a0.410.40b

I理论分析1⑴表中a=力=:

（2羟过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率.在上

述五个小组的数据中，你认为第_______组的数据不适合用频率估计概率,理由是__________________你认为一株

该植物开出红花的概率是________；

［实际应用］（3）某小公园自然生长大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植

株的总数量.

15（2025.湖北恩施州期末改编）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算.

例如：计算（6{-7必-/_1）+（2田_1）,可用竖式除法（如图）.

步骤如下：

①把被除式、除式按某个字母降幕排列，并把所缺的项用零补齐；

②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x,得到商式的第一项3x3；

③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+l）,把积（6x4+3/）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减；

④把相减所得的差（TOx3r2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于

除式的次数时为止.

被除式二除式*商式+余式.若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.

•・•余式为0,匚（6%4-7彳3々为）能被（2x+1）整除.

请根据阅读材料，回答下列问题：

⑴上面的整式计算中，两个方框内分别填入数或式子应该是：（按从上往下顺序）；

(2请用竖式除法计算：。2+5尸?)<+6).

343—5/十口x~l

2x+l）6d-Z+0二i

6/+3%,

二IO——

4X2+0•x

4^+24

-2x-l

_2%T

0

（第15题）

16(2025.山东济南济阳区期末)(1)［问题初探］某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找

出了全等三角形的模型图，如图⑴和图⑵所示的一线三等角”型.

已知，AC=CE^ABC=LACE=12EDC=90，请在图(1)和图(2)中选择一个模型证明□44c口DCDE.

(2)|内化迁移|在匚力&'中,口力。8=90/C=〃C=3,D为射线BC上一动点(点D不与点B重合)，连接AD,

以AD为直角边，在AD的右侧作三角形ADE，使口。柒=90"。=4£

①如图⑶，当点D在线段BC上时,过点E作.EF"C于点F,求EF的长度；

②如图(4),连接BE,交直线AC于点M,点D在运动过程中，若S,eD=3S-偈请直接写出BD的长.

17.(2025•江西赣州寻乌期末涧题情境:如图(I),相匚9。,口尸力8=130,PCD=\20、求口/PC的度数小明的思路

是：过P作PE〃AB,通过平行线性质来求NAPC的度数.

(1成小明的思路，易求得NAPC的度数为度.

(2祠题迁移:如图⑵,AB〃CD,点P在射线0M上运动，记口P4B=a,PCD=p.

①当点P在B,D两点之间运动时，请直接写出NAPC与a"3之间的数量关系.

②如果点P在B,D两点外侧运动时(点P与0,B,D三点不重合)，请直接写出NAPC与a,0之间的数量

关系.

⑶问题解决：如图⑶是北斗七星的位置图，将具抽象成图(4),具中北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G,

将A,BCD,E,F,A顺次连接、天文小组发现若AF恰好经过点G,且AF〃DE,NB=NBCD+5o,ND=95"3I^NB与NC

GF有什么关系?请说明.

1.B［解析］设两个连续的偶数分别为2k,2k+2,由题意彳导(24+2)2-(24)2=4炉+以+4-4必=8A+4=4(2Z+l)「・・2k+l是

奇数,

「神秘数'是4的倍数，不是8的倍数.故选B.

2.D［解析「.•2&-2)=2x(l+2)=6,；・①正确;•.,a3>=a(l-b)=a-ab,b&=b(l-a)=b-ab,，a&)和b®a不一定相等，，②

错误:〈(a软)-(b软尸a(l-b)-b(l-a)=a-ab-b+ab=a-b,・••③正确;,若a@)=a(l-b)=O,则a=0或b=".④正确.故选D.

3.B［解析］①若选3+468组成三角形，则三边长为768.・・・7-6<8<7+6,・♦•能构成三角形，此时两颗螺丝间的最长

距离为8；

②若选6+438组成三角形则三边长为10,3.8.・・・8-3<10<8+3,・..能构成三角形.此时两颗螺丝间的最大距离为10；

③若选3+846组成三角形,则三边长为11,4,6.•••4+6<11,・•.不能构成三角形，此种情况不成立；

④若选6+834组成三角形，则三边长为14,3,4.V3+4<14，，不能构成三角形，此种情况不成立.

综上所述，任意两颗螺丝的距离的最大值为10.故选B.

4.C［解析］•.•h(2)=k(k翔),h(m+n)=h(m)h(n),

・•・h(2n)h(2026)=h(2n+2026)

=/t(2(n+l013))=A<2+2+2+…+2)

V

Gi+1013)个

=也⑵.九⑵....从0="+1°叱故选C

、--------V

8+101力个

5.D［解析］由题意得AP=tcm,BQ=xtcm.

VAB=4cm,ABP=AB-AP=(4-l)cm.

・・・NA=NB=60。,，分两种情况:

①当AC=BP,AP=BQ时,△ACP^ABPQ,

.*.4-t=3,t=xt,t=I,x=1;

②当AC=BQ.AP=BP时.△ACP^ABQP;

:.3=xt,t=4-t,t=2,x=1.5.

综上所述，当x的值为I或1.5时,△ACP与^BPQ全等.故选D.

6.①@［解析］:2C=12=3x4=2fl>：22=2O+2,2C=12=6乂2=2、2=2⑸，

:.c=a+2,c=b+1,a+2=b+1,b=a-1,

a+c=2a+2=2b,a+b=2c-3,

故其中正确的关式是①③.

7.15|解析］设四边形BMNG的面积为xcm'四边形BMEH的面积为ycm<

•:△ABC的面积是16cm-

:.2x+y+4=16,y=12-2x.

•・•AAHF的面积为25cm2,

A3x+3y+4=25.BP3x+3(12-2x)+4=25,解彳导x=5.

故图中三个阴影部分面积的和为3x=15cm2.

8.2或4或12［解析「••△PEC与4CFQ全等，，斜边PC二斜边CQ.设点P的运动时间为t•秒.

分四种情况：

当点P在AC上点Q在BC上,即凶＜4时,如图(1).

B

ECFI

(1)

•・•CP=CQ,J6-1=82,解得1=2;

当点P,Q都在AC上，即4<t<6时，此时P,Q重合，如图(2).

•・・CP=CQ,・・・6-t=2l-8,解得片斗；

当点P在BC上点Q在AC上，即6<t<7时,如图⑶.

•••CP二CQ,・・・t-6=2t-8.解得t=2,不符合题意;当点Q到点A,点P在BC上.即7<t<14时，如图(4).

ICQ=CP,，6=t6解得t=12.

综上所述，当点P的运动时间等于2秒或g秒或12秒时，△PEC与公CFQ全等.

9.®®®［解析］•••△DAC,4ECB都是等边三角形，

；・AC=CD.CE=CB,ZACD=ZBCE=60°,

・•・ZACE=ZDCB,I.AACE^ADCB,

AZCAM=ZMDP.

ZPMD=ZCMA,/.NDPM=NACM=60)故②符合题意；

*/NCAM=NCDN,AC=CD,NACM=60°=ZDCN,

:.AACMgZ\DCN.故④符合题意；

*.*AACM^ADCN,/.CM=CN.

EE］A/C2V=18O-60'-60=60,

AAMNC是等边三角形,••・NCMN=60。，

・•・NCMN:NACD.MN〃AB.故①符合题意；

IC在AB上的位置在变化，

AZAEB在变化、NAEB不一定是90。.故③不符合题意.故正确的是①②④.

104或4.8［解析］设运动时间为⑸由题意得BP=4(cm,CQ=v(cm,Z.PC=(20-4t)cm.

VAB=AC,AZB=ZC.

当BP=CQ,AB=PC时,△ABP^APCQ,

.\AB=PC=12cm,

.•・CQ=BP=BC-PC=20-l2=8(cm),

；・4t=8,解得Z=2,nv=1=4;

当BA=CQ,PB=PC时,△ABP^AQCP.

LPB=PCQPB=PC=gBC=10c加，

.,.4t=10,解得t=2.5.

匚CC=/8=12Qv=S=4.8.

综上所述，当v=4或4.8时.△ABP与^PQC全等.

思路引导本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握三角形全等的条件，找准对应边.分两种情况：①4ABP

名△PCQ;②△ABPg^QCP,然后分别计算出I的值，进而得到v的值

115或17［解析］①如图⑴，当两三角形在点O的同侧时，设CD与OA相交于点E.

.ZAOB=90°,ZB=30°,/.ZA=60°.

VAB//CD,AZDEO=ZA=60°.

VZC=45°,ZCOD=90°,

□□£)=90-45=45,

匚□OOKT80-60-45—75).

•・•每秒旋转15,075J-15=5(秒);

DDB

0BE^C

(1)(第11题)②

②如图(2),当两三角形在点0的异侧时，延长A0交CD于点E.

VAB/7CD,/.ZDEO=ZA=60°.

VZC=45°,ZCOD=90°,

匚口。=90-45=45,

匚口。。E=180-60」-45=75,

，旋转角为180工75=255.

•・•每秒旋转15，口255+15=17(秒).

综上所述，在第5或17秒时，边CD恰好与边AB平行.

易错警示本题考查了平行线的性质、旋转变换的性质以及三角形的内角和，难点在于分情况讨论，作出图形

更形象直观.分两种情况求解：①当两三角形在点O的同侧时；②当两三角形在点O的异侧时.

12.(1)(2X5+1)2=(6X10+1)2-(6X10)2

(2)332[解析]观察猜测第n个等式为(2〃+1)2=[(〃+1)口2〃+1?—[(〃+])[2〃产证明如下：

等式左边：(2〃+1)2=4〃2+4〃+1,

等式右边：[[(〃+1)口2〃+1]2_[(〃-1)口2〃]2

=4/+4〃+1,即猜测成立.

匚产=(17x32+1)2-(17x32>,17=16+1,32=16x2,

?=(2X16+1)2=332.

13.(1(a-b)

(2)®因为x-2y=3,x+2y=5,

所以.，-4)，2=(厂2)，)(>+2)，)=3'5=15.

-20252-2026X2024

=20252-(2025+1)x(2025-1)

=20252-(20252-1)=20252-20252+1=1.

(3)(22+42+62+82)-(l2+32+52+72)

=(22-l2)+(42-32)+(62-52)+(82-72)

=(2+1)x(2-1)+(4+3)x(4-3)+(6+5)x(6-5)+(8+7)x(8-7)=3x14-7x1+11x1+15x1=36.

14(1)0.10.4

(2匚试验的植株数太少0.4［解析|利用频率估计概率可知一株该植物开出红花的概率约是04

(3)514/4=1285(棵).

故估计该公园此植物植株的总数量为1285棵.

l5.(l)2-iav3-5A-2

⑵略

16(1)选择题图(1):VZACE=90°,

.\ZECD+ZACB=90°.

•・•ZCDE=90°,

/.ZECD+ZCED=90°,

AZACB=ZCED.

UABC=UCDE,

ABCCDE中，｛□力。8=口。皿

AC=CE,

.,.△ABC^ACDE(AAS).

选择题图(2):<ZACE=ZCDE=90°,

ZECD+ZACB=90°,ZECD+ZCED=90°,

AZACB=ZCED.

匚ABC=［：CDE,

在△ABC与△CDE中(Z/1C5=IJC£D,.,.AABC^ACDE(AAS).

AC=CE,

(2)®VZACD=ZDAE=90°,

.*.ZCAD+ZADC=90°,ZEAF+ZCAD=90°,

；・ZADC=ZEAF.VEFlAC,/.ZEFA=90°.

□JDC=rEAFy

在AADC与二EAF中，｛□力CZ>EFA,

AD=EA,

•二△ADC经ZXEAF(AAS),

AEF=AC=3.

②过点E作EF_LAC交CA的廷长线于点F.

根据“一线三等角“易得△EAF^AADC,/.EF=AC=3,AF