湖北荆州市2025-2026学年高三年级下册3月阶段检测数学试题+答案

湖北荆州市2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合力=[x\x2-4x+3<o],F={%eN|x<3},则4n8=()

A.[1,3)B.[1,2]

C.{1,2}D.{0,1,2)

2.已知复数2满足(1+1”=|2-2"(其中1为虚数单位)，则z的共加复数Z=()

A.2-2iB.2+2iC.&+D.五-6

3.已知向量G=g=(m,4),则“m=2”是2〃铲的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列函数中，是奇函数且在(0,+8)匕单调递增的是()

A.y=3r—3XB.y=ln(x/x24-1—x)

2

「R1、(x+2x,%>0

C.y=x3+x-1D.y=

-x2+2x,x<0

5.G+2%)6的展开式中的常数项为()

A.60B.120C.160D.240

6.已知双曲线捺一，=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F],F2,过片的直线与双曲线

的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足物=而，布•可7=0,则双曲线的离心率

为()

A.2B.V5C.—D.V6

2

7.己知点P,Q分别在圆+y2=1,Q：/十y2-4%+2y+4=0上运动，点M在直线

士％-、+2=0上运动，则|MP|+|MQ|的最小值为()

A.V5-2B.3C.x/5-1D.4

a

8.已知几eN*,设函数/X%)=sinQx一一log(4n-i)X的零点个数为an，则%+2+,,,+«io

=()

A.120B.210C.75D.240

二、多选题

9.某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生,

得到如下列联表(单位：人)：()

男生女生合计

参加了社会实践活

304070

动

未参加社会实践活

201030

动

合计5050100

附（1）（a+）c）其中〃a+b+c+d;Xo.05-3.841

A.依据小概率值a=0.05的f独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关

B.从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为:

C.随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为5

D.按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽

取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为,

10.在四棱锥P-A8CD中，底面为正方形，P41平面HBCD,P力=48,点E,F,G

分别为棱PDJ4BC的中点，则()

A.ECLAD

B.P8〃平面EFG

C.异面直线EG与P4所成角的正切值为2

D.直线4c与平面P8C所成角为3

6

11.己知函数/(%)=e"—a/,其中QWR,则()

A.若函数/(%)有且仅有1个零点，则ae((J,?)

B.若函数f(x)有且仅有2个极值点，则a的取值范围是(；,+8)

C.不存在a使函数”工)存在唯一的极值点

试卷第2页，共4页

D.若对Vx>0,/(x)>。恒成立，则aW彳

三、填空题

12.已知数列｛an｝满足诙=1,an+1-an=2n,则。4=.

13.已知％,y均为非负数，月x+2y=l,则系+忘的最小值为.

14.在棱长为2的正方体4BCD-4乃£。1内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同

的〃个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶

点A的3个面均相切:第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，

依次下去.记这〃个球的表面积和为〃，若FnVM对几€N*总成立，则M的最小值为.

四、解答题

15.已知椭圆C真+、=l(Q>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4\&的焦点重合，且椭

圆C的离心率为当

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的左顶点4且倾斜角为30。的直线交椭圆。于另一点以。为坐标原点，求aO/lB

的面积.

16.如图，在^ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=acosC=c(或-cos/l).

⑴求b.

(2)若。点满足瓦5=T反.乙。D=2/D4B,求a

17.某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有人B两类关卡,A,B两类关卡

每一次闯关成功的概率分别为？，活动参与者第一次闯关等可能的选择A，8中的•类关

卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类

推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，8类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0

分.每名活动参与者有3次闯关机会.

(I)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率：

(2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分

数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望.

18.“细长三角板”指的是有一个内角为30°的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直

角边长均为10cm,先按左图所示的方式放置，其中以△P48,表示两个细长三角板，

PA=PC=10cm,4PBA=4P0C=30°,直角顶点重合于点P,两条斜边48,。。在一条直

线上.保持直角顶点重合，将两条斜边48,。。平行展开，得到如图所示的四棱锥P-/WCD.

(1)设ACClBD=。，求证：f。，平面480；

(2)是否存在四棱锥P-4BCD,使得底面力8CD为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不

存在，请说明理由；

(3)求四棱锥P体积的最大值，并求此时平面418与平面PCD所成二面角的大小.

19.己知函数/(x)=Inx-sinx+1.

(1)求曲线y=f(%)在点g,/6))处的切线方程：

(2)讨论/1(%)在%6(0m)上的单调性；

(3)/(%)为/(幻的导数，若两个不相等的实数为1，&6(。，切满足广(%1)=/'(叼)，求证：

/(%i)+f(必)>0.(参考公式:cos0—cos(p=-2sin^y^sin^^)

试卷第4页，共4页

《湖北荆州市2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题》参考答案

1.C

【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合人，根据交集运算的概念，即可得答案.

【详解】由/一4无+3=(又一1)(无一3)40,解得14x43,则4=[1,3],

又B={0,1,2),

所以/lnB={l,2}.

2.C

【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共匏复数的概念，即可得答案.

【详解】由题意z=*=空且=符三=9=企一企「

1+1l+i(l+i)(l-i)2

则Z的共挽复数2二夜+加i

3.A

【分析】利用向最平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解.

【详解】充分性分析：m=2,二&=(l,m)=(1,2),b=(m,4)=(2,4),

5=2a,-.a//b,故充分性成立;

必要性分析：valib,b=Ad,

va=(l,m),b=(TH,4)»

(m,4)=•[丁一',：.m=±2,故必要性不成立.

(4=Am

故“m=2”是4〃户的充分不必要条件

4.D

【分析】判断函数的单调性，即可判断ABC的正误；结合分段函数的单调性以及奇偶性的

判断，可判断D.

【详解】对于A,由于＞=3-\y=一3、在R上单调递减，故y=3r-3”在R上单调递减，

A错误；

对于B,y=In(，为2+1-%)=]n^+丫=-ln(Vx2+1+%)»

由于y=x2,y=%在(0,+8)上单调递增，故y=+1+x在(0,+8)上单调递增,

则y=In(，为2+1+%)在(0,+8)上单调递增，

故y=-ln(Vx2+1+%)在(0,+8)上单调递减，B错误；

对于C,由y=炉+%-1可得y=3/—9■二%工，

答案第1页，共13页

当0<xV任时，/=笠二<0,此时y=/+%-1在(0,%)上单调递减，c错误；

丫22丫Y0

',当x>0时，/(X)=x2+2%,在(0,+co)上单调递增,

(-%2+2%,x<0

再判断函数的奇偶性：

当*>0时，令/(%)=7+2%,当XV0时，/(x)=-X2+2x,

则%>0时，­X<0,则/1(一%)=—(―x)2+2(-x)=—X2—2x=­/(x)；

x<0时，-%>(),则/(一%)=(―%)2+2(—x)=x2-2x=—/(X)：

/a.2丫Y、0

即可知y=.'为奇函数，D正确.

I-%2+2x,x<0

5.D

【详解】共有6个因式，从2个因式中选择在剩下的4个因式中选择2%,

X2

则e+2x)6的展开式中的常数项为髭(专了(2x)4=240.

6.A

【详解】由已知M为F]N的中点，而。是F]F2的中点，

所以MO〃NF2，由于NF2_LNF],所以MO是线段F〔N的中垂线，

^FXOM=^MON,由双曲线的对称性知/FiOM=4七。"所以匕"OM=zMON=

/ON=60。，

故3=tan60°=^e=JS=J】+('=2.

【分析】根据对称求解圆。3的圆心。3(-2,2),进而根据对称，结合三点共线即可求解.

【详解】如图，作圆C]关于直线上％-y+2=0又寸称的圆C3，

设0(皿九)，则m彳一一，解得加二一2,九二=2,则Q(—2,2)

『三+2=0

答案第2页，共13页

连接MC3与圆Q相交于点P2,连接MQ与圆C2相交于点Qi，P关于直线z对称的点记为Pi，

则|MP|=|MP1|NIMP2I=|MQI-1(当M,Pi，C3共线时取等号),

\MQ\>\MQ1\=\MC2\-1(当M,Q],。2共线时取等号)，

由于。2(2,-1),则IQQI=，(一2-21+(2+1尸=5,

因此也。31+眼。2121。3。21=5,当M,。3，Q共线时取等号，所以所求最小值为3.

【分析】先利用图象的交点求出当〃=1时/(%)的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及

•og4n-l(4n-l)=1得出数列｛Qn｝为等差数列即可求出.

【详解】y=SinQx-9过点(1,0),(2,1),(3,0),(4,-1),(5,0),

则可作出y=sinQx-的图象.

当〃=1时，作出y=log3》的图象，

因为log33=1,故y=log?》的图象与y=sin(如一以图象有3个交点；

注意到y=sin6¥-的周期为4,log4n-i(4〃-1)=1，

〃每增加1个单位，4几-1也增加4个单位(一个周期)，则交点增加2个,

故数列Sn｝是首项为3,公差为2的等差数列，

所以%+a2+…+Qio=3x10+等x2=120.

9.BCD

【详解】零假设为H。：参加社会实践活动与性别无关联，

答案第3页，共13页

则f=吗4.762>3,841=%,

人70x30x50x5021U0U0b5

依据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断％不成立，

即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05,故A错误.

从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为意=£故B正确.

记事件A表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则PQ4)=益=看，

记事件8表示抽到的学生是男生，P(AS)=

所以P(8/)=i="故C正确.

7

10

按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人，

则7人中有男生叫X7=3人，有女生为x7=4人，

从这7人中抽取2人有G种取法，全为女牛的取法有C；,

所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为口=5=：，

CyN17

所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为1-：="故D正确.

10.CD

【分析】建立空间直角坐标系，设48=2,求出相关点坐标，利用向量数量积的运算可判

断A；求出平面EFG的法向量，根据空间位置关系的向量判断方法可判断B；根据空间角的

向量求法可判断CD.

【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=2,

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,l,l),尸(0,0,1),G(2,1,0),

EC=(2,1,-1),AD=(0,2,0),ECAD=(2,1,-1)•(0,2,0)=2。0,

故EC,力。不垂直，A错误；

设平面EFG的法向量为沆=(xfyfz),EF=(0,-1,0),EG=(2,0,-1),

答案第4页，共13页

则，m\EF=-y=°,可取沆=(1,0,2),而而=(2,0,-2),

\mEG=2x—z=0

布•丽=(1,0,2)•(2,0,-2)=-2/0,故P8和平面E尸G不平行，B错误;

前二(2,0,-1),同=(0。-2)，cos质的=晶=高=*

设异面直线EG与P4所成角为“6(0寻则cos。=sing=等，

则tang=2,C正确；

设平面PBC的法向量为记=(。,瓦c),BC=(0,2,0),丽=(2,0,-2),

则［=2b=0,可取范=(io#,而尼=(2,2,0),

(n-PB=2a-2c=Q

则cos闲㈤=箭=品=£

则直线4c与平面PBC所成角的正弦值为右

故直线与平面P8C所成角为/D正确.

6

11.ABD

【分析】利用参变分离的思、想，结合函数图象进行求解

【详解】对于A,显然。不是函数的零点，当XH0时，令诃一。/=0,变形为a=

令。(幻=9,工=0,则。'(幻二^22，

令。'(工)=>0得x>2或％<0，令。'(幻<。得0<x<2,

所以。(幻=捻在(一8,0),(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

g(2)=：,作出g(x)=g的图象，如下：

宜线y=Q与其仅有一个公共点，则Q€(0,?)；

对于B,f'(x)=ex—2ax,令九(幻=/'(%),

函数/(外有且仅有2个极值点，故九(幻=0有2个变号零点,

答案第5页，共13页

令九(x)=0得e"-2ax=0,显然0不是函数的零点,

当工工。时，e*—2QX=0变形为2a=亍，令q(x)=亍，

则q'(x)=卓3,令q'(x)>0得x>1,令q'(幻<0得kV。或0V无V1,

故q(x)=?在(一8,0),(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

q(l)=e,作出q(x)=?的图象，如下：

直线y=2a与其交于两点，则2a6(e,4-co),故aG(~/+°°)»B正确；

对于C,结合B的分析，显然当Q<0时，八(幻有且仅有一个变号零点，

函数/(切存在唯一的极值点，C错误；

对于D,/(x)>0,BPex-ax2>0,当％=0时，1N0满足要求，

当工工0时，ex—ax2>0,变形为aW三，

x2

令g(x)=捻，结合A的分析，当QO时，g(x)min=g⑵=9，故QW9，D正确.

12.13

【分析】利用累加法和等差数列的前几项和公式求解.

【详解】%=1,

-a=

v0n+i—an=2n,.*•a2i2x1,a3—a2=2x2,a4—a3=2x3>a1x—。时1=

2(n-1),

：•斯=(«n-即-1)+(an-l-an-2)+(an-2-an-3)+…(02一。1)+al

=2(n-1)+2(n-2)+2(n—3)+…2x1+1

=2[(n-1)+(九-2)+(几-3)+…3+2+1]+1

=2x3322+i=n2—n+l,

•••=42—4+1=13.

13.2

答案第6页，共13页

【详解.】由题可得(无+1)+2(y+1)=4,所以看+土=广臂3+D](.+^)=1+

X+1,y+1

‘'-y-，

4(y+l)x+1*

由于丑9+怨之2八片/](胃)=1，当且仅当恶；=怨，即X=1J=°时取等号，

4(y+l)x+1yjl4(y+l)J\x+174(y+l)x+1，

所以二"；H■—J—=1+J：：、+丝|>1+1=2>则;7+37的最小值为2

x+1y+14(y+l)x+1x+1y+1

J4Mm”)

•3

【分析】作出辅助线，得到外切球的半径关系，求出乙的关系式，求出最小值.

【详解】如图，过棱eq作正方体的截面，

由对称性知，这些球的球心都在线段4cl上，与底面44co的切点都在线段AC上.

设第I,(i=l,2,...)个球的球心为0”半径为〃，与底面48co切于Qi，

作02P_L0iQi于P,由△OiOzPs^Oi/Qi，得等=准二段=b，

解得生=2-遮，同理可得，对于任意i€N+，3=2-百，

nr(

又由于ri=l,所以4=(2-百)'一,其表面积*=4m;2,

所以〃=S]+S?+…+Sq=4nx-~~，注意到当八t+8时，

l-(2-V3)

(2-V3)2n-0,此时4一土^二中，

1-(2—v3)J

且〃V&箸，故M的最小值为誓应.

15.(i^+y2=1

(2呼

【分析】(I)先由抛物线俵点求椭圆c值，再结合离心率求Q,最后由a、c求块得椭圆方程.

(2)直线方程代入椭圆方程消元，求解，y,以。力为底、B纵坐标绝对值为高求三角形面

答案第7页，共13页

积.

【详解】(1)抛物线必=475%的焦点为(8,0),则c=yJa2-b2=x/3,

又椭圆C的离心率e=：=曰，则。=2,所以炉=a?一=1,

故椭圆C的标准方程为9+y2=i；

(2)由(1)可知，椭圆C的左顶点4(一2,0),

则直线：y=y(x+2),即：x=V3y-2,

必22

4+”,消去看得7y/-4V5%=0,

(x1=V5%-2

解得力=一或%=0(舍去)，

所以5的8=1x\OA\x|%|=啜

16.(1)2

⑵屈

【分析】(1)利用正弦定理化简可得sin(4+C)=>/^sinC,由sin(?l+C)=sinB得sinB=

V2sinC,结合正弦定理即可求解b；

(2)设8。=%,则DC=2%,设=。，则/乙4。=20,由正弦定理化简可得或sin。=sin2。,

结合二倍角公式解得cos6=$,求出利用余弦定理求解即可.

24

【详解】(1)由acosC=c(V2—cos4)及正弦定理得sin/lcosC=V2sinC—cos/lsinC,

即sin4cosc+cos/sinC=V2sinC>即sin(A+C)=V2sinC»

由A+B+C=TT得，sin(4+C)=sin/?,

BPsin^=V2sinC,进而由正弦定理得b==2；

(2)因为所以sin2ADB=sinz4DC,

i&BD=x,贝ij由题意DC=2%,设4。4B=8,则zC4D=2氏

答案第8页，共13页

X2_2x

则由正弦定理得』消去x得Vising=sin26,

sin。sinz/lDCsin26'

所以/sin6=2sin6cos仇又sin"0,所以cos。=今所以"/所以=手

由余弦定理得。2=22+(企)2一2X2xV2cosy=10,所以Q=V10.

17.明

(2)96000元

【分析】(1)根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求

解；

(2)先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据乂~8(1000,蒜)，由二项分

布的期望公式求解.

【详解】(1)设事件4表示“第i次选择的是4'事件与表示“第i次选择的是歹，

设事件G表示“第i次闯关成功”，

P(G)=PQ4])P(G14)+P(81)P(G⑶)=3x"3xH

1

一1

P(AG)-一

PG4/G)=J.33

Pg-5

第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关k的概率为二；

(2)一个参与者得分大于等于40分有两类情形：

第一关选择4成功，第二关继续选择A也成功；

第一关选择8失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功.

tep=lx2x2+lx/1_4A2x2=21

2552\5755125

设1000人中获得现金奖励的人数为x,则商场支出的现金奖励y=iooox元.

由题知，X〜8(1000,费)，

故E(X)=1000x^=96,

所以E(y)=F(1000X)=1000E(X)=96000,

商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元.

18.(1)证明见解析

⑵不存在，理由见解析

(3)50(),90°

答案第9页，共13页

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）假设存在符合条件的四棱锥，设其高PO=/i,根据假设求出力的值，即可判断结论;

（3）方法一：求出相关线段的长，根据棱锥体积公式可得四棱锥P-A8C0体积的表达式,

结合基本不等式可求得最值；再根据二面角的定义可求解平面H43与平面PCD所成二面角的

大小.方法二：建立空间直角坐标系，确定相关点坐标，利用体积公式以及基本不等式可求

解最值问题，利用空间角的向量求解方法可求二面角大小.

【详解】（1）证明：由题意知48与CD平行且相等，则四边形4BCD为平行四边形，所以。

为AC,BD的中点

又由于PA=PC=10,PB=PD==10\/3,所以P014C,P01BD,

tan300

AC,BDu平面ABCD,ACCiBD=0,所以PO1平面力BCD；

（2）假设存在符合条件的四棱锥，由（1）知，设其高PO=/i,

因为底面是菱形，则AC_LBD,

所以。。2+h2=pA2=100,002+h2=pB2=300,0。2+。。2==400,

解得h=0,

此时四棱锥退化为一个平面图形，故不存在符合条件的四棱锥；

（3）方法一：过点P作直线”/CD,则/u平面PCD,

由于A8〃CD,所以〃则/u平面/MB,所以平面P48n平面PCD=，，

作PE1CD,PF148,垂足分别为E,F,MPE1I,PF11,

所以4EPF是平面P4B与平面PCO所成二面角或其补角

PE=PF=10V3xsin30°=58，由于POL^ABCD,

EFu平面48CD,故POJ.EF,而。为£F的中点，则乙EPO=乙FPO,

设乙EPO=乙FPO=0,则PO=5>/3cos6»,EF=20E=lOVSsin。，

由POJ_平面48C0,ABu平面48m故PO1AB,

而PFCiPO=P,PF,POu平面PEF,故力8，平面PEF,

EFu平面PEW,故4B1EF,

答案第10页，共13页

x

所以。棱钳PYBCD=I20x108sin。x5V3cos0=5OOsin20<500

当且仅当ZEPF=20=90°时取等号，

故四棱锥P-ABCD体积的最大值为500（cm3）,

此时平面P4B与平面PCD所成二面角为90°

方法二：过点。作平行线48,CD的垂线，垂足分别为立E,

取BC的中点G,OG//CD//AB,由以上分析可知481EF,

所以。G1OE,

以。为原点，。6,。瓦。。所在直线为小Az轴建立坐标系，

设。E=y,OP=z,OG=\CD=10,PE=PF=5®CE=VPC2-PE2=5,

由勾股定理知y2+z2=PE2=75,

Vm^p-ABCD=9X20x2yxz=myzW弓x/=yX^=500.

当且仅当y=z=平时取“="，故所求最大值为500：

此时P（0,0,亭），E（0，¥，0）,C（5,”,0）,F（0,—亭,0）,力（一5,—亭,0）,

EC=（5,0,0）,PE=（0,竽，-竽），

黑索》则5M=0

设平面PC。的一个法向量访=Cq,yi，zi）,则5n56

——----z1=no

2八21

可取而=（0,1,1）；

而=(5,0,0),而=(0,-苧，—乎),

X=0

设平面P48的一个法向量丘=（x,y,z）,则产.亚二0,52

222则sV6576c

m-PF=0—y2--^2=o

可得平面P4B的一个法向量荏=（0,-1,1）,

故8