高等数学 第六章习题B详解

第六章

第三节偏导数

1.设函数f(x,y)=『e""r.求

由于%=e*y)i,因此存户+3"户,所以施

解=4e.

dydxcy

(i,i)

x-y

X+y,°,，证明4(0,0)r式0,0).

2.若函数f(x,y)=«x―+y2v

0,x2+y2=()

4224

x+4xy-y22

)(八打x+y*0,

解£(%)')=，

0,x2+y2=0

x4_4x22_4

x----；―•、、•X2+y2w0,

U2+y2)2

o,x2+y2=0

人.(0,0)=娘°，》)£(O,Ay)-£(O,O)「-Ay.

=lim=lim----=-1

dyAy->0△yAy->0△y

九(。,。)=竽二礴区丝上Wu

dxA.t->oAxAr-»O

因此/(0,0)工((0,0).

证明函数〃=,，1=Jf+y2+z2,满足拉普拉斯方程电十迎十

3./o

rdx'dz”

dudr1dr1xx13xdr1

解由于——=------'2"——J--+''-''=---

oxdrdxdxrrocx2r3r4oxr

类似可得粤=-4+岁

dy~rrdz2r5,

d2ud2ud2u3।3(1+y2+z2)二0

因此++歹+左

第五节方向导数与梯度

A级题目

1.求函数在点尸(1,0)沿着从点RLO)到点Q(2「1)方向的方向导

数。

解法一从点。(1,0)到。(2,-1)的向量为①故题中射线/的参数方程为

Z=(l+r,-r).由方向导数的定义，

②J(1+廿-1

—=lim----------------------=lim/

dl(1.0)fP'T°'J(1+・1)2+(T-())2

(l+rk-2,-la

=hm-------7=-------=--------.

y]2t2

解法二从点尸(1,0)到。(2,-1)的向量为而=(1,-1),故题中射线/方向的方向余

弦分别为

11c-1

cosa=i=—j=.cosp=/

V(l-0)2+(-l-0)2V2Jq_o)2+(_joy

函数二证”在点P(l,0)可微，由定理6.4,可知

更・COS”更

讥(1,0)dx(1.0)

(1.0)

2.设/(X,y)=炉+y2-孙问

(1)若射线/与仃的夹角为U求方向导数名

36dl(IJ)

⑵求在什么方向上方向导数率，有最大值、最小值及等于零？

解(1)由题设，/方向的方向余弦分别为

函数/(见-在点(1,1)可微，故而

dfdf7idfK

—=--cos—+--cos—

dl（1.1）dx（1.1）3②6

=（2x-.；+（2y7尢/y=竽

(2)设，的方向为(cosasin。)，这里，为/与I轴正向的夹角，于是

dfofdf.q

—=—•cos^n+-

讥（i.i）dx（i,i）8y（Li）

=（2x-）%.鼠cos。+（2y-矶gSin。

\

=cos+sin=V2sin0+—,

4j

所以当夕时，方向导数最大，其最大值为加;当夕二?时，方向导数最

44

小，其最小值为-人;当。=今或夕=?,方向导数为0.

44

B级

2g'd+y2Ho

1.设函数/(匹田=仔+6'，证明函数在点(0,0)沿任一方向的

0,x2+,2Ho

方向导数都存在，但其在该点不可微。

证明对于从点(0,0)出发的任一射线/,设其方向为(〃?,〃)，则有

〃(),())=lim/(内)-＞。。)=lim2〃"?3t=0

fP1。7m2+n2(m2+t2n4)

故而函数在点(0,0)沿任一方向的方向导数都存在。

易得《‘(0,0)=4(0,0)=0,但是

/(0+&,0+Av)-/(0,0)-"：(0,0)Ax+/；(0,0)Ay]=/(Ax,Ay),

而

2孙3

lim/(VO，)=lim：+)'4=lim/1=100,

即

/(0+A%0+Ay)-/(O,O)-[/；(O,O)Ar+/：(0Q)A)，]*o({(—>+(△"),

所以函数在点(0。)不可微。

第六节多元复合函数及隐函数的求导法则

I.设函数/(〃》)具有二阶连续偏导数，函数g(x,y)=»—/(x+y,x—y),求

♦g।a2gj2g

dx2dxdydy2

答一*也,安―‘鲁I”"九

32g

因此

dx2dxdyoy

,7

2若函数"/•(")具有连续的二阶偏导数’求语在极坐标系下的形式•

x=rcosft

解直角坐标与极坐标有如下关系I-sin。’因此

@=包理+生@=^cosO+包sin。.

drdxdrdydrdxdy

dz_dzdxdzdy二-sing包+-cos。包,

拓二以拓+而拓小dy

dzdz八dzsin。dzdz.八dzcos6?

贝ij—=—cos。sin8+-----------

dxdrd9r'dydrdOr

...drcOsin。"=sin。，"_cos<9

由此z得s『二cose,—=

oxdxrdydyr

2d8z

dzd'叼一3：+(\£0

所以QQ=%

dxdydykdrjdra

ddz八dzsin0d.dzdzsin。、cos。

=——(——cos夕)sinO+—(—cosZn/------------)--------

drdroOrdOdrd9rr

=^4cos6>sin<9-—•sin20dzsin20

_1_

dr2dOdrroOr1

d2zcos26^dzsingeos。d2zsinOcos。dzcos20

1■

ordOrdrrd0-r2dOr2

=^fcos"sin0+-^-cos2。dzsinOcos。d2zsin^cos^dzcos2^

dr2drd0rdrrdO2rd3r2

3.设函数〃=.f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式

d2u

+12—+50,

a?dxdydy2

确定的值，使等式在变换J=x+。)；，〃=下化简为

dudu%dudr\dudu<包=包啰+生包=。包+b包

解由题,■•1'

ST瑟&dv\dx比西’dy比8y西d一y，死的

2

du_dux比+dux西_3、+2

-------------*--------7

dx2dxdr\dxdt,2优劭dx\~

22

dudux比duxcrjdu.,.

dxdy0gdy西dyd^~比西劭

d2u_3〃,，比6%,西—d2u

2+2CabL-------Fb»2

dy2先dydr\dy比2

代入h+12丽+5万”得

(4+12。+5。2)驾+(8+12(。+份+10。与巨巴+(4+3+5/)会=0,

比一比rG|dv\~

,4+12。+5/=0,

因此要将等式转化为黑=0,需满足4+128+5/=0,,所以a=-2,b=~-

ocdr\5

'1[8+l2(a+〃)+10a〃w0

2

或者。=-g，b=-2满足题目要求.

7ox

4设函数z=z*,y)是由方程ef+x+V+z二所确定’求dz,—

解令F(x,y,z)-e2y:+x+y2+z--,贝ij包=一乙=

4dxF.2)”+1

Sz二F、=2ze2"+2y

2yz

~dy~~~F:~~2>^+l

2-：+2.y.

dz2廿z+i7

孩一“蚱afi]产、3工十净

33)，-dy[dj-dy[2ye2yz+1)(2.ye2vz+1)2

2e2”(2)，e2”+1)44)/"(z-2/)

(2je2v:+1)3

5.函数z(x,y)为由方程*+1)Y一/=工2./。一2,)：)所确定的隐函数，且/,(〃/)具有

d2z

连续的二阶偏导数.求dz|(o,D，

dxdy(o.o

解4*F=(x+l)z-y2-x2f(x-z,y),

因此…“将-2y-x2f；

x+1+x2

Ka

则彳二-1,半=2,所以dz|=-dt+2dy.

^(o,u)/皿l<0J)

2

出KazZk(—zv)+:*(工：.()+九)

dxdy工+1+月工

JZ-24-X2为x2(#.(-z「)+九)

(X+1+X”

所以

dxdy

<0.1)

第七节多元函数的极值及其应用

1.求二元函数/*,y)=Y+8y3一孙的极值.

ff(x,y)=3x2-y=0/(\1A

解考虑求解驻点满足的方程组:〜2〃得驻点(()，()x)，[77.

[<*，)')=24)广一工=0<612；

考虑二阶偏导数九(x,y)=6x,fxy{x,y)=-l,fyy(x,y)=48y.

2

在(0,0)处，4二1式0,0)=0,B=/vv(0,0)=-l,C=/vy(0,0)=0,AC-B=-l<0,

因此/(o,o)不是极值.

在（聂）处，==>ii)

A4?H)I°瓦=4,

(11A由是极小值•

AC-B2=3>0.因此/

1612J

2.求函数/(x,y)=X4+/-X2-2xy-y2的极值.

3

/v=4x-2x-2y=0

解考虑求解方程组J得驻点(0,0),(1,1),(-1,-1).

=4)，3一2工-2)，=0'

进一步£,二12/-2,%=-2,/vy=12/-2.

在(1,1)点处，A=0,1)=10,B=/；(1,1)=-2,C=/；(l,l)=10,因此4。一分>0,

且A>0,所以/(1,1)=-2为极小值；

在(一1,一1)点处.-D=IO,B=/；(-l-l)=-2,。=&(一1,-1)=10,因此

AC-fi2>0,且A>0,所以/(一1,-1)=-2为极小值；

在(0,0)点处，A=£(0,0)=-2,B=/；(0,0)=-2,C=/；(0,0)=-2,因此

AC-B2=O,所以充分条件失效.

考虑在(0,0)某领域内，/(X,X)=2X2(/-2)<0,7(x,-x)=2x4>0,所以/(o,o)=o

不是极值.

3.求函数/*,y)=(y—/)(),一丁)的极值

=-x(2y+3xy-5x3)=0(210、

解考虑求解方程组X,；/3c，得驻点(0,0)，(1』)，.

fy=2y-x--x=01327；

进一步%=-2y-6x)，+20V=^x-3x\f»=2.

在(1,1)点处，A=£：.(l,1)=12,Z?=/*.(l,D=-5,C=/；(l,l)=2,因此AC-由<0,

所以/(1,1)不是极值；

在停点处'泻卜祟8=W，S)=gC=&.(|居)=2,

(210A4

因此AC-3?>0,且A>0,所以万J=一病为极小值；

在(0.0)点处.A=£©0)=0.B=<；(0,0)=0.C=/