2024-2025学年江苏省某中学高一年级下册期中数学试题（含答案）

江苏省泰州中学2024-2025学年高一下学期4月期中

数学试题

一、单选题

1.下列命题是真命题的是（）

A.若‘=',则B.若/=4,则/=2

“y

C.若，则-yfijD.若机<〃，则沏2<〃2

2.若4=—40,^={x|logA<l|,则404=()

8-x5

A.{2,3,4}B.0C.乩2}D.{2,3}

2x

3.函数y=的图象大致为（)

1巾I

4.“m=2”是“向量。5=（加,4）,则引区”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

5.某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设

立生物丰富度指数八需作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调

整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由M变为此，生物丰富度指数由3.1提高到4.65,则

)

A.3M=2乂B.2乂=3乂

C.M=N：D.N；=N；

6.在正方形44。。中，点七满足方=2比，点/满足游=g函+；就，若丽=-5+y就，则工7=

()

A-1B.yD

.2c1-4

7.已知。一月=三，tana-tan夕=2,则cos(a+£)的值是()

「g+]

AV3-1B.叁D,巫

A.-------

2244

8.若丫48。的三个内角均小于120。，点加满足/4%8=/4，w。=/的〃?=120。，则点时到三角形三个顶

点的距离之和最小，点用被人们称为费马点.根据以上性质，已知值是平面内的任意一个向量，向量5,c

满足5工了，且W=3,|ci=x/3,则的最小值是()

A.9B.4也C.6D.3百

二、多选题

9.下列各式的值为1的是()

.tan20+tan25B.log27log8-(1p

A.-------；--------；—6+6

tan20tan25-1o

C.sin72cos18-cos108°sin18D.2cos222.5°-1

10.已知曲线y=+1(a>0且awl)过定点。，且。的坐标满足方程〃"+叩T=>0,〃>0),则()

A.的最大值为:B.+4/的最小值为:

84

C.'+巴的最小值为1+20D.+工的最小值为乡

mn2nj〃+16

11.对于函数y=〃x),若对于其定义域。中任意给定的实数X,都有-XC。，并且/(x)./(r)=l,则

称函数y=/(x)为倒函数.以下选项正确的有()

A.函数/(力=3、是倒函数

B.函数g(x)=「q是倒函数

C.若y=/(x)是R上的倒函数，当xKO时，/(.丫)=2-1+/,方程/(耳=焉没有正整数解

D.若》=/(》)是R上的倒函数，其函数值恒大于0,且在R上是增函数.记尸(x)=/(x)-钢，则

x,+x2>o是尸&)+尸&)>o的充要条件

高中

三、填空题

12.辕函数为什么叫“累函数”呢？暴，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“出品，凡广（即

长）从（即宽）相乘谓之乘.”辕字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时,

自注曰：“自乘之数曰累“.累字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即x",函数

/（T）=（2/-a）/+/_］为昂函数，则〃二.

13.已知函数/（x）=sin（°x+3）血。为常数，3>0）的部分图象如图所示.则/第）=：

若将函数/G）图象上的点P（O,a）向右平移（>0）个单位长度得到点。，且点。仍在函数的图象上，则

，的最小值为.

14.已知落瓦0是平面向量，©是单位向量，若非零向量值与©的夹角为m，向量B满足方一6>0+8=0,

4

则忖-可的最小值是.

四、解答题

15.单位圆。与x轴止半轴的交点为4点8,。在圆。上，且点8在第一象限，点C在第二象限.

(714

(2)记N/10C=a,ctG—,7t,当80_LCO,点B的横坐标为一时，求sina+cosa的值.

k2J5

16.已知集合4={Xx2-x-2<0j,x\x-|>-|•.

（1）求；

高中

（2）记关于x的不等式/_（2加+4）x+〃/+4〃?w0的解集为"，若BUM=R,求实数〃?的取值范围.

17.已知函数/（x）=loga（HMi在R上为奇函数，a>},m>0.

（1）求实数〃?的值；

（2）指出函数/（x）的单调性（说明理由，不需要证明）；

（3）设对任意xcR，都有/（"：o"2/+5）+/（缶inx"）WO成立，求f的取值范围.

(3r

18.已知向量|[cosj^si倒n仪cos-,-sin-I,函数

汽冗D

/(x)=a-5-w|a+5|+l,xe"MGR.

（1）若/W的最小值为-1，求实数，"的值;

（2）是否存在实数小，使函数组了）=/（》）+豢儿

X€37有四个不同的零点？若存在，求出〃,的

取值范围；若不存在，请说明理由.

19.设函数/（X）的定义域为。，对于区间/=［。/］（Q<b,/£。），若满足以下两条性质之一，则称/为/"）

的一个“。区间”.

性质1：对任意XC/,有/&）€/:

性质2：对任意XW/,有/（X）2/.

（1）分别判断区间［1,2］是否为下列两函数的“C区间”（直接写出结论）;

①y=3-x；②y=3；

X

（2）若［0，M5>0）是函数f（x）=-?+2x的“。区间”，求m的取值范围;

⑶已知定义在R上，且图象连续不断的函数/"）满足：对任意不七毛口，且x尸S，有小上“■卫<T.求

X「X\

证：八外存在“Q区间”，且存在%eR，使得X。不属于/（X）的所有“Q区间

高中

参考答案

题号12345678910

答案ACBADDACBCACD

题号11

答案ACI)

1.A

由倒数定义易判断A正确；通过举反例即可逐一排除B,C,D项.

【详解】对于A,由'=,可知均不为0,故工=产，即A正确；

Xy

对于B,由/=4可得X=2或x=-2,故B错误；

对于C,由机=〃，若取〃?=〃=则而,C没有意义，故C错误；

对于D,由〃?<〃，若取加=-2,〃=1,则〃?2>〃2,故D错误.

故选：A.

2.C

先化简集合4B,再利用集合的交集运算求解.

【详解】解:J=（xeZ^<ol={xeZ|^8ngx<2},

i?={x|log5x<l{={x|0<x<5},

,40”{1,25,

故选：c

3.B

先求函数定义域，排除A,再根据函数奇偶性排除B,再通过特殊值排除D得答案.

【详解】函数丁=品的定义域为卜卜*±1且XH0},排除力项；

―2x2v

•••/（一力=丽=-/'（耳，・・・歹=丽是奇函数，排除。项；

4

再取特殊值当x=2时，^=—>0,排除。项.

m2

故选：B.

4.A

由于后〃5=1x4-=0o"i=±2,即可判定

【详解】由题意，a!/b1x4—wr=0<=>???=±2

高中

因此“〃1=2”是“向量1=（1,加），6=（〃八4）,则以区”的充分不必要条件

故迄A

5.D

根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案.

c_1q_[

【详解】由题意得％=3.1①，%-=4.65②，

In%ltW2

贝|」3.1喇=4.651n.V2,

即2加M=3l〃N],即加N：=InN：,

所以N；=N；,

故选:D

6.D

根据给定条件，利用向量线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.

【详解】在正方形/5C力中，AB=DC=AC-ADr

iui'21"21111r__I一I__

由诙=2反，得桃=、。。=鼻，44,又BF^BA+^BC,

--——————?—1—1__

因此丽=丽+汤+而+旃=一二茄_而+而+—而+一胫

322

=~'AB-~AD--~AB^-~Ab=--iAC-~Ab\--~AD^--~Ab--7C,

3226、f236

而定=人力方十y衣，旦而，记不共线，于是》=一：/=一二户一^=一二.

366

故选：D

7.A

由tana-tan夕=2将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出cosacos/，再由两角差的余弦公式求出

sin。sin/?,即可得解.

【详解】因为lana_tan£=2,a—4=

J

.JI

所以sinasinP_sinacosP-sinPcosa_sin（a一4）sin3

2、

cosacosPcosacospcosacospcosacos/?

所以cosacosp=—，

4

又cos（。一£）=cosacos/y+sinasin£=；,所以sinasinp=；--

所以cos（a+£）=cosacos/?-sinasin£=络J

2'

高中

故选：A

8.C

设苏=G，OB=b^OC=c>4KV)，8(3,0),C(0,®例0,-百)，则|万-很|+|1-人+|G+U|即为点

力(工,)，)到8(3,0),C((),百)，。(0,-百)三点的距离之和，由费马点的性质可得当点A位于△8C。的中心

时，|43|+|4。|+|力。取最小值,即可求解.

【详解】设宓=—,丽=5,OC=c^月。，川，6(3,0),。(0,石),D(0,-V3),

则「一5=百一方=(x-3j),a-c=OA-OC=(x,y-4i),a^-c=OA+OC=(xty+y/3),

所以|2—5|+mv|+m+1|=yjix-3)2+y2+•以(y-百2+/+3+行2=|相|+MC|+|4Q|,

因为△BC。为等边三角形，由题意，等边△8CO的费马点为△8CO的中心，

此时|48|+MC|+|力力|取最小值，

所以(IM+MC+I期)诬，。却X3=6，

故选：C.

9.BC

利用三角变换公式计算判断ACD：利用指数、对数运算计算判断B.

【详解】对于A,，an2?+tan，5=一tan(20+25)=-tan45=-1»A不是；

tan20tan25-1

i_11

333

对于B,log627+log68-(-)=Iog6216-(2)=3-2=1,B是；

8

对于C,sin72cos18-cos108sin18=sin72cos18'+cos72°sin18=sin90=1,C是；

对于D,2cos222.5°-1=cos45=»D错误.

2

故选：BC

10.ACD

A选项，先由指数函数特征求出。(1，2).故"7+2〃=1,由基本不等式求出积的最大值：B选项.iv=1-2w>0.

高中

解得0<〃<:，变形得到〃/+4〃2=8(〃-L[+_L,求出最小值；c选项，变形得到"='+'-2,由

2V4/2wn〃；n

基本不等式力”的妙用求出最小值；D选项，变形得到〃?+2(〃+1)=3,由基本不等式“1”的妙用求出最小值:

【详解】A选项，令x-l=O,即x=l,此时y=a°+l=2,故0(1,2),

由题意得m+2〃=l,

由基本不等式得/〃+2〃22\/^拓，BP1>2\/2nin»解得〃

O

当且仅当加=2〃，即阳=［，〃=［时，等号成立，A正确；

24

B选项，m+2/?=1,故加=1一2〃>0,解得0<〃<一,

2

则m2+4/=0_2〃『+4/=8/-4〃+1=8(〃-()+g,

故当〃=!时，病+能取得最小值，最小值为9B错误；

42

―出存1m11-2/711.

C选项，一+—=—+-----=-+--2,

mnmnmn

因为用+2〃=1,w>0,w>0,

所以L+'=^+rim+2〃)=i+@+%+2N3+2、F=3+2五，

mnImn)mnvmn

当且仅当初=%，即〃7=&-1,〃=三卫时，等号成立，

mn2

故'的最小值为1+2VLC正确；

mn

D选项，因为6+2〃=1,w>0,n>0,

所以机+2(〃+1)=3,

故■+高=O+岛卜+2(〃叫]43勺|T产

当且仅当答"葛,即吁w时，等号成立，D正确.

故选：ACD.

11.ACD

对干选项A、B,直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C,先根据倒函数性质求出x>()时函数表

高中

达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D,根据函数单调性判断$+M>0与歹（%）+/（工2）>0之间

的充分性和必要性.

【详解】对于A,对于/"）=3、定义域为R,显然定义域中任意实数肛都有-xeR成立，又

/（r）/（-x）=3'3-x=l,所以/（x）=3'是倒函数.故A正确.

对于B,8（力=户定义域为己|4〜D，当％=1时，T=不符合倒函数的定义,所以g（x）

1十人

不是倒函数，故B错误.

对于C,令x>0,则T<0,由倒函数的定义，可得/（力/（-1）=/（矶2'+.*）=1,

f2-x+x2,A<0

所以〃》）=不一T，所以/（力=1八，要使/（X）=E有正整数解，

2+x--------7，x>02025

[2x+x2

贝ljT=---,当X=10时，-rr-^7=~-—>---；

2x+x220252,0+10211242025

当工=11时，岛?=*（短；所以/（'）=募没有正整数解，故C正确•

LI1141\J/J\jJJJ\jJJ

对于D,充分性：当再+々>0时，石>一式2且》2>-七,因为/（X）是增函数，

所以/（内）-/（-/）>。，/（超）-/（-$）>0，即/（为）—7^5>°，

所以“（不开/小卜/日）-/>/卜2Ao.

Jg）f[X]）

必要性：当F（xJIF（.）>0时，

有“为上点+〃*）-点=[火X）+W

Xx)A4

因为/（X）恒大于（），所以/（芭）/&）-1>所即/&）/（巧）>l=/（xj/（f），

所以/（与）>/（一王），因为/（X）是增函数，所以尤2>-为，即%+与>0;

练上可得为十七>o是"a）十厂a）>o的充要条件，故D正确.

故选：ACD.

12.1

利用冢函数的定义进行求解即可得.

【详解】解：因为函数/（x）=（2dJ。卜"+/-1为暴函数，

所以可得:："：，解得4=1.

二0

高中

故答案为：1

13.0g/；不

JJ

根据给定条件，求出函数/（X）的解析式，并求出。值，再由求出，的关系式即可得解.

【详解】观察函数图象，得函数/（X）的周期7=2弓-0）=兀，0=1=2,则/（x）=sin（2x+G，

由f（-二）=0,且函数/（x）的图象在点（-20）附近是上升的,得-1+e=2EAwZ,

12126

即0=四+2依,4wZ,因此/（；0=$皿2丫+四+2杭）=$皿2》」），所以/—=sinn=0；

666V12J

。=/（0）=！，而点。亿。）在/（》）的图象上，则/"）=:，即sin12，+S=；，

2262

又7>0,则2/+?=2+2〃兀或2/+4=^^+2〃兀,〃eN,解得f=色+〃兀或/=兀+〃兀,N,

66663

所以/的最小值为

故答案为：0:y

14,逑.]

2

根据已知7-6鼠。+8=0可得出0-幻，0-4。）.进而作图推得q_LN4,点4的轨迹为以M为圆心的圆.

过点”，作M4_LW,垂足为4,交圆于点与，结合图象分析即可得出|彳可即为归-可的最小值.根据已

知条件计算即可得出答案.

【详解】由已知庐一6几0+8=0可得0-24-,一"）=0,所以（B_2）_L0_4G）.

iOE=e»OA-afOB=b»ON=4e»OM-3e»OF=2e»

则而=砺一砺=坂一2工，NB=OB-ON=b-^，a-b=OA-OB=BA^

所以有丽丽=0，FBLNB>则FBLNB,

所以点8的轨迹为以M为圆心的圆.

过点何，作“4，。力，垂足为4，交圆于点4,

根据图象可得出|彳瓦|即为卜-4的最小值.

在RtZ\O4"中，有OM=3,AO4.M=-,

4

所以有4M=OMsin：=~~.

又MB】=MF=1,所以|福卜力也一MB、=--1

12

高中

A

4

B

OM-N

故答案为：逑7.

2

15.⑴色一直

64

(2)sina+cosa=g.

（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算S=S由形求解即可：

，43、34

（2）先由已知得8进而得出sin〃=gcos/?=,最后应用诱导公式计算求解即可.

【详解】（1）设前所对的圆心角为。，弧长为/,弓形的面积为S.

因为/=2,圆。的半径为，・=1,所以

3r3

c_ln,.2_1巴\2--cl@兀百

_2i_6，S^BOC=2l'~=~，S=S扇形一=不一彳.

（43、

（2）设NAOB=。，由题知4,

I3/

34

于是sinp=《，CQSP=—,

4311

sina+cosa=sin（90°+/?）+cos（90°+/?）=cos/?-sin/?=y——=—.即sina+coscz=—.

16.（1）4D8={X|XV2或xN4},4c/8={x[l<x<2}

(2){/H|0</»<11

（1）分别解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合4B,再求力7即可；

（2）解一元二次不等式求出集合M,再根据8UM=R，借助数轴可解出实数〃?的取值范围.

【详解】（1）解：因为一一>2<0即（x-2）（x+l）v0,

所以一l<x<2,所以“={x|—l<x<2}；

53

由可得C4或尤41,

所以3={x|xWl或"4},进而可得'〃={x[l<x<4},

所以力°8=,,<2或工24},4cd!<8={.川<*<2}.

高中

(2)解:因为/一(2〃7+4)X+〃/+4〃?W0,

所以(x-〃?-4)(x-〃?)W0,所以犷加+4,

所以A/={x|w<x<zw+4}；

乂8={x|x«l或xN4},

m<1

若3UM=R，则；/所以0s〃7<1,

所以实数机的取值范围是{川0<加<1}

17.(1)«：=>/2

(2)/'(x)=log”(6+1-瓜)在R上单调递减

(3)-1</<3

(1)根据已知结合奇函数的性质有/(-x)+/(x)=0,代入化简可得logO[(2-+=即有

(2-/M2)X2=0,解出”的值，代入检验即可得出答案；

⑵令1=后不—6X，分xNO以及x<()两种情况分析得出函数/=反7-岳的单调性，进而即可

根据复合函数的单调性得出判断：

(3)根据函数的奇偶性、单调性结合已知条件化简得出血(cost+sinx”/-2/-5.设

g(x)=Ji(co殳+sinx),根据已知条件结合三角函数的性质求出函数g(x)的最小值，进而得出不等式

r-2t-3<0,求解即可得出答案.

【详解】(1)由已知结合奇函数的性质可得/(-x)+/(x)=0,

即

22

log,(《2(-x)+1-〃优)+log/也/+1+侬)=loga(J21+1一(\/2x+1+

222

=loga(J"+1)-(wx)"=10^[(2-w)x+1=(,

所以(2-/卜2=(),解得加=±&(舍去负值)，所以昨友.

此时有/(%)=(五八1-五月,定义域为R,满足题意.

⑵令1=也+1-&，

因为。>1,所以函数y=在(0,y)上单调递增.

高中

(5/2/+1-万：)(瓜+1+瓜)

又当xNO时,有/=\!lx2+1-42x=在［0,+力)上单调递

减；

当X<()时，y=信+1与》=均为减函数,

所以有ugTW-Vir在［0，+句上单调递减.

综上所述，［=5/2/+1-亚工在R上单调递减.

根据复合函数的单调性可知，/(.v)=log<,p2?+l-五x)在R上单调递减.

(3)由已知/(技osx+2/+5)+/(0siru-2上()，

结合奇函数的性质可得/(岳。政+2/+5)K-/(伍inx")=/(—缶向)

又由(2)知，/(》)=log“(J2./+1-瓜)在R上单调递减,

所以有近cosx+2t+5>t2-V2sinx»整理即有源(8sx+sinx)>i2-2t-5.

设g(x)=&(cosx+sinx),要使该式恒成立，则应满足g(x)而/『-2"5.

/\

又g(x)=\/^(cosr+sinx)=2sinx+—,

当了+?=-令+2m％cZ,即工=一日+2&兀,〃cZ时，g(x)有最小值一2,

则有尸-2一5«-2,整理可得『一2"3Mo，解得-1Q3.

18.(1)，〃=五；(2)—<W<Z.

64

【详解】试题分析：(1)利用向量数量枳的公式化简函数/(x)即可.

(2)求出函数/(x)的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可.

(3)由g(x)=0得到方程的根，利用三角困数的性质进行求解即可.

试题解析:

/,、・.-£：3xx.3.xr.x)

(1).an=cos——cos—+sin--sin—

222L2)

-r，3xx.3x.x1

a+b=\cos—+cos—.sin------sin-,

I2222)

高中

'/xey,-^-/.|a+^|=V4cos=2cosx,

/1i

/(x)=cos2x-2ZHCOSX+1=2cos2x-2/wcos.v»令，=co&te-,1,

1

***y-It-2mtVymin=-1,对称轴为f=3,

①当即m<l时,当”;时，Znin=；—-=T<相=1舍，

।2

②当工41即1«〃?W2时，当，=了时，乂讪=-g-=-1•••〃?二五，

③当3>1即阳>2