2026浙教版八年级数学下学期期中综合评估检测试卷

2026新浙教版八年级数学下学期期中综合评估检测试卷

时间：120分钟满分：120分测式范围：第1章~第3章

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.若QVO,b>0,下列选项正确的是（）

A.=aB.（-VF）2=—bC.yJa2b=—avbD.=R

2.已知实数A,现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程々产―（攵+2）%+；攵=0进行了讨论：

4

甲说：这一定是关于大的一元二次方程；乙说：这有可能是关于X的一元一次方程；丙说：只

有当左之-1且攵。0时，该方程有实数根；丁说：当ZcN-1时，该方程有实数根（）

A.甲和丙说的对B.甲和丁说的对

C.乙和丁说的对D.乙和丙说的对

3.等腰二角形的两条边长是方程/-8x+12=0的两个根，则这个等腰二角形的周长为（）

A.10B.14C.10或14D.不能确定

4.估算企（逐一2或）的值在（）

A.一3和一2之间B.一2和一1之间

C.一1和0之间D.0和1之间

5.已知4、B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），

成绩/分

则下列说法错误的是（）.2o

9o-外

6o

A.这次考试小8两个班都没有人考满分3o■?"向

O血

B.A班的最低分比8班的最低分低

C.4班成绩的上四分位数IB班成绩的中位数相同

D.4班的成绩比8班的成绩更集中

6.输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表

（-826）

7输出'

X20.520.620.720.820.9

输出-13.75-8.04-2.313.449.21

分析表格中的数据，估计方程（X+8）2-823=0的一个正数解工的大致范围为（）

A.20.5<x<20.6B.20.6<x<20.7

C.20,7<x<20.8D.20.8<x<20.9

7.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将一幅长为6米，宽为

4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，若整幅挂画的面积是48平方米,

则锦缎边饰的宽度为（）

A.1B.2C.5D.6

8.在一次体育模拟测试中，某班41名学生参加测试（满分为30分），成绩统计如下表（部

分数据丢失）.下列统计量中，与丢失的数据无关的是（）

成绩（分）22242627282930

人数（人）26197

A.中位数、方差B.中位数、众数C.平均数、众数D.平均数、

方差

9.按照如图所示的程序框图运算，若输入-2,则输出的值（）

x（2♦%）.

/输入舛补输出/

否--------

A.10+4V6B.10-4V6C.2D.-2

10.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的,依照此规律排列下去，第（）个图形共

有45个小球.

©

©©©

©

©@@@©@@©@@

（第1个图）（第2个图）（第3个图）（第4个图）

A.9B.10C.11D.12

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.己知Q=，5—6二唐+&，则+：=____.

ab

12.已知关于X的一元二次方程（7712-1）/+2（＞„-2〃+1=0有实数根，当团取最大整数

值时，代数式3/+12%+3的值为.

13.在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加2V5cm,宽增加4V5cm,就成为了一个面积为

192cm2的正方形，则原长方形纸片的对角线为cm.

14.某市近几天气温（单位：。。如下：5,3,2,3,1,-2,则这组数据的下四分位数是℃.

15.数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：

吨）如下：5,6,5,9,10,7,8.分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持

不变，则去掉的这个数可能是.

2

16.若机，〃是一元二次方程产+3x-1=0的两个实数根，则（机3+mn）+（3m-1）的值为

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）

17.（6分）根据已知条件，求代数式的值

⑴已知尤、y为实数，且y=G-4+-x-8,求［x-y的值;

(2)已知x+y=7,xy=8,求代数式/]r+y2J：的值.

18.（6分）已知关于工的一元二次方程/—（2k+2）%+1=0有两个不相等的实数根.

⑴求实数Z的取值范围；

⑵是否存在实数公使方程的两个实数根的倒数和等于1?若存在，求出女的值；若不存在,

说明理由.

19.（8分）阅读材料：若a+bWk,则我们称Q与b是关于k的调匀数.例如，3与一1是关

于疙的调匀数.

（1）5与是关于1的调匀数：通与是关于遮的调匀数：

⑵若a=b（1一=75（2+V5）,且a与6是关于c的调匀数，求c的值；

⑶若7n与九是关于g的调匀数，同时，m—2与2—九是关于平的调匀数，求nm的值.

20.（8分）定义：已知初,工2是关于X的一元二次方程十bx+C=0（。表0）的两个实数

根，若%一%21=1,则称这个方程为〃差1方程〃.比如，一元二次方程/一3%+2=0的两

根为=1，%2=2，因为%—%21=1，所以一元二次方程/一3%+2=0为"差1方程〃.

请阅读以上材料，回答下列问题：

⑴判断：一元二次方程/+4%-5=0〃差1方程〃（填“是〃或〃不是〃）；

⑵若关于x的一元二次方程％2+（k+9）x+k+8=0是“差1方程〃，求k的值.

21.（10分）如图，小岛0在码头A正东方向的80海里处.已知当轮船甲从码头A出发以40海

里/小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛。出发以50海里/小时的速度向码头A行

驶.

北

东

⑴两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里?

（2）若轮船甲给正南方向的小岛B运送物质，当轮船甲到达小岛B后，发现运送物质不足，此时

行驶到。处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB方向前往小岛8进行物质补充.若

两艘轮船在上午7时出发，轮船乙在上午9时到达小岛8,试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙

发出需要补充物质的指令？

22.（10分）为了宣传〃绿色生活，环保先行〃，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学

生中各随机抽取20名学生的测评成绩（成绩用工表示，且为60工工二100的整数）进行整理、

描述和分析（成绩分为四组，A：90<%<100,B：80<%<90,C：70<x<80,D：60<

%<70）.下面给出了部分信息：

八年级20名学生的测评成绩：70,72,74,78,78,78,82,84,86,90,90,94,95,96,

97,98,99,99,100,100.

九年级20名学生测评成绩在8组的是：83,85,86,87,88,89.

八、九年级抽取的学生测评成绩统计表

年平均众中位方

级数数数差

八88a9010.1

九8892b9.8

九年级抽取学牛海评或绩醐形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中的a=,b=,c=；

⑵根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理

由；（写出一条理由即可）

⑶若成绩不低于90分为优秀，且该校八年级有300名、几年级有400名学生参加了此次知识普

及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数.

23,（12分）善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如6+2追=

2

1+2而+5=（1+花）.于是小汇进行了以下探索:

2

设Q+b通=（m+小=m2+5n24-2y/5mn（其中a,b,m,九均为整数），

则有Q=m24-5n2=6,b=2mn=2,mn=1

2

由m,ri均为整数，可得m=1,几=1.故6+2遥=（1+通）.

这样小汇就找到了一种把类似a+的式子化为平方式的方法,同样热爱数学的小文仿照小

汇的方法继续探索了下列问题：

2

⑴当a,b,m,九均为正整数时，若Q+匕&=（巾+九近）,请你用含TH,几的式子分别表示

a,b：a=,b=；

⑵利用小汇和小文探索的方法，求满足。+4近=（巾+近）2的正整数处m的值；

2

⑶若Q-6A=（租一九鱼），且a,m,n均为正整数，求Q的值.

24.（12分）综合实践：

探究主题一元一次方程根的判别式拓展探究

在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过儿道习题的解答，他说自己发

现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次

探究情境方程ax?+双+c=0（。金0）的二次项系数。和常数项c异号（即两数为一正一

负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根.〃请你结合所学知识，对小明

的猜想进行探究.

(1)解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想：

①当a>0,c<001,例如/+、-2=0,此方程的解是________；

实例验证

②当QVO,c>0时，例如一/一2》+3=0,此方程的解是_______；

这两个实例可以验证小明的猜想________(填〃正确〃或〃错误〃).

(2)小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例.

严谨证明

(3)已知关于工的一元二次方程(m—1)/+2mx+(m+2)=0,其中加为整

数，满足二次项系数和常数项异弓，求〃z的值及方程的解.

拓展延伸

答案解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.若a<0,b>0,下列选项正确的是（）

A.Va2=aB.（―7K）2=—bC.>Ja2b=-avbD.j

【答案】C

【分析】本题考查一次根式的性质，根据一次根式的性质，逐项化简判断，即可解题.

【详解】解：团QV0,b>0,

A.=\a\=-aa,故A项错误，不符合题意；

B.（-Vb）=b*b,故B项错误，不符合题意；

C.硒=-aa,计算正确，符合题意；

D.2=一变。①，故D项错误，不符合题意；

yjazaa

故选：c.

2.已知实数A,现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程攵产一（攵+2）%+；上=0进行了讨论：

甲说：这一定是关于X的一元二次方程；乙说：这有可能是关于X的一元一次方程；丙说：只

有当々之一1且攵。0时，该方程有实数根；丁说：当kz—l时，该方程有实数根（）

A.甲和丙说的对B.甲和丁说的对

C.乙和丁说的对D.乙和丙说的对

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当上=0时，此时方程一

定有实数根，当kHO时，根据根的判别式，可以得到k的取值范围，将取值范围合并即可得到

方程有实数根时，攵的取值范围.

【详解】解：当k=0时，忆炉―（女+2次+；女=0为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的

说法正确；

①当2=0时，方程为—2x=0,此时方程的根为％=0,即k可以取0；

②当kHO时，方程为一元二次方程，当A20时，方程有实数根，即（k+2尸—4x（2X2=

(k+2)2-/c2>0,

解得々>-1,

:.k>—1且kH0,

综上所述：当ZN-1时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误，

综上，乙和丁说的对.

3.等腰三角形的两条边长是方程/-8x+12=0的两个根，则这个等腰三角形的周长为（）

A.10B.14C.10或14D.不能确定

【答案】B

【分析】先解方程得到两个根，再分情况讨论腰长，结合三角形的三边长关系排除不符合的情

况，计算得到周长.

【详解】解：团方程/-8%+12=0因式分解得（％-2）（%-6）=0

团即方程的两个根为和

4=2,%2=6,26.

分两种情况讨论：

①若等腰三角形的腰长为2,底边长为6

田2+2V6,不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去.

②若等腰三角形的腰长为6,底边长为2

回2+6>6,6+6>2,满足三角形三边关系，可以构成三角形

0等腰三角形的周长为6+6+2=14.

综上，这个等腰三角形的周长为14

4.估算企（花-2a）的值在（）

A.-3和—2之间B.-2和—1之间

C.一1和0之间D.0和1之间

【答案】C

【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，推导得出原式的取值区间.

【详解】解：V2（V5-2V2）

=72XV5-V2X2V2

=710-4,

团9V10V16,

0V9<V10<V16,即3VV4,

03-4<710-4<4-4,即一1<9一4<0,

团估计夜（遥-2四）的值在一1和0之间.

5.已知4、8两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），

则下列说法错误的是（）.

A.这次考试4、B两个班都没有人考满分

B.4班的最低分比B班的最低分低

C.A班成绩的上四分位数与8班成绩的中位数相同

D.4班的成绩比B班的成绩更集中

【答案】D

【分析】根据箱线图的核心作用是展示数据的〃五数概括〃：最小值、下四分位数、中位数、上

四分位数、最大值，对选项进行判断即可.

【详解】解：根据箱线图的核心作用：上四分位数：箱工的上边界对应的值；中位数：箱子内

部的横线对应的值；最大值、最小值：上、下侧须线的端点对应的值，分析各选项：

A、由图可知4、B两个班的最高分都未达到120分，所以两班均没有满分，说法正确，不符合

题意；

B、A班的最低分比8班的最低分低，说法正确，不符合题意；

C、A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，说法正确，不符合题意；

D、力班的成绩比B班的成绩更集中，说法错误，根据箱线图所示应是B班的成绩比.4班的成绩

更集中，D选项符合题意；

故选：D.

6.输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：

输Ax

(+8)

____y，

(-826)

7输出\

X20.520.620.720.820.9

输出-13.75-8.04-2.313.449.21

分析表格中的数据，估计方程(x+8)2-823=0的一个正数解％的大致范围为()

A.20.5<x<20.6B.20.6<x<20.7

C.20.7<%<20.8D.20.8<x<20.9

【答案】B

【详解】解：由表格可知,

当x=20.6时，(%+8)2-826=-8.04,即(x+8)2-823=-8.04+3=-5.04,

当％=20.7时，(%+8)2—826=-2.31,W(x+8)2-823=-2.31+3=0.69,

团0+8)2—823=0时，20.6VXV20.7.

7.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将一幅长为6米，宽为

4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，若整幅挂画的面积是48平方米,

则锦缎边饰的宽度为()

A.1B.2C.5D.6

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用,将几何问题转化为代数方程是解题关键.

设边饰宽度为x米，则挂画总长(6+2x)米，总宽(4+2、)米，根据面积公式建立方程并求解即

可.

【详解】解：设边饰宽度为工米，则挂画总长为(6+2x)米，总宽为(4+2%)米，

根据题意可得(6+2x)(4+2%)=48,

化简得％2+5x—6=0»

解得尢=1或X=-6(舍去)，

故边饰宽度为1米.

故选：A.

8.在一次体育模拟测试中，某班41名学生参加测试（满分为30分），成绩统计如下表（部

分数据丢失）.下列统计量中，与丢失的数据无关的是（）

成绩（分）22242627282930

人数（人）26197

A.中位数、方差B.中位数、众数C.平均数、众数D,平均数、

方差

【答案】B

【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义与计算公式，以及图表中数据进行判断即可.

【详解】解：未被遮盖的数据共有2+6+19+7=34个，被遮盖的数据有41-34=7个，

07<19,即成绩为38分的人数最多,

团众数为38,与被遮盖的数据无关；

从大到小依次排序，中位数为第21个数据，

由题意知，成绩为29分的人数在。〜7之间，

07+0=7<21<7+0+19=26,7+7=14<21<7+74-19=33,

团中位数为28,与被遮盖的数据无关，

回众数与中位数均与被遮盖的数据无关.

回成绩为22分，24分，29分的人数不确定，

回平均数与方差无法计算，即平均数与方差与被遮盖的数据有关.

故选：B.

【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差.解题的关键在于熟练掌握中位数、众数、

平均数、方差的定义与计算方法.

9.按照如图所示的程序框图运算，若输入-2,则输出的值（）

Lx（2♦历）■

/输入雨引输出/

42-%）-

A.10+4V6B.10-4V6D.—2

【答案】C

【分析】先判断一2+连>0,然后利用平方差公式计算（-2+述）（2+述）即可.

【详解】解：0V6>V4=2,

0—2+V6>0,

0（—2+V6）（2+V6）=（V6）-22=6—4=2,

回输出的值为2.

10.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（）个图形共

有45个小球.

§

§台台

（第I个图）（第2个图）（第3个图）（第4个图）

【答案】A

【分析】根据图形变化规律可知，第〃个图形有1+2+3+4+…+n=［九（1+几）个小球,

据此规律列出一元二次方程，据此求解即可.

【详解】解：第1个图中有1个小球，

第2个图中有3个小球，3=1+2,

第3个图中有6个小球，6=1+2+3,

第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4,

照此规律，第九个图中有1+2+3+4+…+几=1n（l+n）个小球，

由题意得:几（1+n）=45,

解得九=9或〃=-10,

团第9个图形共有45个小球.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.己知Q=A/5—b=遮+五,则3+£=.

【答案】10

【分析】根据二次根式的运算，先求劭、小+〃的值，再由2+?二空手进行计算即可.

abab

【详解】解：0a=V3-V2,b=V3+V2,

•••ab=(V3—V2)x(V3+V2)

=(V3)2-(V2)2

=3-2=1,

a2+b2=(>/3—V2)2+(V3+V2)2

=3-2V6+2+3+2V6+2=10,

b.ab2+a210<八

abab1

12.已知关于X的一元二次方程(机2一1次2+2(僧一2)丫+1=0有实数根，当"7取最大整数

值时，代数式3/+12%+3的值为.

【答案】6

【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0,且血2一1装0,进而求得TH的

值，得到产+4工=1,代入代数式即可求解.

【详解】解:团关于x的一元二次方程(血2一1)/+2(巾-2)x+1=0有实数根，则小一1工0,

团A=[2(m-2)]2-4(m2-1)>0,且mH±1,

解得m<J,且mH±1,

取最大整数为0，此时原方程为-/-4x+1=0,

即/+4x=1,

回代数式3/+12x4-3=3(%2+4%)+3=3+3=6.

13.在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加2V5cm,宽增加4V5cm,就成为了一个面积为

192cm2的正方形，则原长方形纸片的对角线为cm.

【答案】2V39

【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，根据正方形面积计算公式可求出正方形

的边长，进而求出长方形的长和宽，再根据长方形纸片的对角线的平方等于长方形的长的平方

加上宽的平方列式求解即可.

【详解】解：0正方形的面积为方2cm2,

团正方形的边长为=8V3cm,

团长方形的长为8仃-2V3=6gcm,长方形的宽为8%-48=4>/3cm,

回原长方形纸片的对角线为=2V39cm,

故答案为：2V39.

14.某市近几天气温（单位：。口如下：5,3,2,3,1,-2,则这组数据的下四分位数是℃.

【答案】1

【分析】本题考查下四分位数的计算，需要将数据由小到大排列，然后根据下四分位数的定义

求解即可.

【详解】解：将数据按从小到大的顺序排列：-2,1,2,3,3,5,共6个数据，这组数据的

下半部分为-2,1,2,其中位数为1,故该组数据的下四分位数为1。

故答案为：1.

15.数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：

吨）如下：5,6,5,9,10,7,8.分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持

不变，则去掉的这个数可能是.

【答案】7

【分析】本题考查的是中位数与众数的含义，先求出原始数据的中位数和众数，然后逐一检验

去掉每个数后中位数和众数是否保持不变.

【详解】解：原始数据排序后为5,5,6,7,8,9,10,中位数为7,众数为5.

去掉一个数后，数据个数为6,中位数为第3和第4个数的平均值.

若去掉5（任一），众数改变；

去掉6、8、9、10时，中位数均不为7；

只有去掉7时，剩余数据排序后为5,5,6,8,9,10,众数为5,中位数为*6+8）=7,保

持不变.故去掉的数可能是7.

故答案为：7

16.若m,n是一元二次方程%24-3x-1=0的两个实数根,则(而+m2n)4-(3m-1)的值为

【答案】3

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系.利用根与系数的关系得到m+〃=

-3,mn=-l,-m2=3m-l,然后代入化简后的结果，即可.

【详解】解：即2,〃是一元二次方程+3工一1=0的两个宾数根，

团m+n=—3,mn=—l,m2+3m—1=0,

0m2=-3m+1,B|J—m2=3m—1,

(m3+m2n)+(3m—1)

=m2(m4-n)(—m2)

=-(in+n)

=-(-3)

=3

故答案为：3

三、解答题(本大题共8小题，满分72分)

17.(6分)根据已知条件，求代数式的值

⑴已知x、y为实数,且y=-4+-x-8,求J：-y的值;

(2)己知％+y=7,xy=8,求代数式/J|+y2的值.

【答案】(1)2/5

(2)1472

【分析】(1)根据二次根式被开方数的非负性质可求得x的值，进而求得)，的值，再代入即

可求得值；

(2)先利用二次根式的性质把代数式化简，再整体代入求值即可.

【详解】(1)解：已知x、y为实数，且y=-4+,4-x-8,

0％—4>0♦4—x>0»

团％=4,

0y=O+O—8=-8,

0^/x—y—V44-8=V12=2\/3；

（2）解：0x+y=7,xy=8,

取，y都是正数，

团舟2电

晒,晒

=2--——+yz2--——

xy

=Xyfxy+yyJxy

=（x+y）历

=7V8

=1472.

18.（6分）已知关于X的一元二次方程/一（2k+2）x+炉=0有两个不相等的实数根.

⑴求实数%的取值范围；

（2）是否存在实数2,使方程的两个实数根的倒数和等于1?若存在，求出2的值；若不存在，

说明理由.

【答案】（1）攵>一［

（2）存在实数k,/c=l+V3

【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0,据此建立关于k的不等

式，求解即可得到k的取值范围；

（2）根据根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将所求倒数和变形后代入，得到关于k

的方程，求解后结合第一问的攵的范围，即可判断是否存在符合条件的上

【详解】（1）解：已知一元二次方程为/—（2攵+2次+女2=0,方程有两个不相等的实数根,

0A=b2-4ac=［-（2k+2）］2-4xlx/c2=8/c+4>0

解得k>

（2）解：存在，

设方程的两个实数根为与，%2,

2

根据根与系数的关系得Xi+%2=2&+2,x1x2=k

由题意得工十三=1,

XlX2

0^=1,

%逐2

年=1,

整理得42-2攵-2=0,

解得的=1+V3,矽=1—V5

vl-V3<-1,不符合/c>—的勺条件，舍去；

vl+V3>-1,符合条件，

二存在满足条件的实数鼠/c=l+V3.

19.(8分)阅读材料：若a+b=&k,则我们称a与b是关于k的调匀数.例如，3与—1是关

于血的调匀数.

(1)5与是关于1的调匀数；花与是关于花的调匀数；

⑵若a=75(1-=75(2+V5),且a与力是关于c的调匀数，求c的值；

⑶若m与九是关于"5的调匀数，同时，m-2与2-九是关于丹的调匀数，求nm的值.

【答案】(1)&一5；V10-V5

c3展

⑵C=—

(3)mn=?

【分析】(1)根据〃调匀数〃的定义解答即可.

(2)根据“调匀数〃的定义得出Q+%=&C,即。=等，代值求解即可.

(3)根据〃调匀数〃的定义列出方程组解答即可.

【详解】(1)解：5+(V2-5)=V2x1,V5+(V10-V5)=V10=V2xV5,

05与&-5是关于1的调匀数；遍与g-通是关于4的调匀数；

(2)解：加与b是关于c的调匀数，

Pla+b=\[2c,

团Q=75（1-=V3（2+V3）,

何1-⑹+百（2+6）_35/3_3V6

m+n=V2xA/14

（3）解：根据题意，可得

m—2+2—n=V2x—

20.（8分）定义：已知％i，冷是关于工的一元二次方程a/+匕工+c=0（aH0）的两个实数

根，若忱1一超1=1，则称这个方程为“差1方程〃.比如，一元二次方程一一3%+2=0的两

根为Xi=LX2=2,因为|与一外1=1，所以一元二次方程/一3%+2=0为“差1方程〃.

请阅读以上材料•，回答下列问题：

⑴判断：一元二次方程/+4工一5=0_〃差1方程”（填〃是〃或〃不是〃）；

⑵若关于x的一元二次方程%2+也+9）x+攵+8=0是〃差1方程〃，求人的值.

【答案】（1）不是

（2）-6或-8

【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系.

（1）解该一元二次方程，得出与=-5,x2=l,再根据“差1方程〃的定义判断即可；

（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出与+必=-（土+9），xrx2=k+8,根据“差1

方程〃的定义可得（%i+必）2-4》1次=1，即可求出上=-6或一8,再结合“差1方程〃的定义检

验即可.

【详解】（1）解：此方程不是〃差1方程〃，理由如下：

%2+4%—5=0,

（%+5）（%—1）=0

解得：%!=-5,x2=

回1-（-5）1=6,

团方程不是“差1方程"；

（2）解；团设方程*2+（左+9%+4:+8=0两根为％1，x2,

由根与系数的关系，得%1+超=一心+9),%1%2=/c+8,

团方程/+(k+9)x+k+8=0是“差1方程〃，

—

团卜1x2\=1,

2

团(无1—X2)=1

2

0(xt+X2)—4%1%2=1

0[-(fc+9)]2-4(fc+8)=1,

团1+14k+48=0,

团k=-6或-8；

当攵=一6时，方程％2+3%+2=0,解得：X1=—2,x2=—1,此时%―％21=1，

当今=—8时，方程%2+%=0,解得：x1=—1,x2=0,此时氏一%2l=l，

综上所述：当k=一6或一8时，关于x的一元二次方程/+(左+9)x+k+8=0是"差1方程〃.

21.(10分)如图，小岛O在码头A正东方向的80海里处.已知当轮船甲从码头月出发以40海

里/小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D出发以50海里/小时的速度向码头A行

驶.

北

东

⑴两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？

⑵若轮船甲给正南方向的小岛8运送物质，当轮船甲到达小岛B后，发现运送物质不足，此时

行驶到C处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿C8方向前往小岛B进行物质补充.若

两艘轮船在上午7时出发，轮船乙在上午9时到达小岛B,试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙

发出需要补充物质的指令？

【答案】⑴1或三小时；

41

⑵上午8时.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键.

(1)设轮船出发£小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与码头4的距离为40£

海里，轮船乙与码头A的距离为(80-50t)海里,根据题意得可(80-50£)2+(40。2=502,

然后解方程即可；

(2)设轮船甲出发久小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则CO=50%海里，AC=AD-

CD=(80-50x)海里，AB=40%海里，BC=50x(9-7-％)海里，根据勾股定理得得4加+

AC2=BC2,则有(40x)2+(80-50x)2=[50x(9-7-幻]2,然后解方程并检验即可.

【详解】(1)解：设轮船出发£小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与码头

4的距离为406每里，轮船乙与码头4的距离为(80-50。海里，

根据题意得可(80-50力2+(40t)2=go2,

解得：0=1,12=工，

41

答：两艘轮船出发1或券小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里；

41

(2)解：设轮船甲出发x小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则CD=50%海里，AC=

AD-CD=(80-50x)海里，AB=40%海里，BC=50x(9-7-％)海里，

在Rt^ABC中，由勾股定理，^AB2+AC2=BC2,

即(40x)2+(80-50x)2=[50x(9-7-%)]2,

整理，得4/+5X-9=0,

解得，%=1,%2=-：(不符合题意.舍去).

回7+1=8,

答：轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物质的指令.

22.(10分)为了宣传“绿色生活，环保先行〃，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学

生中各随机抽取20名学生的测评成绩(成绩用x表示，且为60WxW100的整数)进行整理、

描述和分析(成绩分为四组，A：90<x<100,B：80<x<90,C：70<x<80,D：60<

x<70).下面给出了部分信息：

八年级20名学生的测评成绩：70,72,74,78,78,78,82,84,86,90,90,94,95,96,

97,98,99,99,100,100.

九年级20名学生测评成绩在B组的是：83,85,86,87,88,89.

八、九年级抽取的学生测评成绩统计表

年平均众中位方

级数数数差

八88a9010.1

九8892b9.8

九年级抽取学生海评成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题:

（1）上述图表中的Q=,b=,c=;

⑵根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理

由；（写出一条理由即可）

⑶若成绩不低于90分为优秀，且该校八年级有300名、九年级有400名学生参加了此次知识普

及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数.

【答案】⑴78,87.5,40

⑵八年级学生的测评成绩更好，理由见解析

⑶该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数分别为165人、160人

【分析】（1）根据众数的定义求出a的值，利用扇形统计图求出A、C、。组的人数，根据中

位数的定义求出b的值，求出A组所占百分比，即可求出c的值；

（2）根据中位数的意义求解即可；

（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可得答案.

【详解】（1）解：团八年级20名学生的测评成绩中，78出现3次，出现的次数最多，

团八年级20名学生的测评成绩的众数是78,即a=78,

团九年级20名学生的测评成绩。组的人数为20x20%=4,。组的人数为20x10%=2,B组

的人数为6人，成绩为：83,85,86,87,88,89,

回九年级20名学生的测评成绩的中位数为宁=87.5,即b=87.5,

回九年级A组的人数为20-2-4-6=8（人），

唳X100%=40%,

0c=40.

（2）解：团平均值相同，八年级的中位数大于九年级的中位数，

团八年级学生的测评成绩更好.

（3）解：团八年级20名学生的测评成绩中，A组的人数为11人，

嗜x100%=55%,

121300X55%=165（人），

0c=40,

0400x40%=160（人），

0165+160=325（人），

答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数为325人.

23.（12分）善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如6+2通=

2

1+2遥+5=（1+遍）.于是小汇进行了以下探索：

2

设Q+b遮=（m+=m2+5n2+2y/5mn（其中a,b,m,九均为整数），

则有a=m2+5n2=6,b=2mn=2,mn=1

2

由均为整数，可得m=l,n=1.故6+2遥=（1+遥）.

这样小汇就找到了一种把类似Q+b函的式子化为平方式的方法.同样热爱数学的小文仿照小

汇的方法继续探索了下列问题：

⑴当a,b,m,n均为正整数时，若a+=（6+几请你用含m,九的式子分别表示

a,b：a=,b=；

⑵利用小汇和小文探索的方法，求满足Q+4夕=（加+b）2的正整数a,m的值；

2

⑶若a-6&=（m-小反），且Q