2025-2026学年一元一次方程一 中考数学一轮分层训练【含答案】

一元一次方程一初中数学中考一轮分层训练

一、基础题

1.已知x=2是关于x的方程"加=7的解，则”的值为（）

A.3B.4C.5D.6

2.某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”.已知该班共有学生45名，每名学生一节

课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底.设安排x名学生做桶身，若该班学生所

做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（）

A.1lx=23（45-x）B.1l（45-x）-23x

C.2xllx=23（45-r）D.1lx=2x23（45x）

3.下列运算正确的个数是（）.

@|2023|=2023；②2023。=1；③2023一】=击；④7^^=2023・

A.4B.3C.2D.1

4.“六一”儿童节，学校分发绐301班一些糖果，老师再分发给每个小朋友，如果分发给每个小朋友

10颗糖果，则还缺10颗糖果：如果分发给每个小朋友8颗糖果，就多出40颗糖果.设学校分发给

301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友，则下列方程正确的是（）

端-10=/40；②8厂40=10>10；③8尹40=10厂10；@^2=平.

A.①@B.②④C.®®D.③④

5.某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20%.若这种商品的进价提高25%,而商店将这

种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）.

A.25%B.20%C.16%D.12.5%

6.解方程：

（I）2y-5y=21；

⑵1上*

7.解方程：

（1）5X2-3X=X+1：

（2）xCv-2）-x+2=0.

1/18

8.小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装.为了

缓解资金压力，小张决定将这批服装打折出售，若这批服装每件按标价的六折出售，将亏60元，按

标价的八折出售将赚20元，则这批服装每件的标价和进价各是多少元？

二、能力题

9.“洛书''是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说.图1即

“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，用1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字表示，分别

填入图2中正方形对应方格内，得到一个每一横、每一列以及对角线上的数的和均为15的幻方，则

x-y的值是（）

图1图2

A.-1B.-11C.1D.-2

10.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几

何?译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余

9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车?设共有x辆车，则可列方程为（）.

A.孚=竽B.3（x+2）=2x-9C.尹2=芋D.3（x-2）=2x+9

11.•家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这

种服装每件的成本是（）

A.105元B.125元C.135元D.165元

12.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14

根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第〃个图形需要2030根小

木棒，则〃的值为（）

第1个图形

A.252D.337

2/18

13.下列等式变形正确的是（）

A.如果x+3=5,那么x=5+3B.如果厂2可-2,那么尸y

C.如果a=b,那么。+c=Z>-cD.如果。加=卬7,那么〃?=〃

14.杨老师带着若干名同学去深圳湾进行拍摄，如图6,A,B,C依次是一段笔直道路上的三个拍

摄点，每个拍摄点分别安排2,1,k（k>0）人。杨老师要在AC这段道路上选一个合影点使得所有

同学到合影点的距离之和最小，若满足条件的合影点在BC上的任意一处都符合（包括点B,点C）,

则k的值为o

I“L,…J

ABC

15.如图，48=4cm,4C=6cin,/B=/C,如果点P在线段8C上以2cm/秒的速度由B点向C点

运动，同时，点Q从C点出发沿射线CO运动，若经过t秒后，△力8尸与△C0P全等，则t的值

是.

16.解方程：j[x-(x-1)]=^(v-2).

17.解方程:

(1)2-(l-x)=-2；

18.某商店销售A,B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表:

型号AB

进价（元/只）12002000

售价（元/只）18002500

该商场购进A,B两种型号智能手表共60只.

（I）若该商场计划用8.4万元购进A,B两种型号智能手表，求购进A,B两种型号智能手表各多

少只？

（2）若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只.若

3/18

这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？

19.为节约用水，某市规定四口之家每月标准用水量为15立方米，超过部分加价收费，假设不超过

部分水费为1.5元/立方米，超过部分水费为3元/立方米.

(I)如果小明家6月份用水20立方米，则应缴水费多少元？

(2)如果小明家某月的用水为m立方米那么这个月应缴水费多少元？(用含m的代数

式表示)

(3)如果小明家某月的应缴水费52.5元，那么这个月用水为多少立方米？

三、拓展题

20.如图，已知数轴上有A,B,C三个点，它们表示的数分别是a,b,c,且b+c=0,(a+10)2+|c-6|=0.

ABC

ab0c

(1)填空：AB=,BC=；

(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒2个单位长度和5

个单位长度的速度向右运动.设点A运动的时间为t秒，试探索：BC-AB的值是否随着时向t的变化

而改变？请说明理由；

(3)现有动点P,Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动

到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，

点Q就停止移动.设点P移动的时间为m秒，当P,Q两点间的距离是2时，求m的值.

21.数轴上两个动点4、8所对应的数为-8、4,4、8两点各自以一定的速度在数轴上运动，旦/

点的运动速度为2个单位/秒.

AB

------1--------------------------------------------«--------►

-84

(1)点力、4两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求4点的运动速度；

(2)4、B两点以(1)中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时点力会追上8：

(3)A.8两点以(1)中的速度同时出发，向数轴正方向运动，求经过多少时间后，力、0、8三点

中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点.

22.为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备.经

市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个

4/18

足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等.

(I)求每套队服和每个足球的价格各是多少？

(2)甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80

套，则购买足球打八折.若该校购买100套队服和a个足球(其中(。多0且为整数)，请通过计算说明,

学校采用哪种优惠方案更省钱？

①请用含a的式子表示：

甲商城所花的费用，乙商城所花的费用;

②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？

5/18

答案解析部分

I.【正确答案】c

解：因为x=2是方程x+m=7的解，把x=2代入方程，得到2+m=7,解得m=5.

故C.

【分析】利用方程的解的定义，将己知的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解得出m的

值.

2.【正确答案】C

解：由题意可得，2xllx=23(45-x),

故选：C.

【分析】根据题意建立方程即可求出答案.

3.【正确答案】A

解：①|2023|=2()23,故①正确；

②2023°=1,故②正确；

③2()23」焉^,故③正确；

①420232=2023,故④正确；

正确的个数是4个.

故A.

【分析】直接根据绝对值的性质、零指数幕的性质、负整数指数幕、二次根式的性质计算并判断即

可.

4.【正确答案】D

解：设学校分发给301班的糖果总共有x颗，301班有y个小朋友.当每个小朋友分10颗糖果时，

还缺10颗，则糖果总数加上1()颗后刚好够分，即嚅，当每个小朋友分8颗糖果时，多出40

颗，则糖果总数减去40颗后刚好够分，即产学；

根据以上两个等式，可以得到方程耳程=三券，即选项中的④；

1Vo

另外，根据糖果总数和小朋友人数的关系，可以得到方程x+10=10y和x-40=8y,变形后得到

8j/+40-I0y-10,即选项中的⑤.

6/18

因此，正确答案为③④；

故D.

【分析】先分析“每个小朋友分10颗糖果，还缺10颗”的情况，再分析“每个小朋友分8颗糖

果，多出40颗”的情况；然后结合两个情况，推导方程；接着从“糖果总数”与“小朋友人数”的

关系推导另一个方程，从而得出正确的方程是③和④；即可得出答案.

5.【正确答案】C

解:设原进价为a元，提价后的利润率为x%,

则m=a・20%=a（l+25%>x%,解得x%=16%.

故C

【分析】设原进价为a元，提价后的利润率为x%,根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

6.【正确答案】（1）解：原方程合并同类项得；-3厂21,

系数化为1得：y=-7；

（2）解：原方程去分母得：6—3（X—1）=2（x+2）>

去括号得：6-3x+3=2r+4,

移项，合并同类项得：-5尸-5,

系数化为1得：x=l.

【分析】（1）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先移顶，再合并同类项，最后系数化为“1”即

可）分析求解即可；

（2）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后

系数化为T”即可）分析求解口1可.

（1）解：原方程合并同类项得：-3尸21,

系数化为1得：尸-7；

（2）原方程去分母得：6-3QT）=2（x+2）,

去括号得：6-3%+3=2.什4,

移项，合并同类项得：-5x=-5,

7/18

系数化为1得：x=i.

7.【正确答案】(1)解：5/-3产4+1，整理，得：SfTx-kO，

)(5x+1)=0,

则尸1=0或5x+l=0,

解得町=1,x2=-1：

(2)解：x(x-2)-x+2=0,

x(x-2)-(x-2)=0,

(x-2)(x-l)=0,

则厂2=0或xT=0,

解得町=2,M=1.

【分析】

(1)先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解即可解答;

(2)利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解即可解答.

(1)解：5X2-3,V=X+1,

整理，得:5.r2-4x-l=0,

・・・。一1)(5.什1)=0,

则厂1=0或5x+l=0,

解得X|=1,X2=~J；

(2)解：x(x-2)-x+2=0»

x(x-2)-(x-2)=0,

(x—2)(A—1)=0,

则x-2=0或x-l=O,

解得X|=2,X2=l.

8.【正确答案】解：设标价是x元，则进价是(0.6/60)元，

依题意得，0.8.r-(0.6.r+60)=20,

解得，x=400,

8/18

・•・0.6x+60=0.6x400+60=300(元)，

，标价是4007匕，进价是300元.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设标价是x元，得到进价是(0.6x+60)元，依题每件按

标价的六折出售，将亏60元，按标价的八折出售将赚20元，列出方程08L(0.6X+60)=20,求得

方程的解，即可得到答案.

9.【正确答案】A

解：•••在图2的正方形中，每一列上的数的和为15,

・・・9+x+l=15,

.*.x=5,

•・•在图2正方形中，对角线上的数的和为15,

.•・4+x±y-4+5七厂15,

**»y=6>

/..r-^=5-6=-l,

故A.

【分析】根据每一列上的数的和为15,可得出9+x+l=15,即可得出尸5,进而根据对角线上的数的

和为15,可得出4+壮尸4+5^=15,进而得出尸6,再代入求值得出尸产5-6=-1即可。

10.【正确答案】D

解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系，

每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：3(厂2),

每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：2x+9,

・•・列出方程为：3(x-2)=2x+9,故D正确.

故D.

【分析】设共有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

11.【正确答案】B

解：设这种服装每件的成本为x元

由题意可得：(1十40%)K0.8X-X—15

9/18

解得:x=125

故B

【分析［设这种服装每件的成本为x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

12.【正确答案】B

解：观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6xl+0,

第二个图形需要小木棒：14=6x2+2；

第三个图形需要小木棒：22=6x3+4,

・.・,

，第n个图形需要小木棒：6/1+2（//-I）=8/z-2.

.*.8/7-2=2030,

解得:254,

故B.

【分析】根据前几幅图中小木棒的数量与序号的关系可得规律第n个图形需要小木棒：

6〃+2（〃-1）=8〃-2,再列出方程8〃-2=2030求解即可.

13.【正确答案】B

解：A.如果x+3=5,那么.r=5-3,故选项错误；

B.如果X-2=JL2,那么工=外故选项正确；

C.如果a=b,那么a+c=b+c或a-c=b-c,故选项错误；

D.如果。加=即,且a#0,那么〃尸〃，故选项错误.

故选：B.

【分析】根据等式的性质逐项进行判断即可求出答案.

14.【正确答案】3

解：假设合影点在8处，此时所有同学到8点的距高之和为：2xAB+\xO+kxBC=2AB+kBC（B点、的

1人距离为0）；

假设合影点在C处，此时所有同学到C点的距离之和为：

2K（月6十6。十1K6C+&入0_2月6十26c十6c—2片6十36c（C点的k人品巨离为0）；

10/18

•••8。上任意•处均符合条件，

••・B点和C点的距离之和相等，即2/iB+kBC=2/iB+3BC,

两边同时减去248,可得kBC=3BC,

又，：BC*O,两边同时除以BC,解得Q3。

故3

【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题的关键是理解“8C上任意一处均为距离之

和最小的合影点''这一条件，意味着端点8和C处的距离之利相等，据此分别列出8点和C点处的

距离之和代数式，根据相等关系列出方程，进而求解&的值，

15.【正确答案】1或,

解：由题意知，BP=2t(cm),PC=(6-27)cm,

•；AB=4cm,

①当△尸C。时，

:・BA=CP,

，6-2-4,

.,./=1；

②当△力APgZk。。尸时，

BP=CP=3cm,

3

-

/=2

综上，当，的值是1或加寸，能够使△43P与△CQP全等，

故1或右

【分析】首先根据题意可得出8p=2/(c〃?)，PC=(6-2/)cw,然后根据△/8P与△/2/＞全等，可分

成两种情况：①当△44P出△P。。时，BA=CP,可得出6-2片4,解得片1；②当AABPgAQCP

时，8P=Ca=3cm,可得出2-3,解得片|,综上即可得出当t的值是1或蚪能够使△力8。与△CQP

全等。

11/18

16.【正确答案】解：；卜一；(上一1)]=,(工一2)

去中括号得：1x-i(x-l)=|(x-2).

去分母得：2A—Cv-l)=4(x-2),

去小括号得：2v-x+l=4x-8,

移项得2x-x-4x=-8-1,

合并同类项得：-3.r=-9,

系数化为1,得：尸3.

【分析】本题根据解一元一次方程的步骤，先去掉中括号、再去掉分母，此时原方程变为整式方程,

然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。

17.【正确答案】(1)解：去括号得：2-1+尸一2,

移项得：x=-2-2+l,

合并同类项得：x=-3.

(2)解：去分母得：5(y-1)=20-20+2),

去括号得：5y5=20-2厂4,

移项得：5y+2.尸20-4+5,

合并同类项得：7尸21,

系数化为1得：尸3.

【分析】本题考查了解一元一次方程，

(1)根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，化x的系数为1,即可求解；

(2)根据含分式的一元一次方程的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1,

即可求解.

(1)解：去括号得：2-l+x=-2,

移项得：x=—2—2+11

合并同类项得：x=-3.

(2)解：去分母得：5(y-l)=20-2O+2),

去括号得：5jT=20-2y4,

12/18

移项得：5y+2尸20-4+5,

合并同类项得：7)尸21,

系数化为1得：y=3.

18.【正确答案】(1)解.：设购进A种型号智能手表x只，则购进B种型号智能手表(60-x)只，

由题意可得：120Qr+2000(60r)=84000,

解得尸45,

760-45=15(只)，

答：购进A种型号智能手表45只，则购进B种型号智能手表15只.

(2)解:设购进A种型号智能手表m只,则购进B种型号智能手表(60-m)只,由题意得:

1200w+2000(60-w)<88000,

解得；"/40,

VA型号的智能手表不得超过44只.

m<44>

J409W44,

设购进手表的总利润为W万元，由题意得：

%(1800-1200)w+(2500-2000)(60-w)=100w+30000,

;一次项系数a=l()0>0,

・・・w随着m的增大而增大，

・••当加=44时，利润最大，为%=100x44+30000=34400(元)，

60-44=16(只)

答：该商店应进A型号的智能手表44只，B种型号智能手表16只，才能使得获利最大，最大利润

是34400元.

【分析】(1)设购进A种型号智能手表x只，则购进B种型号智能手表(60-x)只，根据题意得等量

关系“购进A型号智能手机的费用+购进B型号智能手机的费用=84000”，据此建立方程求解，即可

解题；

(2)设购进A种型号智能手表机只，则购进B种型号智能手表(60-6)只，根据题意建立不等式并

求解，得到，〃的取值范围，再根据题意表示出利涧，结合〃:的取值范围求解，即可解题.

13/18

(1)解：设购进A种型号智能手表x只，则购进B种型号智能手表(60r)只，

由题意可得：1200/2000(60-x)=84000,

解得入=45,

760-45=15(只。

答：购进A种型号智能手表45只，则购进B种型号智能手表15只；

(2)解：设购进A种型号智能手表m只，则购进B种型号智能手表(60-⑼只，

•・•该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，

，1200w+2000(60-w)<88000,

解得/n>40,

A型号的智能手表不得超过44只.

;»<44>

，403彩44,

利润=(1800-1200)^+(2500-2000)(60-w),

=100w+30000,

根据式子可知，当〃?取值越大，利润越大，

，当〃尸44时，利润最大为100x44+30000=34400(元),

60-44=16(只)

答：该商店应进A型号的智能手表44只，B种型号智能手表16只，才能使得获利最大，最大利润

是34400元.

19.【正确答案】⑴解：15x1.5+3x(20-15)=37.5(元).

答：这个月应缴水费37.5元.

(2)解:这个月应缴水费为15X1.5+3(〃L15)=(3〃L22.5)元；

(3)解：V15xl.5=22.5<52.5,

m>15

3m-22.5=52.5

解得/〃=25

答：这个月用水25立方米.

14/18

【分析】

(1)由题意知，小明家6月份超出标准5方水，则其中15方水的单价为1.5元，超出的5方水单

体为3元，再把两部分水费相加即可；

(2)同(1),用标准用水费用加上超出部分水费即可；

(3)利用(2)中的代数式列出关于m的一元一次方程并求解即可.

(1)15x1.5+3x(20-15)=37.5(元).

答：这个月应缴水费37.5元.

(2)这个月应缴水费为15'1.5+3(〃?-15)=(3〃?-22.5)元；

(3)V15xl.5=22.5<52.5,

.,./??>15

・•・3相-22.5=52.5

解得加=25

答：这个月用水25立方米.

20.【正确答案】(1)4；12

(2)ft?：BC・AB为定值,理由如下:

设运动时间为t,则点A表示的数为-t-10,点B表示的数为2t-6,点C表示的数为5t+6,

ABC=5t+6-(2t-6)=3t+12,AB=2t-6-(-t-10)=3t+4,

ABC-AB=3t+12-(3t+4)=8

(3)解:经过m秒后,P、Q两点所对应的数分别是・10+m,-10+3(m-4)

由-10+3(m-4)-(-l()+m)=0

解得：m=6；

①当0<m<4时，点Q还在点A处

A-10+m-(-10)=2

解得：m=2

②当4Vm56时，点P在点Q的右边

(-10+m)-[-10+3(m-4)]=2

解得：吁5

15/18

③当6Vms16时，点Q在点P的右边

[-10+3(m-4)]-(-l0+m)=2

解得：m=7

综上，当P,Q两点间的距离是2时，m=2或m=5或m=7

解：(1)•・•(a+10)2+|c-6|=0

.*.a+10=0>c-6=0

解得：a=-l(),c=6

Vb+c=O

:.b=-c=-6

.\AB=-6-(-10)=4,BC=6-(-6)=12

故4；12

【分析】(1)根据偶次方，绝对值的非负性可得a,c值，再求出b值，再根据数轴上两点间距离即

可求出答案.

(2)设运动时间为3则点A表示的数为点B表示的数为2t-6,点C表示的数为5t+6,根据

两点间距离可得BC,AB,再作差，合并同类项化简即可求出答案.

(3)经过m秒后，P、Q两点所对应的数分别是-10+m,-10+3(m-4),根据题意建立方程，解方程可

得m=6,分情况讨论：①当0<m"时，点Q还在点A处，②当4<mg6时，点P在点Q的右边，③

当6<mW6时，点Q在点P的右边，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

21.【正确答案】(1)解：B点的运动速度为：

08+铝=4+豹个单位/秒

(2)解：设E秒后点A会追二B,

/秒后点A对应的数为2L8,点B对应的数为什4,

由题意得2/-8=什4,

解得(=12,

答：12秒后点A会追上B

(3)解：设运动时间为，秒，点A对应的数为2L8,点B对应的数为什4,

16/18

①当点o是中点时,

由题意得0-（2/-8尸（，+4）-0,

解得尸4；

②当点A是中点时，

由题意得（2L