二次函数的图象与性质-2025年中考数学试题分类汇编（含答案）

专题10二次函数的图象与性质-2025年精选中考数学真题分类汇编

一、选择题

1.已知点(-2,yi),(3,”)，(7,*)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上，则yi,yi,户的大小关

系是()

A.6>">户B.y\>y3>yiC.yi>y]>y3D.》3>y2>yi

2.在忆面直角坐标系中，两点以工2，、2)在抛物线、=数2-2数9>0),则下列结论中正确的是

()

A.当不<0且、1〃2<。时，贝1」。<孙<2

B.当勺<%2<1时，则丫1<y2

C.当不<0目>0时，贝的〈孙<2

D.当打>%2>1时，则为〈丫2

3.将二次函数y=/-2%-3的图象在工轴下方的部分以工轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函

数图象，下列对新函数的描述正确的是()

A.图象与y轴的交点坐标是(0,-3)

B.当％=1时，函数取得最大值

C.图象与不轴两个交点之间的距离为4

D.当％>1时，y的值随汇值的增大而增大

4.如图，二次函数y=a/+b%+c(a,b,c为常数，Q餐0).的图象交x轴于A,B两点，点A的

坐标是(-1,0),点、B的坐标是(n,0),有下列结论：®abc<0；②4a+c>2b；③关于x的方程

物=小④—a=写工.其中E确的有()

2个C.3个D.4个

5.如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交十点A(3,0)、B(-1.0),与y轴交十点C(0,m),其中-4<-3.

则下列结论:

第1页

@a-c>0②方程a/+以+，_5=0没有实数根③一襄b<一2④铲把>0.

JO—CL

6.如图，二次函数、=Q%2+bx+c(aH0)的图像与x轴交于两点(一1,0),(xlf0),且2Vxi<3.下列结

论：

①abc>0：Q)2a+c<0：③4a-b+2cV0：④若m和n是关于x的一元二次方程a(x+l)(x—

%1)+(:=0(a0)的两根，且m<九，则mv-l,n>2：⑤关于x的不等式a/+bx+。>卷无+c(a/

0)的解集为0vx〈与.其中正确结论的个数是()

7.如图1,P是直线48上一点，Q为平面上一点，P是48上的一个动点，连结PQ,设AP=x,PQ2="y关

第2页

A.m=12B.n=24C.yc=240D.过（15,85）

8.如图，二次函数y二a/十分十c的部分图象与尤轴的一个交点位于（-2,0）和（-1,0）之间，顶点尸

的坐标为（1,九）.下列结论：®abc<0；②对于任意实数m,都有am?+8山一。一匕Ao；③3bV2c；④

若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为氏且△P48是等边三角形，则九.其中所有正确结论的序号

a

A.①②B.①③C.①④D.①③④

9.已知抛物线y=a/++。伯，b,c是常数，a>0）过点（1,0）,（m,0）,且2Vm<3,该物物线与直线

y=kx+c（2,c是常数,灯0湘交于Agyi）,B（X2,"）两点（点A在点B左侧）.下列说法：①加<0；

②3a+力>0；③点A，是点A关于直线.％=-；的对称点，则3VAAY4；④当勾=4时，不等式0严+

4IA-

（b-VO的解集为0VxV4.其中王确的结论个数是（）

A.1B.2C.3D.4

10.如图，已知抛物线y=Q%2+以+c（Q、氏c为常数，且QWO）的对称轴是直线x=l,且抛物线与x轴

的一个交点坐标是（4,0）,与y轴交点坐标是（0,m）且2<mV3.有下列结论：®abc<0；09a-3b+c>

0：③?<y力〃仍<鲁：④关于％的一元二次方程a—+（。一i）x+c-2=。必有两个不相等实根；⑤若点

4（孙力）,8（如'2）1（%3，%）在抛物线》=a—+bx+c上，

且71<Vn+1<工2<九+2<工3V九+3，当当<为<当时，贝加的取值范围为一9V几<0・

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题

11.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点（c,0）,但不经过原点，则该二次函数的表达式可以

是.（写出一个即可）

12.若抛物线y=x2-6mx4-6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上，则m的值为.

第3页

13.已知二次函数y=ax2+(a-2)x-2(〃为常数，且讨0).下列五个结论：

①该函数图象经过点(-1,0)；

②若。二-1,则当x＞-l时，y随x的增大而减小；

③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；

④若。＞2,则关于x的方程.ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1；

⑤若。＞2,则关于x的方程|ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个.

其中正确的是(填写序号).

三、解答题

a24

14.已知〃是常数,函数y=(x+4)(x-Q?+a—3)+1,记T=

彳十西T

(1)若％=-4,Q=1,,求y的值;

(2)若戊=3Q+2,y=1,,比较T与3的大小.

15.已知二次函数y=x?+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数.

(1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点，求a的取值范围;

(2)若该二次函数的图象与x粕有交点，求a的值；

(3)求证：该二次函数的图象不经过原点.

16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a^0)经过点O和点A(3,3a).

(1)求c的值，并用含a的式子表示b；

(2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=ax于点N.

①若a=1,t=4,求MN的长；

②已知在点P从点0运动到点B(2a,0)的过程中，MN的长随0P的长的增大而增大，求a的取值范围.

17.在二次函数y=。/+力*―2中，%与y的几组对应值如下表所示.

X・••-201•••

y•••-2-21・.,

第4页

(1)求二次函数的表达式.

(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.

(3)将二次函数的图象向右平移几个单位长度后，当04x43时，若图象对应的函数最大值与最小值的

差为5,请直接写出几的值.

18.已知抛物线y=QM+板：+c(ab,c为常数，a<0,d>0).

(I)当a=-l,b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标；

(II)点力(一1,0)和点8为抛物线与％轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点.

①当。=-2时，若点0在抛物线上，乙(；/1。=90°,/1，=/0,求点。的坐标；

②若点B(m,0),“AB=2^ABC,以AC为边的I34CEF的顶点”在抛物线的对称轴/上，当CE+6取得最

小值为2历时，求顶点E的坐标.

19.在平面直角坐标系中，二次函数y=。/+"一2的图象过点人(1,/),B(2,t).

(1)求2的值；

a

(2)已知二次函数y=Q/+加一2的最大值为1-3Q2.

(i)求该二次函数的表达式；

(ii)若M(>i，?n),N(X2,7n)为该二次函数图象上的不同两点，且m工0,

2

求记：(勺-1)

mx^—2"

20.已知抛物线y=/一a%+5(q为常数)经过点(1,0).

(1)求a的值：

(2)过点/(0,£)与工轴平行的直线交抛物线于8,C两点，且点B为线段AC的中点，求£的值.

(3)设mV3Vn,抛物线的一段y=/一+5(山4%《n)夹在两条均与工轴平行的直线人」?之

间.若直线lltl2之间的距离为16,求几-m的最大值.

21.已知二次函数y=x(x-Q)+a-a)a-h)+x(x-b),其中a,b为两个不相等的实数.

(1)当。=0、匕=3时，求此函数图象的对称轴；

(2)当力=2Q时，若该函数在OWxWl时，y随工的增大而减小；在3WXW4时，y随汇的增大而增大，

求Q的取值范围；

(3)若点4(a,yi),8(竽,乃)，。(4为)均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得丫1+m、2+、3=

0?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由

第5页

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：析抛物线y=-（x-2）2+c,

・•・抛物线开口向下，对称轴为直线%=2,

•・•三点为（（一2，%）,（3，匕），（7，丫3），

・••与对称轴的距离分别为II-2-2|=4,|3-2|=1,

1<4<5,

•••y2>yi>为・

故答案为：c.

【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对

应的函数值越小解答即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：•.'y=ax2—2ax（a>0）

・•・抛物线的开口朝上，对称轴为％=-承=1

2a

将x=l代入解析式可得，y=-a

・・•顶点坐标为（1,・a）

•・•两点A（%i，%）,8（%2，吊2）在抛物线'=ax2-2ax（a>0）

/.当皿<。且yi-y2<。时，yi>0,故y2Vo

此时0<x2<2,A选项正确

当为】<%2<1时，抛物线在x<l时递减

故X2越大，y2越小，即为>为，B选项错误

当#i<0且%,y2>。时，y2>0

此时X2应满足X2<0,或X2>0,C选项错误

当与>X2>1时，抛物线在X>1时递增

故XI越大，yi越大

即、1>当，D选项错误

故答案为：A

【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.

3.【答案】C

【解析】【解答】

解：A、由题意,•・,二次函数为y=x2-2x-3,

第6页

/.当x=0时，y=-3.

，其图象与y轴交于(0,-3).

又・・•图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴.上方，

・•・新函数图象与y轴的交点为(0,3),故A错误.

B、•・•结合函数图象可以发现，函数没有最大值，

・・・B选项错误.

C、令y=x2-2x-3=0,则x=3或x=-l.

・.・函数图象与x轴交点为(-1,0),(3,0)

••・图象与x轴两个交点之间的距离为：3-(-1)=4,故C正确.

D、由题意，•・•原函数为y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

・••新函数为y=-(x-1)2+4(-l<x<3)

・•・函数的对称轴是直线x二L

・•・结合函数图象可得，当l<x<3时，y随x的增大而减小；当x>3时，y随x的增大而增大，故D错误.

故答案为：C.

【分析】观察图像：由二次函数为y=x2-2x-3,可得其图象与y轴交于(0,-3),对称轴是直线x=l,进而可

得新函数图象与y轴的交点为(0,3),再结合函数的图象逐个判断即可解答.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，

?.a<0,b>0,c>0,

Aabc<0,故①正确：

•・•当x=-2时yVO,

.\4a-2b+c<0即4a+c<2b,故②错误；

•・•抛物线与x轴的两个交点坐标为A(-1,0),B(n,0)

关于x的方程a/+b%+c=0的解是勺=-1,x2=n,故③正确；

・••抛物线的对称轴为直线式=-/=与，故④正确；

・•・正确结论有3个.

故答案为：C.

【分析】抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在x轴的上方，可得到a、b、c的取值范

围，可对①作出判断；当x=-2时yVO,可对②作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点坐标，可对③④

作出判断：综卜所述,可得到正确结论的个数.

5.【答案】A

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【解析】【解答】解：①、二次函数y=ax?+bx+c与x轴交于点A(3,0),B(-l,0),图象开口向上,

・•・对称釉直线为一义=早=1,Q>0，

b=-2a,

当x=-l时，y=a-b+c=O,

/.a-(-2a)+c=(),即3a+c=O,

.*.c=-3a,

/.a-c=a-(-3a)=4a>0,故①正确：

②、图象开口向上，对称轴直线为x=1,

・••当X=1时，函数有最小值，最小值X轴的下方，

；・抛物线y=ax2+bx+c与直线y=5两个不同的交点，

・•・方程ax2+bx+c-5=0有两个不相等的实数根，故②错误：

③、：二次函数y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0,m),其中-4<m<-3,

・••当x=0,y=c=m,

/.-4<c<-3.

3

-

2

3

-

2

8

得3故③正确:

④、当x=l时，函数有最小值，最小值为y=a+b+cvO,b=-2a,

••b-a=-2a-a=-3a<0,

・♦・今萼>0,故④正确；

综上所述，正确的有①③④，错误的有②，

故答案为：A.

【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为一点=写=1,Q>0,得b=2a,当x=l时，代入计

算可判定①；根据二次函数与直线y=5的关系有两个不同的交点，即方程ax2+bx+c-5=0有两个不相等的实

数根，可判定②；根据题意得到c=-3a,b=-2a,代入计算可判定③：根据函数最小值的大小可判定④；逐

一判断即可解答.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：①、•・•抛物线开口向上，

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a>0,

:对称轴在y轴的右侧，

Ax=_^>0

r.b<o,

•・•抛物线与轴交于负半轴，

/.c<0,

.\abc>0,故①正确，

②、：二次函数丫=2*2+匕*+地刈)的图象过(-1,0),

a-b+c=0,

，二次函数丫=a*2+6乂+(;但却)的图象与x轴交于两点(-1,0),(XI,0),且2<X1<3.

・・・对称轴弓工<x<芋,%V—卷V1

/.a<-b<2a,

/.a-b+c>a+a+c=2a+c,2a+b>0

/.2a+c<(),故②正确；

(3)、■:b=a+c

.*.4a-b+2c=4a-b+2(b-a)=2a+b>0,

.•・4a-b+2c>0,故③错误；

关于x的一元二次方程a(x+l)(x-xi)+c=0(a，0)的两个根，即甬数y=ax2+bx+c(ar0)与y=-c交点的横坐标.

*/m<-l<2<n,

/.若m和n是关于x的一元二次方程Q(X+1)(%-%i)+c=0(QH0)的两根，且m<n,则mv-l,n>

2：故④正确；

⑤、：二次函数y=a%2+6%+c(“学0)的图像与x轴交于两点(一1,0),(%1(0)

/.y=ax2+bx+c=a(x+l)(x-xi)=ax2+a(I-xi)x-axi,

/.b=a(l-xi),c=-axi,

.c-ax1

・・b-a=-ax।，~—=~=a

X1X1

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.*.ax2+bx+c>—"T-+c可化为ax2+(b-a)x>0,

BPax2-axix>0,

Va>0,

:.x2-xix>0,

解得：xv()或X>X|,

・•・于X的不等式。/+取+。>3+c(ar0)的解集为％V0密>/，故⑤错误

故正确的有①②④，共3个，

故答案为：B.

【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a,b,c的符号，即可判断①，根据二次函数

丫=&*2+6*+(^1加)的图象过(-1,0),得出a-b+c=O,进而判断对称轴义<一?<1,得出a<-b<2a,进而判

断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(l-xi),c=-ax”化简不等式为x?-xix>0求

得解集，逐一判断即可解答.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示，过点Q作QC1A8,垂足为C,连接AQ、BQ.

设抛物线的解析式为：y=a(x-tri)2+81

vQC1AB

QC=V81=9

当月P=1时，PQ=V225=15，此时PC=V225-81=12

AC=AP+PC=1+12=13,即0(13,81)

:*m=13

vn-m=m-1

n=2x13—1=25

把(1,225)代入到函数解析式中得：“1-13)2+81=225,解得：Q=1

y=(x-13)24-81=x2-26x+250

•••C(0,250)

第10页

当％=15时,y=(15-13)2+81=85,即点(15,85)在抛物线上.

故选：D.

【分析】由于直线外一点到直线的最短距离是垂线段的长度，因此可过点Q作AB的垂线段QC,则PQ的

最小值妈QC的长度，观察图象知QO9,由于当AP=1时，PQ为15,则由勾股定理可求得比时PC=12,则

AC=13,即。(13,81),所以m=13；由于抛物线上关于对称轴对称的点到对称轴距离相等，则可计算得

n=25；此时再利用二次函数图象上点的坐标特征把点E的坐标代入到解析式中可计算得a=l,再把顶点式转

化为一般形式可得yc=250；最后再把点(15,85)代入到函数解析式中检验即可.

8【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示，设对称轴交工轴于点C,连接PA、PB,则PA=PB、C(l,0).

•••抛物线的开口向下、与y轴交于正半轴

/.n<0»r>0»即b>0

•••abc<0,故结论①正确；

顶点P的坐标为(1,几)

•••y的最大值为几=a+b+c

，对于任意实数机都有：am?+bm+c&a+b+c

即：am?+人机一Q一力4o,故结论②错误；

•抛物线与x轴的一个交点4位于(-2,0)和(-1,0)之间，且在对称轴左侧，y随工的增人而增人

•••当》二-1时，y=Q—b+c=—g—b+c=—¥+c>0

3b<2c,故结论③正确；

若九=—Z，贝“PC=—3、抛物线解析式为：y=a(x—1)2—三

aaJQ

令y=0,贝b(K—I)2=\

解得：％=i+3

-a

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vcz<0

/3/3

.-.4(1+—,0).5(1-—,0)

W

•••AC=1-1+

3

PC-H「

：•tanz.PAC==-----==v3

AC

a

Z.PAC=60°

vP4=PB

••.△PAB为等边三角形,故结论④正确.

故答案为：D.

【分析】①由抛物线的开口向下知aV0、由对称轴为直线>=1>0知匕>0,由抛物线交y轴正半轴知c<

0,即abc<0：

②由于抛物线开口向下且对称轴为x=l,则二次函数有最大值Q+b+c,即对任意实数m都存在am」+

brn.+c4a+b+c,整理得am?+i)m—a—/?<0；

③由于抛物线与％轴交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间且在对称轴x=l的左侧，则由二次函数的增减性

知当％=-1时y>0,即y=Q-b+c=—§-b+c=-挈+c>0,整理得3bV2c；

④设对称轴交》轴于点C,若九=-|，则抛物线的解析式为y=Q(x-1)2可利用抛物线上点的坐标特

征分别求出A、B两点的坐标，则AC可求，又PC已知，可解次△求得=60。，山二次函数的对

称性可知PA=PB,则△P/B为等边三角形.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•抛物线过点(1,0),(m,0),

・•・对称轴为直线x二-义=等

又,:2<〃?V3,a>0,

b=-a[m+l)<0,

把(1,0)代入解析式的a+b+c=0,解得c=-a-b=-a+a(m+1)=am>0,

・・・bc<0,故①正确;

，二次函数解析式为y=ax2-a(77?+l)a+am

3a+b=3a-a(m+1)=-a(m-2)<0,故②错误；

解方程组/=个1卜+am得,=°或x=K+巾+i,

(,y=kx+ama

当％1=0时AA'=1+m,则3<AA1<4,

第12页

当修=：+租+1，贝

由于3<88,<4,故③错误；

当％2=4时，xi=0,

**•不等式Q%2+b%+cVkx+C的解集为0<x<4.

即式62+(8-/0%〈0的解集为0<%<4,故④正确；

正确的为：①④，

故答案为：B.

【分析】根据题意的带对称轴为直线x二-七=孚，得到b=-a(m+l),把(1,0)代入解析式得到c=am,然后

ZaI

判断①②；解两解析式联立方程组求出X值，分情况讨论判断③：根据二次函数和一次函数的图象得到不

等式的解集判断④解答即可.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0,对称轴为直线x=l,则-2=1,

2a

b=-2a>0,

又•・•抛物线与y轴交点坐标是(0,m),即c=m,

V2<m<3,即c>0,

/.abc<0,故①正确；

・・,抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0),对称轴为直线x=l,

・•・另一个交点坐标为(-2,0),

・,•当x=・3时，y=9a-3b+c<0,故②错误；

V(-2,0),(4,0)在抛物线y=。/+bx+c的图象上，

:.4a-2b+c=0>

又・・，b=-2a,

.*.4a+4a+c=0,

8a+c=0B|Jc=-8a,

V2<m<3,即2<c<3,

・・・2<-8a<3,

999

X-<3X--27

*,•2X<-8a884-9a<

o

当x=l时，y取得最大值，最大值为

a-¥b+c=a—2a-8a=—9a,

:•y最大值=-9Q,

第13页

9

-<

4［坡大值<后•，故③正确;

vax2+(b—l)x+c-2=0,b=-2a,c=-8a,

即ax?+(-2a—l)x-8cz-2=0,

(-2a—l)2+4(8Q+2)=4cz2+36a+9,

3699

--

对称轴为直线Q=2X422

△的值随a的增大而增大，

又・.・2<一8a<3,

31

・••当a=一飘,Z1=4x+36x(一号)+9=鬻>0,

，当时,△>0恒成立,即

84

a/+S-l)x+c-2=0有两个不相等实根，故④正确；

若点4(工1，、1),1?(工2少2)，。(*3少3)在抛物线y—a•避+bx+C上，且

n<x1<n+l<x2<n-\-2<x3<n-\-3

2n4-1<Xi+x2<2n+3

2n+3Vx2+%3V2n+5,

2n+2<勺+与<2九+4,

力vy3V%，

...与+.2<]&+右>]X1+X3<.

解得：n>一2且几V0,

1<n<0,故⑤错误；

故正确的有①③④，共3个.

故答案为：B.

【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a,b,c的符号即可判断①：进而根据对称性得出另一

个交点坐标为（一2,0）,则当％=-3时，y=9a-3匕+cV0,即可判断②；根据b=-2a,2<c<3,,

结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的

解情况即可判断④；根据为<为<力，结合函数图象分析，即可得出V0,进而判断⑤，即可求

解.

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vyi<y,<y2.

.*1+«?.M+z(*1+*>.

••2"j'"•2""

M3i)♦3

®--->Ln♦I<1.

X

解得：n>-；目n<0.

,故⑤*;

I

故正09讷①(3通,共扑

故答案为：B.

划线处有错误，⑤S对的，这题该是c

11.【答案】y=-x2+l

【解析】【解答】解：将*y，y=0带入y=-x?+bx+c中，可得

0=-c2+bc+c即0=c(-c+b+1)；

有两种情况：

当c=0时，函数过(0,0),即过原点，不符合题意；

当(#0,-c+b+1=0时，即b=c-l；

任取一数使c/0即可；

若c=l,贝ijb=0；

所以该函数表达式为y=-x2+l.

故答案为：y=-x2+l.(答案不唯一)

【分析】：将二次函数图象过点(c,0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函

数表达式。

12.【答案】1或一

【解析】【解答】解：由题意可得：

对称轴为x=---件=37n

当x=3m时，y=-3m2+5m+3

；・顶点坐标为(3m,-3m?+5m+3)

•・,抛物线的顶点在直线y=丫+2上

-3m2+5m+3=3m+2

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解得：m=l或一/

故答案为：1或一义

【分析】求出抛物线对称轴，再将x=3m代入抛物线可得顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，解方程

即可求出答案.

13.【答案】①②④⑤

【解析】【解答】解：将x=l代入解析式可得，y=a+2-a-2=0

・•・该函数图象经过点(-1,()),①正确

当a=l时，该二次函数图象卡扣朝下

对称轴为直线“=-平=-3

C

当6

X>T

2y随x的增大而减小

・••当x>・l时，y随x的增大而减小，②正确

VA=(a-2/+8a=(a+2)2>0

・•・该函数图象与x轴有两个不同的交点或只有一个交点，③错误

由①可得关于x的方程ax2+(a-2)x-2=0有一个根为-1

设另一个根为X2

•42-Q

••—1XXn=------

・••当a>2时，有0<1—2<1

a

・・・若心2,则关于x的方程.ax2+(a-2)x・2=0有一个根大于0且小于1,④正确

当a>2时，对称轴为直线“一要二一<。

2aL

则关于X的方程ax2+(a-2)x-2=-2有两个非正解

将y=ax2+(a-2)x-2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得函数y=|ax?+(a-2)x-2|的图象

令y=2,则直线y=2与y=|ax?+(a-2)x-2|共有4个不同交点

其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余为负

.•.关于x的方程|ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个，⑤正确

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故答案为：①②④⑤

【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.

14.【答案】(1)解：将工=-4,。=1代入函数得

y=1

(2)解：由题意得：(3Q+6)(—次+4Q—1)=0

：,3Q+6=0或a2-4a4-1=0

①当3Q+6=0时，即Q=—2时

将。二一2代入T解得r=i+i=ii

4

-<3

5

4a±

T4+

114a

a-+

4-a-

11

a+

-4-

a1

-

4a-4-

1

4-

4-

班

综

当

之+boT<3*

•3a-/

时

当Q24Q+1o

T>3

【解析】【分析】(I)直接代入给定的a和x的值，按运算顺序计算即可；

(2)通过y=l的条件建立关于a的方程，解出a的可能值，再代入T的表达式进行计算，最后比较T与3的大

小.

15.【答案】(1)解：由二次函数的图象与直线y=2M有两个交点，

:.x2+2(a+1)x+3a2-2a+3=2a2

Ax2+2(a+1)x+a2-2a+3=0

・・・b2-4ac>0即4(a+1)2-4(a2-2a+3)>0

解之：Q>2

(2)解：因为二次函数的图象与x轴有交点，

所以N=4(a4-1)2—4x1x(3cz2-2a4-3)=-8a2+16a-8=-8(a-l)2>0,

又因为8(Q-I)2工0,所以8(a-l)2=O,解得a=l

⑶证明：当"0时，y=3a2-2a+3=3(a-1)2+|>0,所以二次函数的图象不经过原点

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【解析】【分析】(1)利用已知条件可知该二次函数的图象与直线y=2a?有两个交点，将y=2城代入二次函数

解析式，可得到<+2(a+1)x+a~2a+3=0,根据b'Tac>0,可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.

(2)利用二次函数的图象与x轴有交点，可知b2-4acK),可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.

(3)根据题意求出当x=0时y的值，可证得结论.

16.【答案】(1)解：将点0(0,0)代入，抛物线y=ax2+bx+c,可得c=0,

，该抛物线解析式为y=ax24-bx,

将点A(3,3a)代入，抛物线.y=ax2+bx,

可得3a=9a+3b,解得b=-2a；

(2)解：①若a=l,则该抛物线及直线解析分别为y=x2-2x,y=x,

当t=4时，可有点p(4,0),

如下图，

•••XM=XN=4，

将x=4代入y=X2-2X,可得y=42-2x4=8,即M(4,8),

将x=4代入y=x,可得y=4,即N(4,4),

.\MN=8-4=4；

②当点P从点O运动到点B(2a,0］的过程中，

•・・PM_x轴，P(t,0),

XM=XN=3

将x=t代入.y=ax?—2ax,可得y=at2—2atf即M(t*at2-2at),

将x=t代入y=ax,可得y=at,即N(t,at),

•••MN=|at2-2at-at|=|al2-3atI，

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令MN=O,即at2-3at=0,解得t=O或t=3,

若a>0,可有2a>0,即点B在y轴右侧，如下图,

当0<饪3时，可有MN=-at2+3at,其图像开口向下，对称融为x=1,若MN的长随OP的长的增大

而增大，即MN的长随t的增大而增大，则2a4,，解得aM,,

乙I,

当t>3时，可有.MN=at2-3at..其图像开口向上，对称轴为x=L不符合题意；若a<0,可有2aV

0,即点B在y轴左侧，如下图，

当tVO时，可有.MN=-at2+3at,其图像开口向上，对称轴为x=L若MN的长随OP的长的增大而

增大，即MN的长随t的减小而增大，则2a<L解得

Aa<0.

综上所述，a的取值范围为a<a^O.

【解析】【分析】(1)将原点代入抛物线解析式可得c=0,即该抛物线解析式为y=ax2+bx,再将点A坐标

代入解析式，化简即可求出答案.

(2)①若a=l,则该抛物线及直线解析分别为y=x2-2x,y=x,当t=4时，可有点P(4,0),根据垂直

于x轴的直线上的点的坐标特征可得XM=XN=4,再分别代入抛物线与直线解析式可得M,N点坐标，再根

据两点间距离即可求出答案.

②当点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得XM=XN=3

再分别代入抛物线与直线解析式可得M(t，at2—2at),N(t,al),根据两点间距离可得MN=|at?-3at|,令

MN=0,解方程可得t=0或t=3,分情况讨论：若a>0,可有2a>0,即点B在y轴右侧，当0V£3时,

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可有MN=-at2+3at,其图像开口向下，对称轴为x=|,若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN

的长随t的增大而增大，则2aw|,解得aW*,当t>3时，可有.MN=at2-3at,其图像开口向上，

对称轴为x=,,不符合题意；若aVO,可有2aV0,即点B在y轴左侧，当tVO时，可有.MN=

-at2+3at,其图像开口向上，对称轴为x=£,若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随〔的减

33

--

小而增大,24即可求出答案.

17.【答案】(1)解：把x=-2,y=・2、x=l,y=l代入得

(4a—2b-2=-2

ta+b-2=1

解方程组：得

・•・这个二次函数的表达式为y=x2+2x-2

(2)解：丫=/+2%一2=(%+1)2-3;故它的顶点坐标为(-1,-3)

它的图象如图

【解析】【解答】(3)

解：设平移后的二次函数解析式为：y=(x+l-n)2-3

抛物线的对称轴为直线x=n-l

•.•抛物线的二次项系数为1

••・函数有最小值-3且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧，y随汇的增大而减小

0<x<3

J.当M—1V0时,(3+1—TI)2—3—[(0+1—九)2—3]=5

解得九=需与?1一140矛盾，故应舍去；

当04沱—143时，(3+1—71)2—3—(-3)=5或(1-n)2-3-(-3)=5

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解得九=4—甚或n=14-V5;

当九一1>3时，(0+1-n)2-3-[(3+1-n)2-3]=5

解得"二学，与九一1》3矛盾，故应舍去；

综上所述，n=4—县或n=1+V5

【分析】

(1)利用待定系数法直接求解即可；

(2)把一次函数的一般形式通过配方转化为顶点式即可，当然也可以直接应用公式法，即对于一次函数丫=

。％2+以+武。工0),其顶点坐标为(一上,学其)；

\乙C4**14/

(3)先由平移变换写出平移后的抛物线的解析式，则抛物线的对称轴为直线％=九-1,由于抛物线的二次

项系数为正，则抛物线开口向上，函数有最小值-3,再分类讨论，即当对称轴在原点左侧时，此时函数的最

大值为％=3对应的函数值，最小值为％=0时的对应值，由题意列方程并求解即可；当对称轴在直线x=3的

右侧时，此时函数的最大值为％=0对应的函数值，最小值为％=3时的对应值，由题意列方程并求解即可；

当对称轴在y轴与直线x=3之间时，由于对称轴到y轴的距离与到直线％=3的距离大小不确定，因此最大值

可能是x=3对应的函数值也可能是％=0对应的函数值，所以再分两种情况进行计算即可.

18.【答案】解：(I)Q=-l,b=2,c=3,

该抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

vy=-x2+2x+3=-(x-I)2+4,

该抛物线顶点P的坐标为(1,4).

(II)①：点4(-1,0)在抛物线y=ax2+bx+c(a<0,b>0)上，

得0=Q—b+c.即。=匕一a.又Q=—2,点C(0,c),

OC=c=b+2,AO=1.

根据题意，点。在第四象限，过点。作。Hlx轴于点H.

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AAHD=90°.得+^ADH=90°.

v^CAD-90°,有4C/l。+乙HAD-90°.

^Z.ADH=乙CAO.

'：AD=AC,Z.AHD=Z.AOC=90°,

：.LADH=△CAO.

ADH=AO=1,AH=OC=b+2.

由OH=AH-4。，得OH=b+l.

•••点。的坐标为3