2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第三节 圆的方程

第九章平面解析几何第三节

圆的方程课标解读考向预测1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．近三年主要考查了圆的方程及应用，主要以选择题或填空题的形式出现．预计2026年高考仍会考查，且以选择题、填空题为主，难度中档．必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础定义平面上到______的距离等于______的点的集合叫做圆方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C_______半径为____一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心C____________半径r＝______________1．圆的定义及圆的方程定点定长(a，b)r2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之间存在着下列关系：1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．×√√(2)(人教A选择性必修第一册2．4．1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是__________________．(x－1)2＋(y－1)2＝2(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．解析：∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1．又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2．2(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为____________________．(x＋3)2＋(y－3)2＝10考点探究—提素养

求圆的方程(1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是__________________．x2＋y2＋4x－2y＝0(2)(2025·四川成都模拟)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为____________________．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．1．(2025·湖南长沙模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为_____________________．(x－2)2＋(y＋1)2＝132．(2025·山东青岛模拟)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的一般方程为______________________．x2＋y2－2x＋2y－3＝0与圆有关的轨迹问题

已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．3．已知两点A(－5，0)，B(5，0)，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程为__________________．4．(2025·陕西西安期末)已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上一点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．

与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助几何性质求最值考向2构建目标函数求最值12

建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．考向3利用对称性求最值

一束光线，从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是________．求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．7．已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考向点与圆的位置关系求圆的方程圆的一般方程的应用求圆的方程与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题与圆有关的范围问题求圆的方程；点与圆的位置关系考点由点与圆的位置关系求参数的取值范围求圆的标准方程二元二次方程表示的曲线与圆的关系求圆的标准方程借助几何性质求最值借助几何性质求最值构建目标函数求最值求圆的一般方程；由标准方程确定圆心和半径；判断点与圆的位置关系题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向圆系方程与圆有关的轨迹问题求圆的方程与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题求圆的方程；对称问题圆的几何性质的应用；求圆的方程；圆的一般方程的应用与圆有关的范围问题与圆有关的轨迹问题；与圆有关的最值问题考点由标准方程确定圆心的轨迹；判断点与圆的位置关系求圆的标准方程利用对称性求最值借助几何性质求最值点关于直线对称圆过定点问题借助几何性质求最值；构建目标函数求最值关联点平面向量的数量积平面向量的数量积一、单项选择题1．已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为(

)A．(－1，＋∞) B．(－1，0)C．(－1，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：∵点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，∴a2－4a＞0，且12＋12＋a＋a＞0，解得－1＜a＜0或a＞4．∴实数a的取值范围为(－1，0)∪(4，＋∞)．故选C．2．在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为(

)A．x2＋(y＋5)2＝5 B．x2＋(y－5)2＝5C．x2＋(y＋5)2＝25 D．x2＋(y－5)2＝253．方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(

)A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]解析：由方程x2＋y2＋2x－m＝0，可化为(x＋1)2＋y2＝m＋1，要使得方程x2＋y2＋2x－m＝0表示一个圆，则满足m＋1>0，解得m>－1，所以m的取值范围为(－1，＋∞)．故选A．4．(2025·山东淄博淄川区期末)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋6＝0对称的圆的标准方程为(

)A．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4 B．(x－4)2＋(y＋6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4 D．(x－6)2＋(y－4)2＝46．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(

)A．7 B．6C．5 D．4解析：∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3，4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6．故选B．7．(2025·山东枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知A(－3，0)，B(1，0)，P为圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的动点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为(

)A．34 B．40C．44 D．4810．设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列结论正确的是(

)A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆Ck均不经过点(3，0)C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：圆心C的坐标为(k，k)，在直线y＝x上，故A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简，得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，故B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简，得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D正确．故选ABD．三、填空题11．(2024·安徽蚌埠模拟)已知定点A(4，0)，P是圆x2＋y2＝4上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是______________．(x－2)2＋y2＝112．已知圆C过点A(－2，0)，B(2，4)，当圆心C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为____________________．(x－1)2＋(y－1)2＝1013