2023年福建省中考数学试卷（附答案）

2023年福建省中考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。

1.（4分）（2023•福建）下列实数中，最大的数是（）

A.-1B.0C.1D.2

2.（4分）（2023•福建）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）

主视方向

3.（4分）（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3,4,/〃，则机的值可以是（）

A.IB.5C.7D.9

4.（4分）（2023•福建）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会

保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千

万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示

为（）

A.I04X107B.10.4X108

C.I.04X109D.0.104X1010

5.（4分）（2023♦福建）下列计算正确的是（）

A.（j）3=aB.a6-ra2=a3C.a3*a4=a]2D.a2-a=a

6.（4分）（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89

亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均

增长率为％，根据题意可列方程（）

A.43903.89（1+x）=53109.85

B.43903.89（1+x）2=53109.85

C.43903.89/=53109.85

D.43903.89（1+.?）=53109.85

7.（4分）（2023•福建）阅读以下作图步骤：

①在。4和。8上分别截取。C,OD,使OC=OO；

1

②分别以C,。为圆心，以大于5。。的长为半径作弧，两弧在NAO8内交于点M；

③作射线。M,连接CW,DM,如图所示.

根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A.N1=N2且B.N1=N3且

C.NI=N2且OO=DMD.N2=N3且OO=QM

8.（4分）（2023•福建）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时

体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天

校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小

亮该周每天校外锻炼时间的描述，.正确的是（）

“时间/毋+

50---------------------------------------------------------

-rHHE夫H__S<

A.平均数为70分钟B.众数为67分钟

C.中位数为67分钟D.方差为0

9.（4分）（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和）=会的图

象的四个分支上，则实数〃的值为（)

A.-3B.—nC.-D.3

33

10.（4分）（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割

圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割

之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，

他用这种思想得到了阿周率n的近似值为3.1416.如图，。。的半径为1,运用“割圆

术”，以圆内接正六边形面积近似估计。0的面积，可得IT的估计值为手，若用圆内接

正十二边形作近似估计，可得7T的估计值为（）

A.V3B.2V2C.3D.273

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.（4分）（2023•福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10,那么出货5件

应记作.

12.（4分）如图，在口A8CD中，。为8。的中点，E尸过点。且分别交A4,CD于点、E,F.若

AE=10,则CP的长为.

13.（4分）（2023・福建）如图,在菱形八月。）中,人8=10,/4=60°,则八。的长为

B

14.（4分）（2023•福建）某公司欲招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知

识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示:

项目综合知识工作经验语言表达

应聘者

甲758080

乙858070

丙707870

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总

成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是.

12ab—a

15.（4分）（2023•福建）已知一+I=1,且。#-力，则一一j的值为_______.

aba+b

16.（4分）（2023•福建）已知抛物线）201+力（〃>（））经过4（2〃+3,户），B（/?-1,

户）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且）"<”，则〃的取值范围

是.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（8分）（2023•福建）计算：V9-2°+|-1|.

（2x+1<3®

18.（8分）（2023•福建）解不等式组：工z

19.（8分）（2023•福建）如图，OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求证：AB=CD.

20.（8分）（2023•福建）先化简，再求值：（1一千）一女乙，其中工=企一1.

21.（8分）（2023•福建）如图，已知△A8C内接于。O,CO的延长线交48于点。，交

于点E,交的切线A尸于点尸，且A/〃BC.

（1）求证：AO//BE；

（2）求证：A。平分N84C.

O

B

22.（10分）（2023•福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五

一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一

次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3

个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则

不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球

或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出I个球，记下颜

色后不放回，再从中随机摸出I个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美

礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.

（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；

（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种

颜色的球？说明你的理由.

23.（10分）（2023•福建）阅读下列材料，回答问颍.

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度4B远大于南

北走向的最大宽度，如图1.

工具：一把皮尺（测量长度略小于A8）和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量

任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测最长度）；测角仪的功能是

测量角的大小，即在任一点。处，对其视线可及的P,。两点，可测得NPOQ的大小，

如图3.

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度48.其测量及求解过程如下：

测量过程：

（i）在小水池外选点C,如图4,测得AC=am,BC=bm；

（ii）分别在AC,BC上测得CM=等〃，CN=］：测得MN=cm.

求解过程：

由测量知，AC=a,BC=b,CM=CN=3

MN1

:.XCMNsXCAB,/.---=

AB3

又，：MN=c,工4^=②(w).

故小水池的最大宽度为***〃?.

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；

(2)小明求得人笈用到的几何知识是；

(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得人艮请你同时利用皮尺和测角仪，通过测

量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度48,写出你的

测量及求解过程.

要求：测量得到的长度用字母小b,c…表示，角度用a,仇丫…表示；测量次数不超过

4次(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少，才能得满分).

24.(12分)(2023•福建)已知抛物线y=aP+加+3交3轴于A(1,0),B(3,0)两点，

M为抛物线的顶点，C,。为抛物线上不与A,8重合的相异两点，记A3中点为E,直

线A。，3C的交点为P.

(I)求抛物线的函数表达式；

(2)若C(4,3),D(w,一》且〃?V2,求证：C,D,E三点共线；

(3)小明研究发现：无论C,。在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,

△MEP,^ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及

其面积，不必说明理由.

25.(14分)(2023•福建)如图1,在△A8C中，ZBAC=90°,AB=AC,。是A8边上不

与A,6重合的一个定点.A0_L3C于点O,交CD干点、E.。尸是由线段0c绕点。顺

时针旋转90°得到的，FD,C4的延长线相交于点M.

MiMi

A

E

Br

图1图2

(1)求证：△ADES^FMC；

(2)求NAB/的度数;

(3)若N是A产的中点，如图2,求证：ND=NO.

2023年福建省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。

1.（4分）（2023•福建）下列实数中，最大的数是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】。

【解答】解：2>1>0>-1,

故选：D.

2.（4分）（2023•福建）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）

主视方向

A.B.C.I____ID.__、/

【答案】。

【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个矩形，矩形内部中间是一个圆形.

故选：

3.（4分）（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3,4,加，则机的值可以是（）

A.IB.5C.7D.9

【答案】B

【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4-3V〃?V4+3,

解得：1V〃?V7,

即符合的只有5,

故选：B.

4.（4分）（2023•福建）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会

保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千

万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示

为（）

A.104XK）7B.I0.4X1（）8

C.1.04X109D.0.104XIO10

【答案】C

【解答】解：1040000000=1.04X109.

故选：C.

5.（4分）（2023•福建）下列计算正确的是（）

A.（/）3=心B.C.a3*a4=a12D.a2-a=a

【答案】4

【解答】解：A.（，尸）3

=产

=乱

则人符合题意；

B.a6jra2

=£2

=屋，

则3不符合题意；

C.

=/+4

=/,

则C不符合题意；

D.『与〃不是同类项，无法合并，

则D不符合题意：

故选：A.

6.（4分）（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89

亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均

增长率为m根据题意可列方程（）

A.43903.89(1+x)=53109.85

B.43903.89(l+x)2=53109.85

C.43903.89^=53109.85

D.43903.89(1+f)=53109.85

【答案】B

【解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，

根据题意得，43903.89（1+x）2=53109.85,

故选:B.

7.（4分）（2023•福建）阅读以下作图步骤：

①在OA和OB上分别截取。C,OD,使。C=OO：

②分别以C，。为圆心，以大于1c。的长为半径作弧，两弧在NAOB内交于点M；

③作射线OM，连接CM,DM,如图所示.

根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A.Nl=/2且B./1=/3且。知=。加

C.N1=N2且。O=DMD.N2=N3且。O=QM

【答案】4

【解答】解：人、以C，。为圆心画弧的半径相等，因此又OC=OO,OM=

OM,因此（5SS）得到N1=N2,故A符合题意；

B、因为。。、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此N1不一定等于/3,

故8不符合题意：

C、因为O。、QM的长在变化，所以0。和0M不一定相等，故C不符合题意；

D、CM的位置在变化，所以CM和。6不一定平行，因此N2不一定等于N3,故。不

符合题意.

故选：A.

8.（4分）（2023•福建）为贯彻落实教育部办公厅关于“保隙学生每天校内、校外各1小时

体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天

校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小

亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（）

C.中位数为67分钟D.方差为0

【答案】B

【解答】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为:65、67、70、67、75、79、88,

65+67+70+67+75+79+88

A.平均数是-------------------------=73（分钟），故选项错误，不符合题意；

B.这组数的众数是67（分钟），故选项正确，符合题意；

C.将这组数由小到大排列为：65、67、67、7（）、75、79、88,中位数是70（分钟），故

选项错误，不符合题意;

D.这组方差为：52=1X[(65-73)2+(67-73)2+(70-73)2+(67-73)2+(75-

73)2+(79-73)2+(88-73)2]^58.57,故选项错误，不符合题意；

故选：B.

9.（4分）（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数尸|和尸如勺图

象的四个分支上，则实数"的值为（)

C.~D.3

3

【答案】A

【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O,过点A,B

分别作无轴的垂线.垂足分别为。、。，点。在函数尸自上，如图:

•・•四边形是正方形，

・・.40=8。，ZAOB=/BDO=ZACO=90°,

/.ZCAO=90a-ZAOC=NBOD,

:.△AOC@4BOD(4AS),

.__3_|n|

••Sc^AOC—Sc^OBD—2=

•・•点A在第二象限,

/.n=-3,

故选：A.

10.（4分）（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割

圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割

之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，

他用这种思想得到了圆周率IT的近似值为3.1416.如图，。。的半径为1,运用“割圆

术”，以圆内接正六边形面积近似估计。。的面积，可得7T的估计值为手，若用圆内接

正十二边形作近似估计，可得冗的估计值为（）

O

A.V3B.2V2C.3D.273

【答案】C

【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点。是正十二边形的中心,

过人作人于M,

在正十二边形中，乙40/?=360°4-12=30°,

11

：,AM=^OA=I，

:・S拄OB=^OB*AM=x1x11

2=4'

・•・正十二边形的面积为I2xi=3,

A3=l2Xn,

・・・7T的近似值为3,

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.（4分）（2023•福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+1（）,那么出货5件

应记作-5.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•・•进货10件记作+10，

，出货5件应记作・5,

故答案为：-5.

12.（4分）如图，在。A8CD中，O为8D的中点，E尸过点。且分别交A8,CD于点、E,F.若

AE=10,则CT的长为10.

【解答】解：•・•四边形/1BC7)是平行四边形,

；・CD=AB,CD//AB,

・•・ZFDO=NEBO,4DFO=/BEO,

•••。为8。的中点，

:.OD=OB,

:.△DOFW4BOE(AAS),

:・DF=BE,

：.CD-DF=AB-BE,

：,CF=AE=\O.

故答案为：10.

13.（4分）（2023•福建）如图，在菱形ABC。中，48=10,N8=60°,则AC的长为1。

【解答】解：:四边形A8CO是菱形,

：,A8=BC,

VZ^=60°,

•••△A8C是等边三角形,

：.AC=AB=10.

故答案为：10.

14.（4分）（2023•福建）某公司欲招聘一名职员.对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知

识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示:

项目综合知识工作经验语言表达

应聘者

甲758080

乙858070

丙707870

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总

成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是乙

【答案】见试题解答内容

【解答】解:由题意可得,

75x5+80x2+80x3

甲的成绩为:=77.5,

5+2+3

85x5+80x2+70x3

乙的成绩为=79.5,

5+2+3

70x5+78x2+70x3

丙的成绩为:=71.6,

5+2+3

V79.5>77.5>71.6,

，乙将被录取，

故答案为：乙.

12ab—a.

15.(4分)(2()23•福建)已知一+：=1,且aW-力，则一厂的值为1.

aba+b

【答案】见试题解答内容

12

【解答】解：•・•一+：=1，

ab

b2a2a+b

---+=-------=19

ababab

ab=2a+b,

ab-a2a+b-aQ+

；•-------=------------=------。=]

•a+ba+ba+b

故答案为：1.

16.(4分)(2023•福建)已知抛物线y=ad-2心+/?(a>0)经过八(2〃+3,yi),B(〃-1,

")两点，若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧，且yiV”，则〃的取值范围是-1

</?<0.

【答案】-!<«<().

【解答】解:抛物线的对称轴为：户-/=1,

V«>0,

・•・抛物线开口向上，

・小V”，

・•・若点A在对称轴x=1的左侧，点B在对称轴x=\的右侧，

2n+3<1

n-1>1，

(1-(2n+3)<n-1-1

不等式组无解；

若点B在对称轴x=1的左侧，点A在对称轴*=I的右侧，

2n+3>l

n-1<1,

(l-(n-l)>2n+3-l

解得：-1<71<0,

・•・〃的取值范围为：-iv〃vo.

故答案为：・IV/7Vo.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（8分）（2023•福建）计算:V9-2°+|-1|.

【答案】3.

【解答】解：原式=3-1+1

=2+1

=3.

（2%+1<3①

18.（8分）（2023•福建）解不等式组：xl-3x人

弦+甘工1②

【答案】-3«1.

【解答】解：解不等式①，得％VI.

解不等式②，得“2-3.

所以原不等式组的解集为-3WxV1.

19.(8分)(2023•福建)如图，OA=OC,OB=OD,NAOD=NCOB.求证：AB=CD.

【答案】见解析.

【解答】证明：・・・NAOO=NCOB,

:.ZAOD-NBOD=NCOB-/BOD,

即NA08=NC0Q.

在△A08和△COO中，

0A=0C

Z.AOB=乙COD,

OB=OD

•••△AOBdC。。(SAS),

：.AB=CD.

会’其中片‘T.

20.（8分）（2023•福建）先化简，再求值：（1-—）

X

【答案】-?.

x-(x+l).X(x-l)

【解答】解：原式=

X(X+l)(X-l)

=----1•---X---

%X+1

1

=~x+T'

当x=V2-1时,

1

原式=

/2-1+1

42

=一，

21.（8分）（2023•福建）如图，已知△A4C内接于。。，CO的延长线交A3于点。，交。O

于点E，交OO的切线人尸于点R且人产〃8c.

（1）求证：AO//BE；

（2）求证：4。平分/B4C.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【解答】证明:（1）•・•A尸是的切线,

J.AFVOA,

即NOA尸=90°,

•••。£是。。的直径,

AZCBE=90°,

：.4OAF=4CBE,

'：AF〃BC,

/.ZBAF=ZABC,

：・/OAF・/BAF=/CBE・AABC,

即NOA8=NA8E,

：.AO//BE\

(2)VZABE与NACE都是瓦4所对的圆周角,

・•・NABE=ZACE,

•：OA=OC,

JZACE=ZOAC,

/.ZABE=ZOAC,

由（1）知，/OAB=<ABE,

：.ZOAB=ZOAC,

平分NB4c.

22.（10分）（2023•福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五

一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一

次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3

个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则

不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球

或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜

色后不放回，再从中随机摸出I个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美

礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.

（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；

（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种

颜色的球？说明你的理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（I）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可

能的结果，

记“首次摸得红球”为事件A,则事件A发生的结果只有1种，

1

・•.PS）/

・•・顾客首次摸球中奖的概率为；；

（2）他应往袋中加入黄球；理由如下：

记往袋中加入的球为“新北摸得的两球所有可能的结果列表如下：

红黄①黄②黄③新

红红，黄①红，黄②红，黄③红，新

黄①黄①，红黄①，黄②黄①，黄③黄①，新

黄②黄②，红黄②，黄①黄②，黄③黄②，新

黄③黄③，红黄③，黄①黄③，黄②黄③，新

新新,红新，黄①新，黄②新，黄③

共有20种等可能结果，

（/）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品

的概率匕=券/

（//）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼

品的概率P2=l§=|：

23

V-<-,

55

：.P\<P1,

・••他应往袋中加入黄球.

23.（10分）（2023•福建）阅读下列材料,回答问题.

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南

北走向的最大宽度，如图1.

工具：一把皮尺（测量长度略小于A8）和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量

任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是

测量角的大小，即在任一点。处，对其视线可及的P,Q两点，可测得NPOQ的大小，

如图3.

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度48.其测量及求解过程如下：

测量过程：

（i）在小水池外选点C,如图4,测得AC=〃〃?，BC=bm；

（ii）分别在AC,BC上测得CM=弱，CN=/；测得MN=cm.

JJ

求解过程：

由测量知，AC=a,BC=b,CM=$CN=&

MN1

•••△CMNs/XCAB,J—=

AB3

又•：MN=c,."“②3c（w）.

故小水池的最大宽度为***〃?.

（1）补全小明求解过程中①®所缺的内容;

（2）小明求得/W用到的儿何知识是相似明角形的判定和性质；

（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得请你同时利用皮尺和测角仪，通过测

量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的

测量及求解过程.

要求：测量得到的长度用字母a，b,c…表示，角度用a,B，丫…表示：测量次数不超过

4次（测量的几何量能求出A从且测量的次数最少，才能得满分）.

【答案】（1）ZC=ZC；②3c；

（2）相似三角形的判定与性质；

（3）见解析部分.

【解答】解：⑴①由测量知，AC=a,BC=b,CM*,CN=&

CMCN1

••--,

CACB3

XVZC=ZC,

•••△CMNs/XCAB,

MN1

••-•

AB3

又,：MN=c,

，AB=3c(/〃).

故答案为：ZC=ZC：②3c；

（2）求得43用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质.

故答案为：相似三角形的判定与性质；

（3）测量过程：（i）在小水池外选点C,如图，用测角仪在点B处测得N4BC=a,在

点4处测得NB4C=B；

（“）川皮尺测得BC=am.

图1

求解过程：由测量知，在△ABC中，NABC=a,ZBAC=p,BC=a.

过点C作CD_LA8,垂足为。.

在RtACBD中，cos乙CBD=器，

即cosa=半，所以BD=acosa.

同理，CO=asina.

rn

在RtAACD中，tanZ-CAD=器

EIcasinaasina

即t*anp=r-所以AD=

tanp'

所以AR=RD4-AD=nearer+(m)-

故小水池的最大宽度为（acosa+：；；；：片）m.

24.（12分）（2023•福建）已知抛物线y=ad+/?x+3交大轴于4（1,0）,B（3,0）两点,

M为抛物线的顶点，C,。为抛物线上不与A,8重合的相异两点，记A3中点为E,直

线人。，BC的交点为P.

（1）求抛物线的函数发达式；

(2)若C(4,3),D(nn一》且〃?V2,求证：C,D,E三点共线；

(3)小明研究发现：无论C,。在抛物线上如何运动，只要C,。,E三点共线，△AMP,

△MEP,丛ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及

其面积，不必说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：因为抛物线y=a.x2+bx+3经过点A(1,0),B(3,0),

所以铲「，

(9a+3b+3=0

解即二，

所以抛物线的函数表达式为)，=』-4x+3；

(2)讦明：设直线CE对应的函数表达式为)，=履+"(A#0),

因为E为AB中点，所以E(2,0).

所以直线CE对应的函数表达式为y=1x-3.

因为点D(m,—*)在抛物线上，所以7九2—4m+3=—,.

解得，m1或m

2

又因为加V2,所以m=5.

3

所以ir-

'2

333

-X--满足直线对应的函数表达式,

224-1)CE

所以点。在直线CE上，即C,D,E三点共线；

(3)ZiABP的面积为定值，其面枳为2.

理由如下：(考生不必写出下列理由)

如图I,当C,。分别运动到点C,h的位置时，C,D与。，C分别关于宜线EW对称,

此时仍有C7