高考数学复习二轮复习讲义：函数的概念及其表示（解析版）

第四讲：函数概念及其表示

【考点梳理】

1、函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设A、B是两个非空数集设4、〃是两个非空集合

4、B

按照某种确定的对应关系/,使对于集按某一个确定的对应关系力使对于集合

对应关系合A中的任意一个数x,在集合B中都A中的任意一个元素x,在集合B中都有

有唯一确定的数./U)和它对应唯一确定的元素y与之对应

称ATB为从集合A到集合B的一称/：为从集合A到集合3的一个

名称

个函数映射

记法y=fix)txWA/：A-B

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意

一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.

2、函数的定义域、值域

在函数)，=大外，中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的，直相对应的y

值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

3、构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

4、函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

5、函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y=x°的定义域是口后叫.

(5)j=ar(a>0Ky=sinx,y=cosx的定义域均为R.

⑹y=k)劭x(a>0且存1)的定义域为(0,+8).

7T

(7)j=tanx的定义域为{X|工工也+/,攵£Z).

【典型题型讲解】

考点一：函数的概念

【典例例题】

例1(多选题)下列对应关系了,能构成从集合M到集合N的函数的是()

A.1,|1,N={-6,—3/},/(£|=一6,/(1)=-3,/弓)=1

B.A/=N={x|xN-l},f(x)=2x+\

C.M=N={1,2,3},/(x)=2x+l

D.M=Z,N={,T」}/a为)奇h数1，为偶数.

【答案】ABD

【详解】

对于A中，集合M中的任意一个元素，按某种对•应法则，在集合N中存在唯一的元素相对应，所以能构成

从集合M到集合N的函数；

对于B中，集合M={x|xN-l}中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合N={x|xN-1}中存在唯一的

元素相对应，所以能构成从集合M到集合N的函数；

对于C中，集合用={1,2,3},当上=3时，可得/(3)=5任N,所以不能构成从集合M到集合N的函数；

对于D中，集合M=Z中的任一元素，按在集合N={-1,1}有唯一的元素与之对应，

[l,x为偶数.

所以能构成从集合M到集合N的函数.

故选:ABD

【方法技巧与总结】

函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.

【变式训练】

1.函数产次x)的图象与直线4=1的交点个数()

A.至少1个B.至多1个C.仅有I个D.有。个、I个或多个

【答案】B

【详解】

若T不在函数fix)的定义域内，y=")的图象与直线x=1没有交点，

若I在函数儿r)的定义域内，的图象与直线x=l有1个交点，

故选：B.

2.已知函数/*)的定义域和值域都是集合{-L0J2},其定义如表所示，则/"⑴]=

X-10।2

/W012-1

【答案】-1

解：由表可知，/[/(1)]=/(2)=-1.

故答案为：-1.

考点二：具体函数的定义域

【典例例题】

例1.函数/(灯=(]7。+(21)。的定义域是()

A.(-<oJ]B.

C.(fD.,8,g)u(；，+8)

【答案】B

【详解】

解：故解得：

Vv~x)IZ.l-IUI2.)\2.7

故选：B

例2・函数/(”卜河花片京方的定义域为-----------«

【答案】(YO,2)D(|,+8：

【详解】

由题意可知1呜(2/-9彳+14)-2>0,而以2为底的对数函数是单调递增的,

因此21_9工+14>4,求解可得人<2或

5、

故答案为：(-8,2)=-,+«.

IZ/

【方法技巧与总结】

对求函数定义域问题的思路是：

(1)先列出使式子“X)有意义的不等式或不等式组：

(2)解不等式组；

(3)将解集写成区间的形式.

【变式训练】

1.已知集合A={x|0WxW2},1=卜,=>/14会卜则人口8=()

A.{0,1,2}B.[0,1]C.{0,1}D.{1}

【答案】C

【详解】

函数y=有意义，必有l—xNO,即xKl,于是得8={Hl-x20,xtN}={0,l},A={x\0<x<2},

所以403={。，1}.

故选：C

2.函数“力=>/罚+植(2-力的定义域是.

【答案】[彳⑵

【详解】

2x+l>01

由题意可得，，解之得一二工工<2

2-x>02

则函数f(x)=J^7i+lg(2T)的定义域是“；,2)

故答案为：[-g,2)

3.函数/")=J]3]—1的定义域为.

【答案】(70,。】

【详解】

解：由；)一120,

所以xWO，

所以函数的定义域为（3,0],

故答案为：（-8,0]

考点三：抽象函数定义域

【典例例题】

例1.已知函数）=/（力的定义域为（。,1）,则函数尸（力二川2=力的定义域为（）

A.S，l）B.（-00,0）5°/）C.（O,+8）D.[0,1）

【答案】B

【详解】

..[~\<2T-1<1

•••丁/（工）的定义域为（0,1）,即2.]，

x<1,

八，解得：X<1且xwO，

.•.尸（x）=f（|2T|）的定义域为（TO,0）50,1）.

故选；B.

【方法技巧与总结】

1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若/（X）的定义域为（。，b）,

求/国（幻]中〃<g（x）<〃的解x的范围，即为/国（幻]的定义域，口诀：定义域指的是x的范围，括号范围相

同.己知/（x）的定义域，求四则运算型函数的定义域

2.若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求

出各个函数的定义域，再求交集.

【变式训练】

1.已知函数产/任-4）的定义域是[-1,5],则函数y=/（2x+l）的定义域为.

【答案】-|JO

【详解】

)"任一4)的定义域是[-1,5],M<-4G[M,21],

即函数/(X)的定义域为[-4,21],

令2x+le[T,21],解得xc-|,10.

则函数y=〃2x+l)的定义域为-.

故答案为：-|JO.

2.已知函数y=/(x-i)的定义域为[1为],则函数y=/(log3(的定义域为()

A.[0,1]B.[1,9]C.[0,2]D.[0.9]

【答案】B

【详解】

由xe[l,3],得1-氏[0,2],

所以睡3工式(),2],所以xw[l,9].

故选：B.

3.已知函数y=/(x+D的定义域为一京，则函数产/(四4)的定义域为()

A.(0,+oo)B.(0,1)C.[孚2]D.[夜，4

【答案】D

解：•・•函数)=/(x+D的定义域为一11

—WxKl,-Wx+142

22

・••函数产/(log?x)中，1<log2x<2

y/2<x<4

所以函数y=/(log2X)的定义域为[0,4].

故选:D

考四：函数的解析式求法

【典例例题】

例L(待定系数法)已知函数/。)是一次函数，满足/(/(X))=9.T+8,则/(6的解析式可能为()

A./(x)=3x+2B.f(x)=3x-2

C./(A)=-3X+4D./(x)=-3x-4

【答案】AD

【详解】

设f("=依'+〃，

由题意可知/(/(x))=%(依+〃)+匕=心+幼+〃=9工+8,

公=9：二；或.

所以《解得

kb+b=8b=2h=-4

所以〃x)=3x+2或/(x)=-3x—4.

故选：AD.

例2.(换元法或配凑法(适用于了丹g(x)］型))已知/(工+1)=1.2,则/(1)=()

A.ln(x+l)"B.2in(x+l)

C.21n|x-l|D.ln(x2-l)

【答案】C

【详解】

因f(x+l)=hi¥2,则设《r+l=[,x=t-\,而xwO,则有/工1,

于是得fa)=ln("l)2=21n|"l|,

所以/(x)=21n|x-

故选：C

例3.已知函数/(幻的定义域为R,且/(幻+2/1)=/一以则f(x)=()

【答案】D

【详解】

令X为T,则/(一%)+2/0)=丁+1,

■>

与jF(x)+2/(-.v)=x2-.r联立可解得，/(x)=]■+X・

故选：D.

【方法技巧与总结】

求函数解析式的常用方法如下：

(1)当已知函数的类型时，可.用待定系数法求解.

(2)当已知表达式为/[g(R]时，可考虑配凑法或换元法，若易将含工的式子配成g(x),用配凑法.

若易换元后求加工，用换元法.

(3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.

(4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.

(5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解.

(6)若已知成对出现/⑴，/d)或/U),/(-幻，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造

X

另一个方程，消元的方法求出/(1).

【变式训练】

1.设了=贝外是一次函数，若及))=1，且f(l)J(4)J(13)成等比数列，贝1」/(2)+/(4)+…+/(2〃)等于()

A.”(2〃+3)B.〃(/2+4)

C.2〃(2〃+3)D.2〃(〃+4)

【答案】A

【详解】

由已知，假设/(%)="+"(D

•••/(0)=1="0+人，；,b=\.

・・・〃1)J(4)J(13)成等比数列,

且f⑴=k+1J⑷=软+1,/(13)=132+1.

.4+1,4A+1,134+1成等比数列，即(奴+1)2=(〃+1)(13女+1),

16必+1+8*=13犬+14A+1,从而解得2=0(舍去)，k=2,

/(2)+/(4)+...+/(2/0

=(2x2+1)+(4x2+1)+...+(2〃x2+1)

=(2+4+...+2〃)x2+〃

=4x"("+D+〃=2〃(〃+1)+〃

2

=3〃+2n'=〃(2〃+3).

故选：A.

2.已知函数三]=不，则f(x)的解析式为()

A./(K)=7^7(KHT)B.

CD-/(*)=一信任7)

【答案】A

【详解】

令t=---,则x=,

\+X14-/

i-riziY

所以贵"言"一"

所以卷2丫(,xwT)，

故选：A.

3.已知函数“X)满足〃8SX-1)=8S如-1,则“X)的解析式为()

A.f(x)=2x2+4x(-2<x<0)B.f(x)=2x2+4.r(xeR)

C.f(x)=2x-\(-2<x<0)D./(X)=2X-1(XG7?)

【答案】A

【详解】

函数满足f(cosx_1)=COS2%-1=2COS2JC—1—1=2COS2X—2,

设cosx-l=t,则cosx=f+l,由cosxw[-l,l]知fe[-2,0],

故原函数可转化为〃r)=2(r+l)2-2=2r+4,

即/(A)的解析式为/(x)=2r2+4x(-24x40).

故选：A.

考点五：分段函数

【典例例题】

2t-l,x<0,

例1.已知函数/(力=.若〃〃7)=3,则〃?的值为()

J,x>0,

A.丛B.2C.9D.2或9

【答案】C

【详解】

2r-l,x<0

:函数/(x)=«i，/(〃?)=3,

X^yX>0

〃？W°m>0

解得〃?=9.

故选:C.

9^2-12X+4,X<1

例2.(2022•广东东莞•高三期末)(多选)已知函数1,则下列结论正确的是()

A.=B.3XG(0,+O))J(X)>-

.X

C.关于X的方程/(X)=4~(〃€N')的所有根之和为/+1D.关于X的方程/(x)=4i(〃eM)的所有根

之积小于(m)2

【答案】.ACD

【详解】"1)=1，”〃)=，〃-1)=也(〃-2)乩=击〃1)=击，A正确;

当工«0』时，/3'=(X_I)("2-3X+1)WO.关于〃力4：,

XX'

当川收)时,/(x)=i/(x-l)=L=»(i)<*:，

(〃=卜]，卜]表示不超过x的整数)

所以音，

21

/(X)=4°的根为内,毛,玉+电=2、y,4=引出=-

/(x)=4T的根为七，玉，x3+x4=2xf|+l^,d2=x3x4=(x,+l)(x>+1)=<7,+1

LLLLLLLL

(2、5

/(力=42的根为-，—+x2n=2x[§+"l>4=%+2〃一§

所有根的和为：21个+；〃(〃—1)]=〃2+：〃，c正确；

c713,5、2

由4=4一+2〃一（累加可得4=4+w+w+L+2n--\\=n2--n<n2

所以所有根之积小于Fx2?x3?xLx/r=（川/，D正确.

故选:ACD.

【方法技巧与总结】

1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪•个区间，选定该区间对应的解析式代入求值

2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.

【变式训练】

、|x+3,x<0,

1.己知/")=,若〃“一3)=〃。+2),则/(。)=()

[Vx,x>0

A.2B.JiC.1D.0

【答案】B

【详解】

v/W.=.U|x+>3,xWo0，....

，必有a-3V0,a+2>0,

-3+3=\/a+2，

解得。=2或。=T(舍去)，

•・f(。)=/(2)=应.

故选：B.

-2

2.己知函数/3=甲"<1,则/(/口)=()

[logsx,x>l1匚〃

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

由睡意，得/(；)=9，/(/({I)=/(力=2.

故选:B.

3.设函数=WJ/(-2)+/(Iog26)=()

A.2B.6C.8D.10

【答案】B

【详解】

解:因为『（加快，产L

月〒以/（-2）-log28-3,/（log26）-2睡通t—3,

所以/（一2）+/（1。氏6）=6.

故选:B.

e叫x>0,

4.已知函数,f(x)=1x+〃，贝i」.f(l)=__________；若/(/(一1))=1,则实数。=

——-,x<0,

x-1

【答案】1-1

【详解】

3叫工>0,

因为=・x+a,所以『⑴=/"=/)=1.

------,x<0.

[x-\

/(-1)=手=宁，/(/(-D)=/(一)，

lnxnx

当0vx<l时，f(A)=e~=-,当xNl时，f(x)=e'=xf

j—(1(I—6/A2

所以当。<一<|即时，f=--=1=>«=-),不符合;

2k2；\-a

当伊之]即々KT时，/(宁)=宁=1=。=_1,符合；

\-a

1(]_、----+CI।.

当—K0即。21时，f\^L=在_=7±=1,〃无解，不符合.

2V2y।]-\-a

F

所以实数。=-i.

故答案为：1；-1

【巩固练习】

一.单选题

1.下列函数中，不满足:〃2x)=2/(x)的是

A./(x)=|x|B.f(x)=x-\^C.f(x)=x+\D.f(x)=-x

【答案】C

【详解】

试题分析:A中〃21)=何=2凶=2/(力，B中f(2x)=2x-|2x|=2f(x),C中〃2x)=2x+l工2/(力，D

+/(2x)=-2x=2/(x)

2.若函数/(x)满足/(1-lnx)=-,则/(2)=()

x

A.~B.c

C.-D.-1

e

【答案】B

【详解】

]11

由I—lnx=2,得彳=一，x-=1~=,即/(2)=e.

ee

故选：B

3.设全集U=R,集合例={x|y=ln(x—l)},N={x|y=Jx2_4},则Mp|N=()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(2,+oo)D.[2,+co)

【答案】D

【详解】

A*/={x|x-l>0}={x|x>l},N={x|x2-4>0}={4v<-2},

所以McN={x|x之2},

故选：D.

4.已知函数/Q+l)的定义域为(一2,0),则/(2x-l)的定义域为()

(1)

A.(-1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D.--,0

I//

【答案】C

【详解】

由题设，若，=x+l,则/€(7』)，

・・・对于/(2x-1)有2LL1),故其定义域为(0,1).

故选：C

5.若函数/[3)=4-2+1,则函数履力=/3_心的最小值为()

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【详解】

因为仁1『二+「工

\xJx~XX~\xJ

所以/(力="2(工工1).

从而g(x)=x*-4X=(X-2)2-4,

当工=2时，g(x)取得最小值，且最小值为-4.

故选：D

二、多选题

6.(2022・全国•高三专题练习)已知/⑴满足/(x)-2/(-x)=2x-l,则()

A./(3)=3B./⑶=-3

C./(x)+/(-x)=2D./(x)+/(-x)=-2

【答案】AC

【详解】

/(x)-2f(-x)=2x-\,

丁./(一x)—2/(X)=—2x-1化简得2/(—X)—4/(^)—-4.r—2

两式相力口得一3/(耳=-2'-3,解得“X)=5“+1

故f(3)=3,A正确,B错误;

2

又F(r)=-1x+l,则/*)+/(r)=2,C正确,D错误；

故选:AC

7.下列四组函数中，大外与以幻表示同一函数的是()

x2_]___________

A.=x+1,g(x)=——-B.fix)=Jx+1•J\~X,g(x)=J\-X2

X~\

c.y（x）=（x-i）0,g（x）=iD.段）=空,虑尸而

【答案】BD

【详解】

对干A,/（x）的定义域为R,屋”的定义域为{."工1}