黄金分割（巩固篇）专项练习-2022-2023学年九年级数学下册（人教版）

专题27.14黄金分割（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

1.生活中到处可见黄金分割的美.如图，点C将线段人4分成AC、C3两部分，且AO

ARAC

BC,如果芸=片，那么称点C为线段A8的黄金分割点.若C是线段48的黄金分割点,

ACCB

A/3=2,则分割后较短线段长为（）

/1J

4CB

A.y/s—1B.3—\/5C.2\/5—3D.>/5—2

2.世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分

割”，如图，塔高AB为339米，观光区P为塔AB的黄金分割点（AP>PB）,那么AP的高

度大约为（）米.

A.200B.210C.300D.130

3.点。是线段的黄金分割点,且八月=6"7,则的长为（）

A.卜石一3卜〃zB.（9-3\5）CV?7

C.（3必3卜〃阈9-36,〃D.（9-3、石"或（66-6卜〃？

4.已知点尸是线段A8的黄金分割点，AP>PB,则AP:心的值为（）

A.B.C.0.618D.75-1

22

5.如图，线段八"七【，点多是线段人"的黄金分割点（旦人PV8P,即尸归2丁人尸1•人阴，点

尸2是线段4Pl的黄金分割点（AP2VP1P2），点P3是线段力尸2的黄金分割点（AP3Vp2P3），…，

依此类推，则线段4P2017的长度是（）

•"■•-----•••

AP,P：RB

A.（七52。"B.（三二严普c.（-）2017D.（V5-2）1008

222

6.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G

将一线段MN分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的

比例中项，即满足型=丝=S二1,后人把1二1这个数称为“黄金分割”数，把点G称

MNMG22

为线段MN的“黄金分割”点.如图，在4A区。中，已知A4=AC=3,BC=4,若D,E是

边AC的两个“黄金分割"点，则,A。"的面积为（）

A.10-4石B.3石-5C.5-2、D.20-8石

2

7.有以下命题：

①如果线段d是线段〃，旌c的第四比例项，则有2=3；

bd

②如果点。是线段八8的中点，那么AC是八4、的比例中项；

③如果点。是线段48的黄金分割点，且AC>8C,那么AC是A8与8c的比例中项:

④如果点C是线段的黄金分割点，AC>BC,且AB=2,则AC=6-1.

其中正确的判断有（）

A.②④B.①②③@C.①@④D.②®@

8.采用如下方法可以得到线段的黄金分割点:如图，设A6是已知线段,经过点B做BD1AB,

使BD.AB；连接。A,在。4上取。E=OB,在上截取4C=4E.点C即为线段A8

D.2石-2

9古希腊时期’人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是与1

（与U.6I8,称为黄金分割比例）’如图，著名的饰臂维纳斯”便是如此.此外,最美

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是亨.若某人满足上述两个黄金分

割比例，且腿长为105a〃，头顶至脖子下端的长度为2&7〃，则其身高可能是（）

A.165c7〃B.175cmC.185。〃D.190c〃?

二、填空题

10.大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割如图，P为A8的黄金分割点

（AP>PB）,如果AP的长度为8cm,那么4B的长度是cm.

11.人们把正」这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了

2

黄金分割数.设〃=正二!"，b=逐+i,则他=1,记s=+丁］,S,=；+1,-,…,

22l+a1+Z?­\+a~\+b~

九=力+力•则4邑+…十九二—.

12.点。是线段48的黄金分割点，AP>BP,若BP=5,则AP=_.

13.如图，线段AB=1,点Pi是线段AB的黄金分割点（APWBPD，点P2是线段APi的

黄金分割点（AP2VP1P2）,点巴是线段AP2的黄金分割点（AP3Vp2P3），…，依次类推,

则APn的长度是.

・■■一•-----•---------■

AP3P：P,B

14.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也缢含着“黄金分割如图，P为44的

黄金分割点（A尸〉尸引，如果AB的长度为&•〃?，那么AP的长度是_____________.

A

15.已知线段4B=6,点c是线段48的黄金分割点，AC>BC.那么AC—AC=

16.“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.如图,

。、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是

17.若线段月6=辰〃?，C是A8的黄金分割点，且4C>4C,则

AC=5-—cm.（判断对错）

2

18.已知点C为线段A3的黄金分割点，且AC=lcm,则线段A8的长为.

19.点C是线段AB的黄金分割点（4OBC）,若4c=2则AB-BC=.

20.（如图1）,点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果BP般

AP=BP

那么称点P为线段AB的黄金分割点，设"'"二匕则k就是黄金比，并且依0.618.

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰4APB（如图2）,等腰4APB即为黄金三角

底.腰

形，黄金三角形的定义为：满足作,瓜牍=0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，

请你给出黄金矩形的定义：―：

（2）如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为0.618；

（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：

员二・%

直线1将一个面积为S的图形分成面积为S］和面积为S2的两部分（设S|VS2）,如果‘•1，

那么称直线1为该矩形的黄金分割线.（如图3）,点P是线段AB的黄金分割点，那么直

线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；

（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？

21.如图，正五边形ABCOE的各条对角线的交点为M,N,P,Q,R,它们分别是各条对

角线的黄金分割点.若AB=2,则MN的长为

三、解答题

22.如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果嗑=能那么点C为线段AB的黄金

ABAC

分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到''黄金分割线”，类似地给出“黄

金分割线”的定义：直线1将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为％、

S2,如果?=冷，那么称直线1为该图形的黄金分割线.

⑴研究小组猜想：在aABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD

是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由：

（2）请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.

23.如图①，点C将线段A8分成两部分，如果空=母，那么称点C为线段A8的黄金

ABAC

分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄

金分割线”的定义:直线1将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1,邑，

SS

如果u=u，那么称直线1为该图形的黄金分割线.

（1）研究小组猜想：在.A/C中，若点D为A3边上的黄金分割点（如图②），则直线C。

是-A4c的黄金分割线.你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）在（1）中的4ABe中，研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交于

点E,再过点D作直线。5//CE,交AC于点F,连接“（如图③），则直线E尸也是

的黄金分割线.请你说明理由；

（4）如图④，点E是平行四边形A8C。的边A8的黄金分割点，过点E作痔〃AO,交DC

于点F,显然直线即是平行四边形A8CZ）的黄金分割线.请你画一条平行四边形A8c。的

黄金分割线，使它不经过平行四边形A8C。各边黄金分割点.

24.一般地，点C把线段钻分成两条线段4c和8C,如果第=能那么称线段他被

点C黄金分割，点C叫做线段AA的黄金分割点，AC与4B的比叫做黄金比.请计算黄金

比.

25.阅读与思考

黄金分割

黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个

系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论.后来欧几里得进一步系统论述了黄

金分割，其《儿何原本》成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割指的是把一条线段分成

两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比.

黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用.如埃及的金字塔、印度的泰

姬陵等，都可发现与黄金比有联系的数据.20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华

罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就

如图I的作法是由《几何原本》中给出：

（1）以线段为边作正方形A8CQ.

（2）取八。的中点E,连接BE.

（3）在OA的延长线上取点产，使FE=EB.

（4）以线段A尸为边作正方形AFG”.

点H就是线段AB的黄金分割点.

以下是证明点”是线段AB的黄金分割点的部分过程.

证明：设正方形A8CO的边长为1,则A4=A£>=1.

•・•点E是40的中点，•••AE=《4Q=!.

22

在中，由勾股定理得：BE=y/AE2+AB2=+1=—.

任务:

(I)请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整.

(2)如图2,点C,。是线段A8的两个黄金分割点，且AC=2不-2,则A8=,BC=

图1图2

参考答案

1.B

【分析】

根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较

短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比.

2

【详解】

解：根据黄金分割点的概念得：AC=«亘48=叵^2=石-1

22

，BC=AB-AC=2-(6-1)=3-底

故选：B.

【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键.

2.B

【分析】

根据黄金分割比代入求值即可.

【详解】

由题意知：理=苴二1,

PA2

VAB=339,

ABP=AB-PA=339-PA,

代入得：吐丝

PA2

解得：PA^2\0,

故选：B.

【点拨】此题考查黄金分割比的定义及比值，难度一般.

3.C

【分析】

把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分

割叫做黄金分割，黄金比为五二1,据此进行解答即可得答案.

2

【详解】

•・•点C是线段AB的黄金分割点,且AB=6cm,

/.BC=AB=x6=3逐-3,

22

或BC=6-AB=9-3小,

2

故选C.

【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键.

4.B

【分析】

根据黄金分割比求出AP,PB计算即可：

【详解】

丁点/）是线段A8的黄金分割点，AP>PB，

.APx/5-I

••---=,,

AB2

令AS=x,

,种质一1而+1

•♦诉=3->/5=2；

故答案诜B.

【点拨】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键.

5.A

【分析】

根据黄金分割的定义的BPi=2且AB,则APkAB-BP尸上三AB/二匹，利用同样的方法可得

222

到AP2=^AP]:（T）AP3=（竽）3,按此规律易得APn的长度=（等）”

【详解】

解答：解：•・•线段AB=1,点Pi是线段AB的黄金分割点（APVBPi）,

.•.BP1=^Z1AB

2

・•・APkAB-BP尸匕些AB上匹，

22

二点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2VP1P2）,

•••”2=与明

••・AP2=AP1-P|P2=（等）

同理可得AP3=（学）'

・・・AP2OI7=（苧jo”

故选A.

【点拨】此题重点考察学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.

6.A

【分析】

作AF_LBC,根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、

CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.

【详解】

解：过点A作AF_LBC,

VAB=AC,

ABF=yBC=2,

在Rt^ABF,AF=dAB。-BF?=>/32-22=，

•・•D是边BC的两个“黄金分割''点，

•CD75-1CDV5-1

■■---=--------Bn|nJ-----=--------9

BC242

解得CD=2>/5-2,

同理BE=2>/5-2,

•・•CE=BC-BE=4-(2>/5-2)=6-26,

•'DE=CD-CE=4“-8,

ASAABC=!X/)EX4/二；X卜逐一8)x6二10-4石，

故选：A.

BDFEC

【点拨】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形

的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。

7.C

【分析】

根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得.

【详解】

①如果线段d是线段〃，b,c的第四比例项，则有:二；,正确;

bd

②如果点。是线段A8的中点，则空=2,g=l,

ACBC

ABAC

所rri以qkk

所以AC不是A3、3c的比例中项，错误;

③如果点C是线段48的黄金分割点，且AC>8C,

AC^5-1BCAB-ACAB,2石一1

则=-----,=--------=-----1-―7=------1---------9

AH2ACACACV5-12

.......ACBC.ABAC

所以——=——，即ni一=—,

ABACACBC

所以AC是48与BC的比例中项，止确；

④如果点C是线段A8的黄金分割点，AOBC,且45=2，

则4£=在二1,即生=避二1,

AB222

所以4c=6-1,正确；

综.上，正确的判断有①③3),

故选：C.

【点拨】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键.

8.B

【分析】

由勾股定理求出AD=2不，贝ljAC=AE=AQ・QE=24-2,得8C=48・AC=6-2后即

可.

【详解】

解：・・・8Q_LA&BD=-ABBD=2,

2t

・"B=4,

,AD=JAB)+BD?="2+22=2逐,

*：DE=BD=2,

：.AC=AE=AD-DE=245-2,

：,BC=AB-AC=4-(2^/5-2)=6・2逐；

故选:B.

【点拨】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关犍.

9.B

【分析】

设某人身高为mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,由腿长为105cm,可得

竺二皿>避二工0.618,解得〃0169.890,根据二避二1之。618得到

1052加一（，?+26）2

/w<178.218,由此得到答案.

【详解】

解：设某人身高为mcm,脖子下端至肚脐的长度为ncm,则由腿长为105cm,可得

m-l（）5>V5-Ia0618>解彳导利>169.890.

1052

由头顶至脖子下端的长度为26cm,

可得生>在二LO.618,

n2

解得〃<42.071.

26+n石-1

由已知可得之0.618,

nz-(/2+26)~2~

解得机<178.218.

综上,此人身高加满足169.890</〃<178.218.

所以其身高可能为175cm.

故选：B

【点拨】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问

题是解答此题的关键.

10.（475+4）

【分析】

先根据黄金分割的定义求出AP,然后把AP的长度代入求出AB的长即可.

【详解】

解：尸为A8的黄金分制点（AP>依），

故答案是：卜石+4）.

【点拨】本题主要考查了黄金分割点的定义，若把线段AB分成两条线段AC和BC（AOBC）,

且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分

割点，其中AC=叵1AB.

11.10

【分析】

先根据必=1求出3=」十=］（〃为正整数）的值，从而可得品S2,的值，再求

和即可得.

【详解】

解：,・•〃/?=1,

s”---------F-------=---------1--------------（〃为正整数），

1+/l+N\+anan[\+bn)

\+anan+(ab)n

1+优a”+l

=1,

A=S?=…=S］（）=1,

则S［+52+■•-+S］（,=10,

故答案为：10.

【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键.

195&+5

【分析】

根据黄金分割的定义即可进行计算解答.

【详解】

.•点P是线段AB的黄金分割点，且AP>8",

.BP75-1

I•

AP2

.BP=5,

2x55石+5

...AP=

石-1-2

故答案为：?

【点拨】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且便AC

是A8和8c的比例中项，叫做把线段A8黄金分割.

（3-0丫

13.

2

【解析】

垦!”=叵立有

试题分析：若点片是线段A8=l的黄金分割点（人《<助），则BP=

}22

x/5-l3->/5

，同理点P2是线段的黄金分割点（AP2<P2P}），则

22

垦1）4,也=（H）2点P、是线段AP的黄金分割点（AA<6勺）,则

^=（1-2

22

与!）A八=（上手）3也;…4月=（三芸）"•

AP.=（\-

2-22

考点：黄金分割点.

14.（46一4）cm

【分析】

利用黄金分割的定义计算出AP.

【详解】

P为A8的黄金分割点（AP>PB）,

.•.4尸二五，8二五匚

x8=4石-4（c〃?）

22

故答案为：（4右一4）cm.

【点拨】此题考查黄金分割的定义，黄金分割物体的较大部分等于与整体的与

15.675-12

【分析】

根据黄金比值为与1进行计算即可得到答案.

【详解】

解：•・•点C为线段AB的黄金分割点，AB=6,

・・.AC=^^x6=3逐-3,

2

BC=6-（36-3）=9-3忖

AC-BC=3>/5-3-（9-3逐）=675-12；

故答案为：6石-12

【点拨】本题考查的是黄金分割的知识和二次根式的计算，理解黄金分割的概念，找出黄金

分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.

16.V5-2

【分析】

过4作4〃_LBC于”，先由黄金分割点的定义得8E=CZ）=正二然后表示出8ZXDE

2

的长，再由三角形面积公式求解即可.

【详解】

解：过4作AHJLBC于从如图所示：

YD、七是边BC的两个“黄金分割”点，

Js-1

..BE=CD=BC,

2

:.BD=BC-CD=BC-BC=3'BC,

22

：,DE=BE-BD=BC-'-旧BC=（遂-2）AB,

22

]DExA”

AADE与△ABC的面积之比=[---------==（6-2）BC=亚-2,

^BC.AHBCBC

2

故答案为：旧-2.

【点拨】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段AC和BC（AO4C）,且使AC

是"和BC的比例中项•UPAB：AC=AC；BC),叫做把线段A8黄金分割，点C叫做线

段A8的黄金分割点.其中AC二避二并且线段48的黄金分割点有两个.

2

17.错误

【解析】

【分析】

先根据黄金分例的定义列式;计算AC的长，再进行比较即可判断.

【详解】

由已知可得AC=苴二1八8=叵口、石=三更。5-史.

2222

故答案为：错误

【点拨】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段

与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值总叫做黄金比，熟

2

记定义是解题的关键.

18.立里或叵虫

22

【分析】

根据黄金分割点的定义，分线段AC为较长的线段和较短的线段两种情况解答即可.

【详解】

①若AC是较长的线段，.・・AC=lcm,

・・.AB・@」=AC=I,

2

解得AB=^±1：

2

②若AC是较短的线段，：AC=lcm,

r.AB*3~^=AC=L

2

解得AB二^±2，

2

综上所述，AB的长是回或/.

22

故答案为或±1或与.

【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，解题时注意这里的AC可能是较长线段，也可能是

较短线段；熟记黄金比的值进行计算是解题的关键.

19.4

【解析】

【分析】

根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例

中项，这样的线段分割叫做黄金分割.

【详解】

由题意得：AB-BC=AC2=4.

故答案为:4.

【点拨】此题考查黄金分割，解题关键可知与掌握其概念.

20.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

(4)无数条

【解析】解:

宽—长

(1)满足加.618的矩形是黄金矩形;

BP

JD

(2)由=k得，BP=Ixk=k,从而AP=1-k.

_A_P=_B_P

由5尸4得，BP2=APXAB,

即k2=(1-k)Xl,

-1±-

解得k=2,

Vk>0,

5-1

2

Ak='=0.618；

AP^BP

(3)因为点P是线段AB的黄金分割点，所以"尸M

设△ABC的AB上的而为h,则

—1必=,BP

WtKl5PxA士尔xA府

.冬SK

••

・,・直线CP是^ABC的黄金分割线.

（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线，设AQ

与CP交于点W,则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条.

（1）类比黄金三角形的定义进行定义；

（2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；

（4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条.

21.3-x/5

【分析】

首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABNE为平行四边形，进而求出EN的长度，再根

据黄金分割点进行计算即可得到MN的长.

【详解】

解：:五边形48CQE为正五边形

：,AE=AB,ZE4B=108°

JZAEB=ZABE=36°

同理可得NCBZK6。

，ZABZ）=108o-36o=72o

•••ZEAB+ZABD=\08°+72°=180°

：.AE//BD

同理可证明EC//AB

・•・四边形A8NE为平行四边形

：,EN=AB=2

•・•加、N为CE的黄金分割点

・•・”点为EN的黄金分割点

:.EM=^^~EN=«-I

2

:・MN=2-（亚7）=3-下,

故答案为：3-45.

【点拨】本题主要考杳了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，黄金分割点等相

关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.

22.(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

【分析】

(I)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；

(2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面枳相等，显然不符合黄金分割线的

概念.

【详解】

解..S^ACD_竺SABCD_吧

：

W•SAABC一方与8―石，

又・・・D是AB的黄金分割点，

,AD_BDS，ACD_S^BCD

ABADS^ABCSAACD

ACD是AABC的黄金分割线；

(2)不是.

•・。是4ABC的中线,

.\AD=DB,

.S^ACD_1

*'^AABC2，

而产=1,

S&BCD

.SAACD丰SA8CD

s4ABeS6ACD'

・••中线不是黄金分割线.

【点拨】考行的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式.

23.(I)对；理由见解析；(2)三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；(3)理

由见解析：(4)图见解析.

【详解】

(I)解：直线。。是A6c的黄金分割线.理由如下：

设,ABC的边A4上的高为h.

则山仇.=：">•/?，S"x=；BDh,S八席=；人3小,

.S△八0c_AQS^BDC_BD

,,二一加二一而

又•••点D为边AI3的黄金分割点，

.ADBD

••=,

ABAD

,SAA0C_SmDC

S^ABCS^ADC

故直线C。是，A5c的黄金分割线；

(2)解：•・•三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,

1S.S,

:・S,=ss，即寸,

故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；

(3)解：