2024-2025学年广东深圳某中学高一年级下册期中数学试题（含答案）

2024-2025学年广东省深圳第七高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.（5分）若复数z满足z・（2・。=i,其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（）

221

A.-B.-iC.一看

55，

2.（5分）已知面=5,\b\=4：a-b=-\0,则；与力的夹角为（)

n2irn

A.-B.-C.-

336

3.（5分）已知Q=（3,4）,b=（31）,（a-b）±a,则|b|=（）

A.2B.5&C.1D.3鱼

4.（5分）已知质|=企，且GF=-2,则向量b在向量Z上的投影向量为（）

1-*1-*T-

A.-aB.-bC.—aD.-b

22

5.（5分）己知向量后，尾是平面上两个不共线的单位向量，且而=3+2"2，命=-3"1+2宜，

£M=36i-6e2»则（）

A.A.B、C三点共线B.力、B、。三点共线

C.4C,。三点共线D.R、D三点共线

6.（5分）在△力8c中，sin2Jtan5=sin2Btaivl,则。是（）

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

7.（5分）已知矩形48C。的长48=4,宽8。=3.点尸在线段8。上运动（不与8、。两点重合）,

则而•俞的取值范围是（）

A.（-16,9）B.（-9,16）C.[0,9）D.（-16,0]

<>/<八、'八2，,。-2…。L2tanl20Il—cos48°/、

8.（5分）设〃=COS42-sin212,匕=二石滔透，c=J-----2----，则有（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

（多选）9.（6分）下列命题中正确的是（）

高中

A.\a+b\＜\a\+\b\

B.若％,b满足鬲＞|b|,且会与b同向,则；＞b

C.若Q，6=QC,则h=c

TT2"

D.若△/BC是等边三角形，则58,8。）二等

（多选）10.（6分）有四种变换，其中能使卜=42的图象变为y=sin（Zt+/）的图象的是（）

A.向左平移9个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的!

42

B.向左平移£个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的?

o2

C.各点横坐标缩短为原来的"再向左平移;个单位长度

D.各点横坐标缩短为原来的:再向左平移J个单位长度

（多选）11.（6分）《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个

问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五

“三斜求积术”中提出了已知三角形三边4,b,C,求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全

等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幕并大斜累减中斜辕，余半之，自乘于上；以小斜索乘

大斜累减上.余四约之，为实：一为从隅，开平方得积若把以上这段文字写成公式，即

s=J*[C2Q2一（*±竽出）ZJ.现有△43C满足sin月：sin&sinC=2：3：V7,且△力4c的面积

S=6瓜请运用上述公式判断下列结论正确的是（）

A.△48。的周长为10+26

B.ZX/BC三个内角4B,C满足2c=4+8

C.ZX/IA。外接圆的直径为

D.△44C的中线CO的长为3夜

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）复数2=符的共规更数为5,Mz=.

13.（5分）已知点0（0,0）,向旦。7=（2,3）,。％=（6,-3）,点P是线段的三等分点，

点P的坐标为.

14.（5分）圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极

高中

具对称之美.为r估算圣•索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物48,高约

为366，在它们之间的地面上的点V（8,M,。三点共线）处测得建筑物顶4、教堂顶C的仰

角分别是45°和60°,在建筑物顶力处测得教堂顶。的仰角为15°,则可估算圣•索菲亚教堂

的高度CQ约为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知复数2=旭2+m・2+（m-1）i（m€R）.

（1）若z为纯虚数，求实数的值；

（2）若z在复平面内对应的点在直线y=上，求团.

16.（15分）如图，在菱形/6C。中，BE=^BC,CF=2FD.

（1）若前=x6+yG,求3x+2y的值：

17.（15分）a,b,c分别为△力。。内角4,B,。的对边，已知通acosH=bcosC+ccosB.

(1)求cos/；

(2)若Q=b=V5,求△/8C的面积.

高中

18.(17分)已知函数/(无)=36sinxcosx+3cos2%一丁.

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)若j],求函数/(x)的值域；

(3)若/(x)=2且工€[0,引，求/(%—金)的值.

19.(17分)定义函数/(x)=〃isinx+〃cosx的“源向量”为0M=(而，〃)，非零向量0M=(〃?，〃)

的“伴随函数”为/(x)=msinx+ncosx,其中。为坐标原点.

(1)若向量血的“伴随函数”为f(x)=2sin(x+外求向量。标

(2)在△ABC中，角力、B、C的对边分别为。、b、c,若函数力(x)的“源向量”为0%=(0,

1),且已知。=8,h(A)=I：

(i)求△ZB。周长的最大值；

(ii)求MB+4q的最大值.

高中

2024-2025学年广东省深圳第七高级中学高一(下)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

题号12345678

答案ABBCCDAA

二.多选题(共3小题)

题号91011

答案ADADABC

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.【答案】A

【解答】解：由z・(2-储=/,得z=，=/(簿么=匚段=4+"

则复数Z的虚部为|.

故选：A.

2.【答案】B

TTT

【解答】解：cos<a,b>==-i.

M\b\

A<a,1>=筝

故选：B.

3.【答案】B

【解答】解：根据题意，a=(3,4),b=(r,1),MS-b=(3-/,3),

若(Z-b)±a,则有(Z-b)*a=3(3-t)+12=0,解可得z=7,

则'(7,1),则向=V49+1=5五,

故选：B.

4.【答案】C

高中

【解答】解：因为向量b在向量a上的投影向量为：-=A-=-7=-

3|a|四

故选：C.

5.【答案】C

2-

【解答】解：AC=AB+BC=ei+2e2+(—3ei+2e2)=-2e1+二R4

则1、C、。三点共线.

故选：C.

6.【答案】D

【解答】解：Vsin2JtanZ?=sin2Z?tarvl,

sin2/isinZ?cos/<=cosBsin2Z?sinJ,

VJ,5为三角形内角,sirUsin^^O,

••・可得：sin/lcosJ=sin/ycos/y,可得sin24=sin24,

，可得：2/1=24,或24=TT-24,即：A=B,或力+4=全

・•・△力8c是等腰或直角三角形.

故选：。.

7.【答案】A

【解答】解：由题意得，点尸在线段8。上，

TTT->

^,BP=nBD,PD=mBD,n=1—m,且〃£(0»1)*

以力为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

则力(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3),

则8力二(-4,3),AC=(4,3),

—♦—♦—♦

由AP=+九AD=zn(4,0)4-n(0,3)=(4m,3n),

故而=n-(4-4m,3-3n),

高中

所以而•薪二-4(4-4叫+3(3-3n)=9-25n,

由于〃E(0,1),所以PZ•访€(-16,9).

故选：A.

8.【答案】A

【解答】解：,••a=cos2120-sin212°=cos240,

•二故〃、b、c的大小关系为c<b<a.

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得U分。

9.【答案】AD

【解答】解：\a+b\<\a\+\b\f当且仅当工力方向相同时取等号，故力选项正确;

若a,b满足且:与b同向，但向量不可以比较大小，故8选项错误；

若a•匕=c,则a・(b-c)=0,故b=c或者a=0或a_L(b-c),故。选项错误；

若△48C是等边三角形，

根据平面向量夹角的定义可得(4T8,BTC)=n-B=等777改。选项正确.

故选：AD.

10.【答案】AD

【解答】解：把夕=4足的图象向左平移/个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的;，可得

函数y=sin的图象，4正确；

把^=4立丫的图象向左平移三个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的：，可得函数旷=

sin(2M+*)的图象，8错误；

把产siru•的图象上各点横坐标缩短为原来的;再向左平移?个单位长度，可得函数产sin(2x+?)

244

的图象，c错误;

高中

把尸sinx的图象上各点横坐标缩短为原来的右再向左平移:个单位长度，可得函数尸sin⑵+9

的图象，。正确，

故选:AD.

11.【答案】ABC

【解答】解：由sim4：sinB：sinC=2；3；V7,

根据正弦定理有a：b：c=2：3：V7,

所以设a=2A,b=3k,c=x/7k,

又S=6^3>

所以有虫（（«k）2（2k）2^孕三色啤j=6VL

解得A=2,

所以a=4,b=6,c=2\[7.

，△月AC的周长为10+2夕，故力正确；

在△4BC中，由余弦定理有cosC=4考L"）之一,

所以。=小故8正确：

由正弦定理有外接圆直径2R=焉=誓=辛，

、17*C*V*5J

T

故C正确；

在/\ABC中，由余弦定理有cosA=（2?巾丁=

LXZV/X3V*

2

在△ACO中，由余弦定理有=（77）2+6-2X3X./7X-^=19,

，CD=g,故。错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.【答案】L

.虫、融_2-i_（2-i）（l-2i）-_2-5i-2

【解口】解：z--（1+2f）（i-2i）_5-

所以，=i.

故答案为：

13.【答案】（竽，-1）或（当，1）.

t解答】解：设点尸的坐标为a,y）,

高中

Tt1TT3TliT

当AP=aPB时，OP-OA=*08-OP),即；OP=7；08+04

，，22

-+3

3-)(2，

3-

-X3+2Z

—2—U130

得

所

以

：<

—3—3G1

-y--+3.

k22

当前=2而时，OP-0A=2(0B-0P)fBP3OP=2OB+OA,

所以3(x,y)=2(6,-3)+(2,3),

rrpi(3X=12+2俎jx=孕

所以3y=-6+3，得-3/

'J\y——1

所以点p的坐标为(竽，-1)或(学，1).

故答案为：(竽，—1)或(苧，1).

14.【答案】54〃？

【解答】解：由题可得在直角△力AM中，ZAM8=45°,|48|=36,

所以|4M|=36vL

在中，N4WC=180°-60°-45°=75°,NM4c=15°+45°=60°,

所以N4CM=I8O°-75°-60°=45°,

〜十升』tmr砥\AM\\CM\

所以由正弦定理可得■,-u。=，…,

sln450sln60°

”,36&X印广

所以|CM|=-----.2=366,

¥

则在直角△CDW中，|CQ|=|CM・sin60°=54,即圣•索菲亚教堂的高度约为54〃1.

故答案为：54〃?.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【答案】(1)-2；

(2)0.

【解答】解：(1)若z为纯虚数，则［/+血］2=0,解得m=-2：

(m-1H0

(2)由题意可得m-1=1(血2+m-2),

解得m=1,

所以z=(),

高中

所以|z|=0.

16.【答案】(1)-1：

(2)-9.

【解答】解：(1)因为在菱形/BCO中，BE=^BC,CF=2FD.

故港=EC+CF=^AD-IAB,

21

故％=-与，y=所以3.x+2y=-I.

(2)显然前=AB+AD,

TTTT1T2T

所以4C・EF=(AB+ADy(^AD-^AB)

=-^AB2+^AD2-^AB-AD……①，

因为菱形/16C£>,且|蓝|=6,/B/1D=6O°,故|G|=6,<AB,AD>=600.

所以几•AZ)=6x6xcos60°=18.

故①式=一|X62+|X62-1X18=-9.

故几.EF=-9.

17.【答案】⑴—；(2)4.

•J

【解答】解：(1)因为遥acosA=bcosC+ccosB,

所以由正弦定理得：y/5sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB,

即遍s出AcosA=sin(B+C)=sinAt

又因为sinJWO,所以cosA=增；

(2)由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,

BP13=5+c2-2V5cXy,

解得c=4或c=-2（舍去）,

高中

因为cos4=络，且力€(0,7T),

所以sMA=V1—sin2A=

所以△力8c的面积S=bcsinA=xV5x4x=4.

18.【答案】⑴最小正周期为E

3

(2)[-？3]：

2x^3-V5

【解答】解：(1)由题意可得：/(x)=3y/3sinxcosx+3cos2x-1=^^-sin2x+3xl+cos2x3

2-----2

=^^-sin2x+4cos2无=3sin(2x+5),

所以函数/(X)的最小正周期为7T.

(2)因为一卷WxW会则