2026高三数学讲义-解三角形在实际问题中的应用

4.8解三角形在实际问题日的应用

考试要求

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

陞备知识回顾自主学习•基础回扣

教材回扣

测展中的几个有关术语

术语

术语意义图形表示

名称

在目标视线与水平视线（两者在1目标

/视线

同一错垂平面内）所成的角中，铅

U仰角水平

仰角与垂

目标视线在水平视线上方的叫做线一视线

俯角KWS

仰角，目标视线在水平视线下方、目标

的叫做俯角视线

从某点的指北方向线起按顺时针北

方向到目标方向线之间的夹角叫、135。东

方位角

做方位角，方位角。的范围是

0。<〃<360。

例：

正北或正南方向线与目标方向线北,东

方向角所成的锐角，通常表达为北（南）

偏东（西）aya]

北偏.东a南偏西a

坡面与水平面所成的锐二面角叫

做坡角（。为坡角）；坡面的垂直

坡角与

高度与水平长度之比叫做坡比

坡比X

（坡度），即i=，=lan。/

基础检测

1.判断（正确的画“，错误的画“X”）

（1）西南方向与南偏西45。方向相同.（J）

（2）仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为[。，1）.（X）

（3）方位角是从正北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.（V）

（4）若从A处望。处的仰角为a,从B处望A处的俯角为。，则a,0的关系为a+片

180°.（X）

2.（人教A版必修第二册P51T3改编）如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的

距离相等，灯塔A在观察站南偏西40。方向上，灯塔3在观察站南偏东60。方向上，则灯塔A

在灯塔8的（D）

A.北偏东10。方向上B.北偏西10。方向上

C.南偏东80。方向上D.南偏西8（T方向上

解析：由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以NB4C=NABC=40。，义NBCD

=60°,所以NC8O=30°,所以NO8A=10。，因此灯塔A在灯塔4的南偏西800方向上.故

选D.

3.（人教A版必修第二册P49例10改编）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔是乌鲁木齐

的地标性建筑.如图，某同学为测量观光塔的盲度OP，在观光塔的正西方向找到一座高为

40米的建筑物MM在地面上点Q处（O,Q,N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物

MN的顶部M的仰角为会测得观光塔的顶部P的仰角为:，在建筑物MN的顶部M史测得

观光塔的顶部P的仰角烤,

A.44米

C.8M米D.40小米

解析：由题意可得PQ=pOP,MQ=2MN=80（米），则/历夕。=不一：一

兀一；*）4.在△PMQ中，由正弦定理可得*=程：即毕="誓，解得OP=80米.故

sin6sin422

选B.

4.（人教A版必修第二册P49例9改编）如图，在高速公路建设中，要确定隧道的

长度，工程人员测得隧道两端的4,B两点到点。的距离分别为4c=3km,BC=4km,且

NACB=60。，则隧道4B的长度为（C）

B

A.3kmB.4km

C.y[\3kmD.y[\7km

解析：由余弦定理可得AB=ylAC2-^-BC2-2ACBCcosC=yj9+16-2X3X4x1=VT3

(km).故选C.

母键能力提升互动悚究•考点精讲

考点I测量距离问题

【例1】（2024.山东临沂一模）在同一平面上有相距14千米的A,B两座炮台，4在

8的正东方.某次演习时，A向北偏西方一夕方向发射炮弹，3向北偏东，一夕方向发射炮弹，

其中。为锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标，接着A改向向北偏西方一3方

向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M,则8炮台与弹着点M的距离为（D）

A.7千米B.8千米

C.9千米D.10千米

【解析】如图，依题意设炮弹第一次命中点为C,则AB=14千米，AC=BC=AM=

18千米，NCBA=NCAB=6,在△A8C中：BC2=AC2-bAB2-2ACABcos仇

707

即18?=14?+182—2XI4X18cos。，解得cos0=y^,所以cos0=2cos天■—I=/，又"为锐角，

1oZ1o

/JC/）

解得8运=%（负值已舍士），在△A8M中，BM2=AM2+AB2-2AMABCOS-=182+142-

2X18X14Xt=100,所以8M=1（）千米，即8炮台与弹着点M的距离为10千米.故选D.

」规律总结

距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定

理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形

问题去求解.

注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.

【对点训练1】（2024.吉林长春二模）如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏

东60。方向的C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏

东15。且与甲船相距gnmile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前

往营救遇险渔船时需要航行的距离为（B）

A.y[2nmileB.2nmile

C.2&nmileD.3啦nmile

解析：由题意知48=也nmile,NBAC=45。，NBC4=30。.由正弦定理得、.叱,，,=

sinZ.nC/i

DAI)Ic

~—=,所以BC=~―/n"SinZB>4C=；\nosin45°=2nmile.故乙船前往营救遇险渔

smZ-t5A(^sinoc/isinJU

船时需要航行的距离为2nmile.故选B.

考点2测量高度问题

[例2]（2024♦宁夏银川三模）如图，某同学为测量塔的高度AB,选取了与塔底B

在同一水平面内的两个测量基点C与。,现测得N8CO=15。，NBDC=135。,8=20m,

在点。测得塔顶A的仰角为60°,则塔高m.

【解析】因为CD=20m,N8DC=135。，

CD

NBC。=15°,所以NC8O=180°—135°—15°=30。，由正弦定理得./「_八=

sinZZ;/JC,即〒=正，解得BC=2O\/im,在RiAABC中，ZACT=60°,所以A8=BCtan

22

60°

=20V6(m),故塔高4B=20^m.

"规律总结

高度问题的易错点

（1）图形中为空间关系，极易当作平面问题处理，从而致错.

（2）对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错.

【对点训练2]（2。24.广东湛江二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发

区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是己建成的粤西第一高楼.如图，为测量

财富汇大度的高度，小张选取了大厦的一个最高点A,点A在大度底部的射影为点0,两个

测量基点以C与。在同一水平面上，他测得BC=102市米，N80C=120。，在点B史测得

点A的仰角为。(tan9=2),在点C处测得点4的仰角为45。，则财富汇大厦的高度04=型

米.

BC

解析：设。4=/?米，因为在点8处测得点A的仰角为氏所以除=2,所以04=然因

为在点。处测得点A的仰角为45。，所以0。=。米.由余弦定理，可得8C2=O"+OC2一

2O8OCcosN80C,1022X7=1/r-F//2+1/z2=^/r,解得力=204.

考点3测量角度问题

【例3】如图，某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚人处

测得N%C=15。，沿土坡向坡顶前进25m后到达。处，测得NPDC=45。.已知旗杆CP=10

m,PBLAB,土坡对于地平面的坡角为aMcos0=(D)

A.V2-i

5G5

-r4

【解析】在AA。尸中，由正弦定理可得”=叱:零§=25•(m),在中，

*Z1

易知AB=25y[2cos(0+15°)m,PB=25sin(0+15°)in,则tan0==

\7

25啦sin(。+15°)—105、历5s乖一小5s—5

整理可得cos〃=~^-sin15。=于乂---=---.故选D.

25gcos(0+15°)

,规律总结L

角度问题的解题方法

在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、

最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意

体会正、余弦定理“联袂"使用的优点.

【对点训练31公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚在同一水平面上.某人在

点八处测得楼顶的仰角为45。，他在公路上自西向东行走，行走60米到点8处，测得楼顶的

仰角为45。，沿该方向再行走60米到点。处，测得楼顶的仰角为，则sin。=（A）

A.1B.3

C.-2D.一；

解析：如图所示，由题意有OE=48=8C=6（）米，

NOAE=NOBE=45。，则有AE=BE=AB=60米，故NE48=60。，则EC=

[6（）2+12。2-2X60X120Xcos60。=6（电（米），故OC=正声而再=120（米），则sin

DE1

0=sin/OCE=J^=5.故选A.

[高考创新方向多想少算

♦

【例】（多选）（2024.甘肃兰州模拟）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学

生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，

可计算出旗杆高度的方案有（BCD）

A.在水平地面上任意寻找两点A,8,分别测量旗杆顶端的仰角a,快再测量A,8两

点间距离

B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为人在该建筑物底部和

顶部分别测得旗杆顶端的仰角。和万

C.在地面上任意寻找一点4,测得旗杆顶端的仰角a,再测量A到旗杆底部的距离

D.在旗杆的正前方八处测得旗杆顶端的仰角a,正对旗杆前行5m到达8处（旗杆底

部，A,4在一条直线上），再次测量旗杆顶端的仰角/?

【解析】当人，8丙点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故

A不正确；如图1,在△A8。中，由正弦定理求A。，则旗杆的高CO=/z+AOsin从故B正

确；如图2,在RtZ\A。。中，直接求出旗杆的高。。=4Ctana,故C正确；如图3,在Z\A8£>

中，由正弦定理求4。，则旗杆的高C7）=AOsina,故D正确.故选BCD.

图1

本题的设计背景来源于人教A版必修第二册P49例10.设计方案测量物体高度，需要注

意不同方案的限定条件，在学习过程中要重视教材，复习阶段要从教材例题出发，落实“引

导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养”的要求.

课时作业32

，亚基础巩固.

1.（5分）已知两座灯塔A和8与海洋观察站C的距离都等于20km,灯塔A在观察站

C的北偏东20。，灯塔B在观察站C的南偏东40。，则灯塔A与灯塔8的距高为（C）

A.20kmB.20Vkm

C.2MkmD.15小km

解析：如图，依题意可知，/4。3=180。-20。-40。=120。，在月C中，由余弦定理

2.（5分）占代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学

提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量•个球体建筑物的高度，如图，已知点力是球

体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B,C两点与点A在同一•条直线上，且在点A

的同侧.若在B,C处分另J测得球体建筑物的最大仰角为60。和20。，且8c=100m,则该球

体建筑物的高度约为（cos10。、0.985）（B）

A.49.25mB.50.76m

C.56.74mD.58.60m

RR

解析：如图，设球心为。，球的半径为Rm,则43=而而产=，5R(m),百丁币m,

•・・BC=S>fR=100m,

.______100__________IQOsin10。_________lOOsin10。50sin10。50sin10。

••।A=COS100-#sin100=2sin(30°-10°)=sin20°=2sin10°cos10°-

tan10°"J

252550

coTur^0985,**,2/?^0985^50,76J即该球体建筑物的高度约为50.76m,故选B.

3.（5分）如图，A,B两点为山脚下两处水平地面上的观测点，在A,B两处观测点观

察山顶点P的仰角分别为。，惘若tana=|,夕=45。，且观测点A,8之间的距离比山的高

度多100米，则山的高度为（A）

AB

A.100米B.110米

C.120米D.130米

pr

解析：设山的高度为工米，如图，由4=45,有8C=x米.在RtZkAPC中，47=不idn（X

=3PC=3x（米），有A8=4C—BC=3x—x=2x（米），又由观测点A,8之间的距离比山的

高度多100米，有A3—PC=2Y—X=X=100（米）.故山的高度为100米.故选A.

4.（5分）如图所示，一船向正北方向航行，当航行到点8时，看见正西方向有两个相

距10海里的灯塔。和。恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达点4后，看见灯塔C

在船的南偏西60。方向上，灯塔。在船的南偏西75。方向上，则这艘船的速度是（A）

A.5海里/时B.5小海里/时

C.10海里/时D.1即海里/N

解析；依题意有NA4C=60。，/BAD75。,

：.ZCAD=ZCDA=\50,从而CO=CA=10海里，在RtZ\A4C中，求得43=5海里，

；・这艘船的速度是;=5（海里/时）.故选A.

5.（5分）矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好

寓意,也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方.如图，某中学研究性学习

小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点4,&C处测得铜雕顶端P

处仰角分别城，去胃，且AB=BC=20m,则四门通天铜雕的高度为（B）

A.15mmB.\O\jbm

C.(y\[bmD.5#ni

解析：如图，设P的投影为O,PO=xm,在RtAPOC中，NPCO=g,所以m,

在RlaPOB中，NPBOJ所以B0=xm,在RiZ\%。中，/%0=*,所以40=小

^+400—y

xm,在△BOC和△BOA中，由余弦定理得cosNOBC+cosZOBA=---4n+

炉+400-_

----而----=0,解得x=l（N4或1=一1（人向（舍去），即四门通天铜雕的高度为1（N&m.故

选B.

6.（5分）为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的匚何模

3

-

型.若M4JL平面ABC,NE_L平面ABC,AC=60m,BC=7即m,4cosNNCB

=行，/MCN=I5O。，则塔尖A/N之间的距离为（B）

A.75ylmmB.75币m

C.150mD.75^2m

4

3-

解析：依题意，在Rt^MAC中，AC=60m,tanNMCA=w，5

------7777T7=T=75（m）.在RtZXAOV中，BC=7（小m,cosZNCB=~^,则CN=777^

cosZMCA415JcosZ.NCB

5

=誓=73）.

15

在△MNC中，NMCN=15。。,则MN=yjCM?+CN「2cM.cNcos/MCN=

yj752+（75小产一2X75X75小cos150。=755（m）.故塔尖MN之间的距离为75小m,故选

B.

7.（6分）（多选）某货轮在A处看灯塔4在货轮北偏东75。，距离为12#nmile：在4

处看灯塔C在货轮的北偏西30。，距离为8小nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看

灯塔8在南偏东60。方向，则下列说法正确的是（ABC）

A.A处与。处之间的距离是24nmile

B.灯塔C与。处之间的距离是8小nmile

C.灯塔C在。处的南偏西30。

D.。在灯塔5的北偏西30。

解析：如图，在△A8D中，由已知得NAO8=60。，ZDAB=75°,则8=45。，AB=T2*

AR-D12乖X号

nmile.由正弦定理得人O=T~/口=----7=-----=24（nmile）,/.A处与D处之间的距离为

sinZ.ADD.3

2

24nmile,故A正确；在△AOC中，由余弦定理，得C>=AZ）2+AC2-24Z>ACcos30°,又

AC=8小nmile,解得CD=85nmile,工灯塔。与。处之间的距离为85nmile,故B

正确；,：AC=CD=Sy[3nmile,AZCDA=ZC4D=30°,J灯塔C在。处的南偏西30。，

故C正确；•・•灯塔8在。的南偏东60°,；・。在灯塔8的北偏西60。，故D错误.故选ABC.

8.（6分）（多选）重庆八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、

八•好吃街等.重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，

是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图，现某兴趣小组在八一广场上对

解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，B为解放碑的基

座（即B在A的正下方），在广场内（与8在同一水平面内）选取C,。两点，则根据下列

各组中的测量数据，能计算出解放碑高度的是（ABD）

A.CD,/ACB,/BCD,ZBDC

B.CD,ZACB,/BCD,ZADC

C.CD,ZACB,/BCD,ZACD

D.BC,BD,NACB+NAQ8=5

解析：由题意可知平面4cO,由此进行下列判断：在△4CO中，根据CO,NBCD,

NBDC,可利用正弦定理求得BC,再根据lanN4C8求得48,故A正确；过8作8E_LC。

于E,连接AE（图略），由cosNAC8=豢，cosNBCZ）=短，cosNACE=是知，cosNACE

=cosZACBcos^BCD,故可知NACO的大小，由NACO,ZADCyC。可解△AC。，可求

AC,又sinNACB,可求得A8,故B正确；CD,ZACB,/BCD,NAC。四个条

TT

件，无法通过解三角形求得A3,故C错误；根据NAC4+NAQ6=5，可得△48C与AOBA

相似，根据相似比筮=鬻可解方程求得4B,故D正确.故选ABD.

9.（5分）（2024•湖南岳阳二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君

山，因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.如图，

小明为了测量岳阳楼的高度A-他首先在。处测得楼顶A的仰角为60。，然后沿方向行

走22.5米至。处，乂测得楼顶4的仰角为30。，则楼高AB为苧米.

解析：RtZiABC中，ZACB=60°,金=121】60。=小，RtZ\A3。中，ZADB

DJ

=30°,^^=tan30°=当，8。=巾48,因为67)=22.5米，所以BD—BC=y(3AB—y^^

4B=22.5米，解得人4=今叵米.

10.（5分）（2024.福建漳州模拟）如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口。

后转向西北方向。氏围绕道路。人，C用打造了一个半径为2km的扇形景区，现要修一条与

扇形景区相切的观光道MM则的最小值为（46+4）km.

H

\^N

OA

解析：如图，设切点为P,连接OP.由题意得NMON=135。，设OM=akm,ON=bkm,

在△OWN中，MV2=a2+*-2"cos135。=/+〃+皿心2（2+小）aby当且仅当〃=人时

72

取等号.设NOMN=a,则NONW=45。-a,所以〃=京不，4（言…），故"=

sm

川八；口=2加（2」：5。）一q2*（当且仅当a=22.5。时取等号），所以

16(2+^2)

=16(A/2+I)2,解得MN24(^24-1),所以MN的最小值为(4^2+4)

MM22-y/2

km.

11.（16分）如图，一艘轮船从点4处以30km/h的速度向正东方向航行，在A史测得

灯塔C在北偏东60。方向上，继续航行lh到达8处，这时测得灯塔。在北偏东45。方向上,

已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理

由.（参考数据：&F.414,5F.732）

解：安全.理由：过点C作CO_LAB,垂足为。，如图所示.

根据题意可知AB=30km,

ZDBC=90°-45°=45°,

:・BD=DC,VZB/lC=90o-60o=30o,

.1，"一包一蛆

••tanz_BAC—从。一3，

・・・AQ=小C0="+80=30+C0,

.\CD=^-j-=15(小+1)^40.98(km),

故CD>40km,即这殁轮船继续向正东方向航行安全.

12.（17分）如图,某海岸的。哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30。方向20nmile

处的点。出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征

信号进行标记并上报周围哨所.早上5点15分位于4哨所正西方向20nmile的B哨所发现

了该可疑船只位于B哨所北偏西30。方向60nmile处的点,并识别出其为走私船，立刻命

令位J-B哨所正西方向30nmile处点C的我方缉私船前往拦截，己知缉私船速度大小为30n

milc/h.（假设所有船只均保持匀速直线航行）

（1）求走私船的速度大小；

（2）缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间.

解：⑴如图,连接CE,BD.

F

一东

E

\；\>

C-BA

•・•点。位于4哨所北偏东30。方向20nmile处,

・•・ZfiAD=90°+30°=120°,AD=20nmile,

AB=20nmile,BD=yjAE)1-\-AB2-2ADABcos120°=2(h/3(nmile),

\'AB=AD,/.ZABD=ZADB=30°)

•・•点E位于B哨所北偏西30。方向60nmile处，ZDBE=90°-30°+30°=90°,

・•・DE=y/B》+BP=40同mile),

10^3(nmile/h),

..・走私船的速度大小为10>/3nmile/h.

(2)如图，设在点尸处截获走私船，板获走私船所需时间为/h,

VfiE=60nmile,BC=30nmile,NCBE=6D0,：.CE=y)BE2+BC2-2BEBCcos60°

=3()V3(nmile),

VBE2=BC2+CE2,・・・NBCE=90°,ZBEC=30°,AZC£F=120°,

•••走私船速度为nmile/h,缉私船速度为30nmile/h,

EF=10\/3/nmile,CF=30tnmile,

在△CEF中，根据余弦定理，得。产=。序+E产一2CEEFcos1200,即900尸=2700+

300户—2X3()V§XIoccos120°,

化简得—・1=一;(舍去)或1=3,此时。£=£尸=3即nmile,：,ZECF

=30°,・••缉私船沿北偏西300方向行驶，3h后，即早上8点15分可截获走私船.

国素养提升「、

13.(5分)(2024.云南昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假

设一种理想状态：地球E和某小行星“绕太阳S在同一平面上的运行轨道均为圆，三个星体

的位置如图所示.地球在同位置时，测出NSEoM=券；行星M绕太阳运行一周回到原来位

置，地球运行到了B位置，测出/5自知=尊/&SEb=?若地球的轨道半径为R,贝］下列

选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：小P1.7)(A)

E,14

A.2.1/?B.2.2R

C.2.3/?D.2.4R

解析：如图，连接瓦日，在△$&）£］中,SEo=SE1=R,又NEiSEo=1则

△S£b£i是正三角形