高一数学寒假讲义：指数运算与指数函数（解析版）

第五讲指数运算与指数函数

【知识梳理】

一、指数与指数幕的运算

1.根式

(1)〃次方根的概念与性质

概念一般地，如果工"二。，那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,“wN*.

①当〃是奇数时正数的〃次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，

n

。的〃次方根用符号后表示

次

②当〃是偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数。

方

的正的〃次方根用符号右表示，负的n次方根用符号-后表示.正的n次方根

根

与负的〃次方根可以合并写成土加(。>0)负数没有偶次方根.

③0的任何次方根都为。，记作而=0.

(2)根式的概念与性质

概念式子后叫做根式，这里〃叫做根指数,a叫做被开方数.

①(布)"=a(n>1,且〃eN*).

根

②当〃为奇数时，技=〃.

式

③当〃为偶数时,y[a"=p|=-.

11

[-aya<0

2.实数指数幕

(1)分数指数幕

①我们规定正数的正分数指数事的意义是〉=称'伍>0,见〃£N：且〃>1).

于是，在条件aN;且〃>1下，根式都可以写成分数指数幕的形式.

一21

②正数的负分数指数幕的意义与负整数指数幕的意义相仿，我们规定。〃==(。>0,团,打£1^,且

加

«>1).

00的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.

(2)实数指数寻

对于任意实数二s,均有下面的运算性质：

①aras=ar+5(a>0,r,5eR);(2)(ar)s=an(a>0,r,seR);③(ab)r=arbr(a>0,Z»>0,rGR).

二、指数函数的图象与性质

1.指数函数的概念

一般地，函数)，=a'(a>0,且。工1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

【注】指数函数)，=优(。〉0,.且〃工1)的结构特征：

(1)底数：大王雯且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量％;(3)系数：的系数是L

2.指数函数y=a\a>0,且。工1)的图象与性质

0<«<1a>\

定义域R

值域(。,+8)

奇偶性非奇非偶函数

对称性函数y=「与>=管的图象关于四对称

过定点过定点(0,1),即工=0时，y=l

图象

ai归二力伽J厂一

—------r-d.

单调性在R上是减函数在R上是增函数

当x<0时，y>\;当x>0时，

函数值的变化情况当x>0时，y>l;当/<0时，0<》<1

0vy<1

指数函数在同一坐标系中的图象的相对位:置与底数大小关系如下图所示，其中

0<c<d<l<a<b.

①在）•轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

②在）•轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小

底数对图象的影响__■

个

0X

即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆日寸针方向变大.

题型01指数幕的运算

【解题思路】利用指数幕的运算性质化简求值的方法：进行指数幕的运算时，一般化负指数为正指数，化

根式为分数指数鬲，化4、数为分数，同时兼顾运算的顺序.

【例I】已知2,=3,2丫=5,则2?吗的值（）

45

A.9+75B.—C.6>/5D.9遥

【答案】D

【分析】根据指数的运算性质即可求得.

【详解】因为2，=32=5，所以2?呜=22匚2'（2,）2-（2）=32、55=90.

故选：D.

【例2】计算:

广-式2当

⑴层1I27J

(2)2^-log32.1og49+lg2+-

【答案】（DO

⑵3

【分析】（I）（2）按指对数的运算律计算.

【详解】（1）原式=凹=2><64Y32丫4丫

-2xlx2x

116；27>4;3>

(2)^=1-Iog321og23+lg2+lg5=i-l+l=1

【变式川若—则乞寻

)

A1B•卷

A-2D-H

【答案】A

【分析】将x+N=3两边平方得/+x-2=7代入所求的式子可得答案.

【详解】将x+k=3两边平方，得9十了2+2=9,即f+x-2=7,

./+/+3/+£2+37+31

所以4+产+2=(x+x-')(x2+x-2-l)+2=3X(7-1)+2=2.

故选：A.

【变式1-2】已知a+,J=7,则/一二=()

A.石B.±y[5C.3D.±3

【答案】B

【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.

【详解】由=a+a~1-2=5可得j_/=±石.

故选：B.

【变式1-3］求值或化简

⑴计算：0.0645+-1"一（2：j+0.L；

⑵化简（用分数指数幕表示）：疗”＞。力＞0）

【答案】（D99.9

人、19I

（2）/工6万

【分析】（1）利用分数指数寻运算法则计算出答案；

（2）将根式化为分数指数幕，再进行计算即可.

2

【详解】（1）0.06454-2-+o.r:

4J

3

=0.4+1-2+100=99.9

2

题型02识别指数（型）函数图象及定点问题

【解题思路】处理指数函数图象问题的3个策略：

（1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点（°」），求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0,求出

对应的＞1的值，即可得函数图象所过的定点.

（2）巧用图象变换：函数图象的平移变换（左右平移、上下平移）.

（3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势.

【例3】已知函数y=a--1（。＞0,。/1）的图象恒过定点P,则点P的坐标是_____.

【答案】（L0）

【分析】根据指数函数的性质，令x-1=0,即可求解.

【详解】由函数¥="1-1（。＞0,-1）,令1一1=0,可得x=l,则y=〃°T,

所以点P的坐标为。，0）.

故答案为：（1,0）.

【例4】在同一直角坐标系中，函数/（.'）=",g（x）=x"（x20）的部分图象可能是（）

【分析】根据指数函数与黑函数的图象，性质逐项判断即可.

【详解】对于A和B,指数函数〃“=优过定点（0,1）,且递增，则，＞1,所以事函数=递增,且增

加的越来越快，故A不符合，B不符合；

对于C和D,指数函数/（©="过定点（0,1）,且递减，则（）＜〃＜］，所以幕函数g（©=£递增，且增加的

越来越慢，故C符合，D不符合.

故选：C.

【变式2-1］已知函数=（。＞0且）的图象恒过定点A,若点A在一次函数.忏尔一〃的

图象上，其中实数〃?，〃满足〃?＞（）,〃＞。，则上|+士7的最小值为.

mn

【答案】见g4

【分析】根据指数函数的性质可得定点A的坐标，从而可得，呜小，再利用基本不等式即可得打，最

小值.

【详解】函数〃刈=优+2-3(。>()且"1)的图象恒过定点4,则A(-2,-2),

又点A在一次函数尸以一〃的图象上，所以一2=-2加-〃，故加+枭1,

又〃?>0,〃>0,

12(12Vny.n2m,_2m.

所以一+-=—+-〃?+；=,+—+-+1>2+2/-------=4,

innV"2〃八2)2mnV2mn

当且仅当广=冽，即，〃=〈,〃=1时等号成立，即工+2的最小值为4.

2mn2mn

故答案为：4.

【变式2-2】已知函数f“)=(x-a)(x-0)(a>。)的图象如下图所示，则&3=的图象巨能是()

【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果.

【详解】根据函数〃x)=(x-〃)(1〃)(〃>〃)的图象可知a>l>人>0,

再由指数函数图象及性质可知，屋为单调递增，可排除AB,

且与轴交点为(。，1-与，又1>/〉0,所以,即交于)，轴正半轴上，排除D,可知C正确；

故选：C

【变式2-3］已知。>0且a",〃力二。53与g(x)=7的图象可以是()

【答案】D

【分析】分类讨论判断出/(力图像性质及g⑴图像性质即可得.

【详解】对〃力=心.，该函数过定点(0,1),且〃力>。恒成立,

对g(x)=d,该函数过定点(0，。),

若031,对“6=。，«-1<0,则(CL1)X在R上单调递减,

又0<〃<1,故/(“在R上单调递增，

若〃>1,对/(%)=/“-*,a-l>0,则(a-l)x在R上单调递增,

又。>1,故/")在R上单调递增，

古娜除AB;

对g(x),由a>0且awl,故g(»在定义域内单调递增,

故排除C.

故选：D.

题型03根据指数型函数图象求参数

【例5】（多选）函数"'的图象如图所示,其中。力为常数，则下列结论正确的是（）

A.ci>\B.b>0C.O<«<1D.b<0

【答案】AD

【分析】根据“X）的单调性确定a>l,由〃o）=a"e（o.l）确定〃<0.

【详解】”6=小"=（£|’［由图知/（“为减函数，故0<一<1,所以。>1,故A正确C错误；

由图知/（。）=片£（。，1）,所以少<0,故B错误D正确.

故选：AD

【例6】（多选）函数/（力-"-1|,存在实数〃使得/（，〃）=/（〃）>/（，.），则下列关系式中成立的是

（）

A.5,n+5n=2B.5w+5r>2C.5r+5”>2D.5r>2

【答案】AB

【分析】作出函数图象，得机，〃关系，对每个选项逐一判断

【详解】作出函数"的图象如图所示：

存在实数〃使得/（,〃）=/（〃）>/（「）,

由图可知：由-1=1-5"，即5'"+5"=2,A正确;

・函数）,=5、在R上为增函数，贝1」5"'>5'>5">0,

.•6"+5'>5”'+5"=2,B正确；

'+5"<5巾+5"=2,C错误;

5y"'<5桁+5”=2,D错误.

故选：AB.

【变式3-1】函数/（力=1"-》丫的大致图像如图，则实数。，〃的取值只可能是（）

B.u>O,O<b<\

C.a<O,b>ID.«<0,0</?<1

【答案】C

【分析】根据函数y=e'“-〃的单调性和/（-V）与X轴的交点结合指数函数的性质可求解.

【详解】若。>0，产泮-〃为增函数，

目上f+a>,yT+oo,/(x)f-Ko,与图象不符，

若〃<0,产为减函数，

且%f+%）,-从，与图象相符，所以。<。,

当/3=。时，e<u=b,

结合图象可知，此时xv。,所依>0,则产>象=1,所以6>1,

故选:C.

【变式3-2】设。，b,c,"都是不等于1的正数，函数V=优，），=心），=C），=，在同一直角坐标系中的

图象如图所示，则J人。，"的大小关系是（）

A.a<h<c<dB.b<a<d<cC.c<d<a<bD.d<c<b<a

【答案】B

【分析】先根据指数函数的单调性，确定。，人。，"与1的关系，再由x=l时，函数值的大小判断.

【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，

当底数大于0且小于1时，指数函数是定义域上的减函数，

所以。，d大于1,&,〃大于o巨小于1,

由图知：c'>（I',BPc>d,b'<a',即〃va,

所以b<a<\<d<c.

故选：B

【变式3-3］已知。>0且“wl,/（x）=V_，，当x«Tl）时均有，则实数。的取值范围是（）

【答案】C

【分析】由题意只需.一弓<诡对一切xe（Tl）恒成立作出丁=/弓与），的图象数形结合即可求解.

【详解】只需f-；〈优对一切xc（Tl）恒成立，作出），=/_：与），=.'的图象如下：

由图象可得：当时，解得1<心2.

当0<a<l时，«'>12-1,解得白"1

故选：C

题型04求指数（型）函数的值域

【解题思路】（1）指数函数），="（〃>0目”工1）的值域为（。，+8）;

（2）求形如），=。'⑺的函数的值域，先求fM的值域，然后结合），=a\a>。且。W1）得性质确定

），=/*）的值域；

（3）求形如），=/（/）的值域，转化为先求t=/m〉o且。。1）的值域，再将t的取值范围代入函数

y=中.

【例7】若函数/（力=2，+3/目2,3],,则函数外"的值域为.

【答案】[7,11]

【分析】根据指数函数的单调性求解即可.

【详解】因为函数〃刈=2'+3在［2,3］上是增函数，

所以〃比「〃2)=22+3=7,="3)=23+3=11,

故f(x)的值域为［7,11］.

故答案为：［7,11］,

【例8】函数/*)=2*—4、+1的最大值为.

【答案】5

【分析】利用换元法，结合指数函数与二次函数的性质即可得解.

【详解】/(x)=2r+2-4V+1=4x2V-(2V)2+।,

令7=2"贝！k〉(),/(x)=/(r)=4r-r+l=-(r-2)2+5<5,

当1=2,即x=l时」(x)取得最大值5.

故答案为：5.

竿

【变式4-1】函数)，=口-的1值域是___________

3—2

【答案】18,卜(1，+8)

【分析】利用分离常数项整理化简函数解析式，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案.

【详解】由题意可知，函数)，=V汜-1=23'-2#+1=1+I4，

由丁>0，3<2>-2，—5<一；或系\>。，则1+Q4或1+Q>1,

3-乙Z3-乙3一223一乙

即函数值域为(Y，£|U(1，+8).

故答案为：［鬼；卜(1,+8)

【变式4-2】函数y=(g)的值域为单调递增区间为.

【答案】［L3］(开闭均可)

4

【分析】先求出函数的定义域进而求出的范围，再根据指数函数的值域即可求出函数的值域，

根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可.

【详解】令—W+2X+3N0,解得一14x43,

z-xV-X2+2.V+3

所以函数），=&）的定义域为卜川，

则―/+2彳+3=《一|）2+440,4］,

2

所以yj-x+2x+3G［0,2］,

.\V-.V2+2X*3r.-

-e1,1,

（2J［4」

（1、—+2x+3rI-

即函数）,=3的值域为［“1］;

令t=\/—x2+2x+3,%e［-1,3］,

令〃=-2+2丫+3,其在卜1,1）上是增函数，在［1,3］上是减函数，

而函数/=4在定义域内为增函数，

所以函数/=Q7H^在［T1）上是增函数，在［L3］上是减函数,

因为函数），=（；］是减函数，

（［\V-x2+2.r+3

所以函数j=1的单调递增区间为［L3］.

故答案为：%；［L3］（开闭均可）.

【变式4-3］已知函数/（幻=2--,则/⑶的最大值是

【答案】16

【分析】求出/=-Y+2x+3的范围，根据复合函数的单调性求解.

【详解】由/（司=2--2­，而，=-/+2%+3=_（＞1）2+444,

因为），=，单调递增，所以），=2Y21则/*）的最大值是16.

故答案为：16

题型05指数（型）函数的单调性问题

【解题思路】关于指数型函数y=m>0,且。=1）的单调性由两点决定，一是底数4>1还是0V4<1;

二是/（X）的单调性.它由两个函数）="，〃=f（x）复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题

【例9】（多选）下列函数中满足.对任意与/£（0,田）,都有>0”的是（）

A./（A-）=-1B./（X）=（；）C./（x）=lgxD,f（x）=x

【答案】ACD

【分析】根据函数的单调性确定正确答案.

【详解】因为对任意公电«。，内）,都有一"*）>。，

所以/（力在（。，+⑹上单调递增，

A:根据反比例函数性质可知/（耳=-；在（。，+力）上单调递增，符合题意；

B：根据指数函数的性质可知，=在（0,+8）上单调递减，不符合题意；

C：根据对数函数的性质可知〃x）=lgx在（。，+8）上单调递增，符合题意；

D：根据一次函数的性质可知，/（x）=x在（o,y）上单调递增，符合题意.

古媾：ACD.

/|XX2-4.<-5

［例10］函数y=的严格递减区间为.

【答案】［2,依）

【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解.

【详解】由题意指数函数），］在定义域内严格单调递减，

kz/

若要函数），=（；）关于X严格单调递减，只需-4X-5关于X严格单调递增即可，

而二次函数对称轴为x=2,且开口向上，

.x.vI-4x-5

（的严格递减区间为［2,+oo）.

故答案为：［2,内）.

【变式5-1］（多选）下列函数中，在区间（1，2）上为增函数的是（）

A.），=2同B.y=log2（x-l）

C.y=x\x-2\D.y=tanx

【答案】AB

【分析】根据指数函数的单调性可判断选项A；根据图象的变换及对数函数的单调性可判断选项B；先去绝

对值，再根据二次函数的单调性可判断选项C；根据正切函数的单调性可判断选项D.

【详解】对于选项A：因为函数k2,在（1,2）上单调递增，且）：=2田=2、2,，

所以y=2"|在区间（1,2）上单调递增，故选项A正确；

对于选项B:因为函数），=log2（x-1）的图象是由函数y=logzx的图象向右平移।个单位得到的，而函数

y=log2、在（0，+。）上单调递增；所以函数歹=1/2（1-1）在0,2）上单调递增，故选项B正确;

对于选项C：当xw（l,2）时，y=Ajx-2|=x（2-A）=-（x-l）2+1.

由二次函数的单调性可得：函数）-=4・2|在（1,2）上单调递减，故选项C正确；

对于选项D:由正切函数的性质可知函数），=1anx在（0,3修兀）上单调递增•

因为0<1<5<2<兀，所以选项D错误.

故选：AB.

【变式5-2］已知函数/（x）=2k+&（〃eR）为偶函数，则函数y=f（刈的增区间为（)

A.(-l,+oo)B.(0,转)

C.(-00,-1)D.(y,0)

【答案】B

【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.

【详解】因为函数〃x)=2»l(aeR)为偶函数，所以2gH=沙例,解得。=。，

所以函数/(力=沙='-，其增区间为(0,小).

故选：B.

【变式5-3】函数〃力=3z2)的单调递增区间为()

A.(0,+oo)B.(1,-Ko)C.RD.(-co,l)

【答案】B

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.

【详解】令〃=1(工-2)=/一2天,贝l」x£(-oo,l),〃=Y—2x单调递减，

工41,田)，〃=/一2%单调递增，且y=3"在R上单调递增，

由复合函数的单凋性可知，函数〃人)=3“2)的单调递增区间为。，也)・

故选：B

题型06比较指数式的大小

【解题思路】比较幕的大小的3种类型及方法：

(1)对于底数相同但指数不同的两个幕的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.

(2)对于底数不同，指数相同的两个幕的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断.

(3)对于底数不同且指数不同的幕的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较.

【例11】已知〃=11°3,》=石,c=2L2，则。，3C的大小关系为()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【分析】利用指数函数、幕函数单调性即可比较大小.

【详解】由题可知，4=]1。3<]户，b=#>=5&，c=2'-2>2^，

/Iz7\6

则〃6<1]2=]21,bi}=51=125,c6>2%=27=128.

X/\/

因为），=f在（O，+e）上单调递增,且⑵v125Vl28,所以a<b〈c.

故S:A.

【例12]已知函数g（"是定义域为R的偶函数，且在（〜。上单调递减，若。=g（2"），〃=g（2"）,

c=g（T），则。，b,c的大小关系为（）.

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】结合函数奇偶性、单调性，以及指数函数单调性来比较大小；

【详解】由题意知函数g"）为定义域为R的偶函数，且在（―期上单调递减，则g（-）=g（x），且在（。，+力）

上单调递增，所以c=g（-1）=8。），

因为1<2赤<2”，

所以8⑴<g（2赤卜g（2）,即c<bva；

故选：A

【变式6-1]已知“=0.32»=2°」，c=3°2,则〃,b,。的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<ziD.c<b<a

【答案】B

【分析】根据指数函数、幕函数单调性分析判断.

【详解】因为y=0.3、在R内单调递减，则0<0.32<0.3°=1,即Ovavl；

且），=2用内单调递增，贝"°<2°」<2。2,1</7<202；

且片产在（。，也）内单调递增,2。2<3。2,即2°z<c；

综上所述：a<b<c.

故选：B.

【变式6-2］已知函数/（X）是定义域为R的偶函数目在（3,（）］上单调递减设g（x）=/"+l）若〃=g（F）,

b=gp）,c=g（-1）,则〃，3c的大小关系为（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性及单调性判断.

【详解】•••函数/（%）是定义域为R的偶函数，・•・/（T）=/（X）,

a=g（F）=/（F+l）,〃=8（2一'）=/6）=/（-/c=g（f=/（O）,

••・函数/3在（3,。］上单调递减，-兀+1<-；<。,

二/（一兀+1）>/（—1）>/⑼，即cvbva.

故选：A.

【变式6-3］（多选）已知函数"x）是定义在R上的奇函数，且对任意的£（—,01（%工9），总有

（x1-x2）［/（xI）-/（x2）］<0,则下列结论正确的是（）

A./（30,）>/（20'）B./（0.7,4）</（0.715）

C./（3.507）</（0.612）D./（0.8°2）>/（0.04°4）

【答案】BC

【分析】先确定函数小）的单调性，利用幕函数单调性即可判断AD,利用指数函数的单调性判断B,利用

力”比较大小可判断C.

【详解】由（％72）［43-/（9）］＜。可知，函数在（-8，。］上单调递减，

又函数/⑴是定义在R上的奇函数，所以/（X）在R上单调递减，

因为），=.即为3*0）上的增函数,故3。」〉2。」，故f（3°」）＜/（2。」）,故A错误；

因为），=。7为减函数，所以0.7"＞0.产，故/（（）.严）＜/（（）.产）,故B正确；

因为3.5°7＞3.5°=1,062Vo.60=1,所以3.5°7＞062,所以/（3.507）＜/（0.62），故C正确；

由），=一在（o,+8）上是增函数，所以（）.8。2＞［（0.（）4）2］。2=（）.（）（）©2,所以

/（0.8°2）＜/（0.04°4），故D错误.

故选：BC

题型07解不等式

【解题思路】指数不等式的求解策略：（1）形如/＞加的不等式：可借助）'="'的单调性求解.如果的值

不确定，需分°。＜1和。＞1两种情况讨论.

（2）形如〃'＞b的不等式：注意将〃化为以〃为底的指数幕的形式，再借助）'=优的单调性求解.

【例13］“3、＞1”是r＞1”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合充分、必要性定义判断关系.

【详解】当3\＞1,可得x＞（）,故“3、＞1”是“工＞1”的必要不充分条件.

古嫩：A

【例14］已知指数函数/。）="3＞0且"1）,经过点（2,4）.

⑴求/（x）的解析式及/（-5）的值；

⑵若/（2X-5）＜/（-3”,求X的取值范围.

【答案】(1)小)=2、，/(-5)=专；

⑵fl).

【分析】(1)由指数函数所过点求解析式，再求对应函数值即可；

(2)根据指数函数的单调性求解集.

【详解】(1)指数函数/(")经过点(Z4),贝U『=4且“>0,得々=2,

故FW=2',贝」/(—5)=2-=].

(2)因为/(2x—5)v/(—3x),即221<2%,

又函数〃x)=2,在R上是增函数，有-3x>2x-5,解得x<1,

所以x取值范围为(TU).

【变式7-1]已知函数/("为R上的奇函数，当广。时，/(x)=2，则/(同40的解集为()

O

A.(YC\-3]U[0,3)B.[-3,3]

C.(一血-3Mo,3]D.[-3,0)U(0,3]

【答案】C

【分析】利用函数奇偶性及其部分解析式，求出函数/(x)的解析式画出其图象即可求得不等式/(x)工。的

解集.

【详解】根据题意可知，当X〉。时,-A<(),

利用函数奇偶性可得==-/(x),gp/(x)=-2-+lr>0,

o5

2v-1,x<0

o

即.f(x)=<0，x=0,画出函数/M的图象如下图所示：

-2-x+-,x>0

8

由图象可知“X)W0的解集为(F-3Mo,3].

故选：C

【变式7.2】已知函数〃”=。1的图像经过[2,£|，其中心0且。工1

⑴求实数。的值

⑵若小+2Z之小。“，求实数1的取值范围

【答案】⑴g

(2)(-oc,0]l[5,+8)

【分析】(1)将点代入函数“X)即可求得结果；

(2)根据指数函数的单调性并结合一元二次不等式的解隼公式求得结果.

【详解】(1)将点(2《)代入函数解析式〃x)=/,得产,

/(，)=(丁.

(2)由(1)知函数/(X)单调递减，

.../⑶”之产“”，

22

A+2x+1W2x—3x+1t

A2-5X>0,解得-25或xWO,

则实数X的取值范围(-"，0]5+8).

【变式7-3]已知函数/⑺=e=e-1则不等式/(/"))>匕£的解集为.

e

【答案】卜铝,+“

【分析】根据函数的单调性化简不等式，根据对数函数以及二次不等式的性质，可得答案.

【详解】由于/(x)=ex-e-1显然在定义域上/(x)为增函数，

则e-—1,eZ'+el>。且e*>0，可得e'>叵］，

2

所以x>ln与1，故不等式的解集为（in与±+e.

故答案为：（in与1,+8.

题型08根据值域（最值）求参数

【例15】已知/⑴二一丸"。目"D是偶函数

（I）求用的值.

⑵若/W在［0』上的最大值比最小值大g,求。的值.

【答案】（1）0

⑵|或1

【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，由指数函数的单调性，分4>1与。<〃<1讨论，即可得到结果.

【详解】（1）若/（"为偶函数,则〃T）=/（X）恒成立,

所以产趣=>+皿，即V-"a=幺+皿恒成立,解得m=0.

故"，的值为（）.

（2）由（1）可得〃力=/（4>0且4H1）.

I3

当〃>1时，/⑺在（。，+8）上单调递增，|〃1）-〃0）|=。-1=5,解得。

当0<”1时，/⑺在（o,y）上单调递减//⑴-/⑼|=，解得

故〃的值为3或1

【例16］函数产"-2（。>0且"1,-lWxG）的值域是:|,1］,则实数。=（）

11?3

A.3B.-C.3或1D.-

【答案】C

【分析】由指数函数的性质分别对1和。>1的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案.

【详解】函数)，=优-2(〃>0且"1,-lWE)的值域为卜：」］,

又由指数函数的单调性可知，

当0<〃<1时，函数)，="-2在［T1］上单调递减，值域是卜-24-2］

0<a<\[0<(7<I

所以有，"-2=-1,即=；

解得;

«_|-2=1m=3

当心1时，函数)，=优-2在卜1,1］上单调递增，值域是

a>1p/>1

所以有=即一尸=］解得"3.

«'-2=1|“=3

综上所述，“=；或。=3.

古嫡：C.

2

【变式8-1】已知/'。)=的值域为。，。1—,+00则”的取值范围是()

3

A.(1,2)B.(2,3)C.0,？D.2

【答案】D

【分析】先求出分段函数在各个范围内的值域，再根据条件即可求出结果.

【详解】因为工二时，/*)=x+Z—2，又〃>】，所以x+@-2226-2，当且仅当x=@，即x=G二

2xxx2

时取等号,

1「21

又当时，/*)=(〃—1)］又。口［§，+8),则,得到i<“<2,

所以时，f(x)=(a-\)x>(a-\y，故有2&-2之：且(“一1)2之,，解得心?，所以,

故选：D.

【变式8-2］已知函数仆）=,x«TO］.

⑴k=-l时，求“X）的值域；

⑵若/（X）的最小值为4,求攵的值.

【答案】（1）［2,14］

⑵仁二-3

【分析】（।）设［可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；

（2）设，=6［可将原函数转化为二次函数，对k的取值进行分类讨论,结合二次函数性质计算即可得.

【详解】（1）由题意得，〃力=女,x«T，。］,

令/=（（）,，目1,3］,g（t）=t2-2kt+kje［K3］,

当2=T时，g（r）=?+2/-l,何1,3］,g⑴在［L3］上单调递增,

故今）.=8（1）=2,8（虫,=婕3）=14,

故的值域为［2,14］;

（2）由（1）得晨，）=/一2内+4,re［13］,对蹦，

①当攵＜1时，g⑺在［1,3］上单调递增,

g（8L=g6=i-A=4,解得女二一3;

②当1弘£3时，鼠，）在［1间上单调递减，在化3］上单调递增，

无解,舍去;

③当心3时，g⑴在［L3］上单调递减,

8（x"n=g（3）=9-5%=4,解彳导上=1，舍去；

综上所述，k=-3.

[变式8-3]设函数f（x）=x•2't•（A+2）27是定义域为R的偶函数.

（1）求实数々的值;

（2）若8"）=2。2小—网色,且g"）在艮内）上的最小值为2,求实数/〃的值.

X

【答案】⑴女=-1

（2）.^=-.

4

【分析】（1）根据偶函数得到/（T）=F（X）,化简得到工（2'+27）（-1-2）=0,解得答案.

（2）确定g（、）=（2'-2-'）2—2〃[（2"-2：）+2,设/=2'-2一、，得至1」），=/一23+2,讨论〃，m<^-,

1乙

根据二次函数性质得到答案.

【详解】（1）/⑶是定义域为R的偶函数,则八-工）=/（幻，

gp-x[2-x-（k+2）2X]=x[2x-（k+2）2~x],+2'x）-x（k+2）（X+2-x）=0,

即x（2，+2T）（-1—幻=。恒成立，故k=-l.

（2）g（x）=22X+2^2x-2m（2x-2"v）=（2'-2'A）?-2w（2v-2-'j+2,

令，=2、-2T,因为函数4=2*、，2=-2-'均为[l,y）上的增函数，

故函数，=2-2一在Ry）上为增函数，由X21，故年,

3

所以），=『-2制+2，/土,函数）=『-2〃"+2图象的对称轴为/=〃？，

①当心,时…面=川-2〃八2=2,解得〃?=0（舍去）；

②当般T时，函数丁=/一2〃廿+2在/+8）上为增函数，

933

则%n=--3m+2=2,解得〃?=彳<8,合乎题意•

442

综上所述：小=）

4

题型09恒成立问题

【解题思路】（1）若fM>0在集合A中恒成立.即集合A是不等式f（x）>0的解集的子集，可以先求解集.

再由子集的含义求解参数的值(或蔻围)；

(2)转化为函数值域问题，即已知函数/(幻的值域为在〃,〃］,

则f(x\.a恒成立=>/(x)min..a,即机.4；/(x),,a恒成立=>/(x)nm„a，即&a.

9'+1116,

【例17］已知函数/(x)=2024/+J，且正数内满足〃回+/()-1)=2，若-+—>。-+24”亘成立，

2+1xy

则实数。的取值范围是__________.

【答案】(—25,1)

【分析】根据函数的性质确定若/("+/3=2时则》+)，=。，据此得出%+)，=1,根据T的技巧，利用均

值不等式求出最小值，转化为不等式/+24a<25得解.

33

［详解］+=2024x+—+-2024X+-L_+_

X/

——乙/

2X+1

所以，若/(x)+/(y)=2成立，则/(r)=/()，)，

_,,2Al,2x(2r+1-1),2

又“x)=2024/+——=2024x3+-------=2024/-——+2，

-')2r+l2'+12V+1

而)，=2024V)，=-罚在R上单调递增，所以/(“在R上单调递增，

由f(T)=〃y),则只能―=y,因此〃x)+〃y)=2当且仅当—=)，时成立；

又已知/(x)+/(y-i)=2,所以.i+y-1=0,即x+y=i,

所以，+工=(工+/，+3］=17+2+西217+2灰=25,

x>,㈠y)xy

当且仅当4x=)，时，即x==：时等号成立，所以口=25,

33lxy/mir

116

要使一+—>〃~+24。期