2022-2023学年河北省张家口市高二上学期期末数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页河北省张家口市2022-2023学年高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知两条直线和相互垂直，则（

）A． B． C． D．2．若点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．3．椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（

）A．相交 B．外切 C．外离 D．内含5．已知正方体的棱长为3，分别在上，且，则（

）A．3 B． C． D．46．已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，则（

）A． B． C． D．7．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知为等比数列，，，则（

）A．3 B． C． D．二、多选题9．下列选项正确的有()A．eq\f(x－x0,y－y0)＝2表示过点P(x0，y0)，且斜率为2的直线B．a＝(2,1)是直线x－2y－4＝0的一个方向向量C．以A(4,1)，B(1，－2)两点连线为直径的圆的方程为(x－4)(x－1)＋(y－1)(y＋2)＝0D．直线(m＋1)x＋(2m－1)y－1－4m＝0(m∈R)恒过定点(2,1)10．已知为等差数列的前项和，，，则下列选项正确的有（

）A．数列是单调递增数列 B．当时，最大C． D．11．已知椭圆的离心率为，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，的周长为，则下列选项正确的有（

）A．椭圆的方程为B．C．内切圆的面积的最大值为D．12．在长方体中，，为棱的中点，点满足，其中，则下列结论正确的有（

）A．当时，异面直线与所成角的余弦值为B．当时，C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，存在点，使得三、填空题13．已知空间向量，，则_________________．14．已知点为双曲线的左焦点，过点作倾斜角为60°的直线，直线与双曲线有唯一交点，且，则双曲线的方程为________________．15．已知数列满足，为数列的前项和，恒成立，则的最小值为______________．16．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为_______________．四、解答题17．已知为等差数列的前项和，若.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前50项和.18．已知直线与圆交于两点．(1)当最大时，求直线的方程；(2)若，证明：为定值．19．“十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用，下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．(1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）．(2)已知直线是抛物线的对称轴，为直线与水面的交点，为抛物线上一点，分别为抛物线的顶点和焦点．若，，求桥面与水面的距离．20．已知数列满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．21．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，．(1)求证：平面；(2)若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．22．已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程．(2)已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．①；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

参考答案1．【答案】D【详解】两条直线和相互垂直，则，解得.故选：D2．【答案】B【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，故抛物线为，故其准线方程为：故选：B3．【答案】A【详解】因为椭圆，所以，则，又，所以，，所以椭圆的离心率为.故选：A.4．【答案】B【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为，圆，圆心，半径为，，圆与圆的位置关系为外切，故选：B5．【答案】A【详解】依题意，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则，因为，所以，所以，故.故选：A..6．【答案】B【详解】第一行有1个数，第二行有2个数，…，第行有个数，所有中，的最大值是13，前行共有个数，第100个数字在第14行的第9个数，根据通项可知，第9个数是，即.故选：B7．【答案】C【详解】设点为直线上的动点，由可看作与的距离和与的距离之和，设点则点为点关于直线的对称点，故，且，所以，当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为.故选：C8．【答案】C【详解】因为为等比数列，所以，又,可解得或，设等比数列的公比为,则当时,,∴；当时,,∴.故选：C9．【答案】BCD【解析】对于A，方程eq\f(x－x0,y－y0)＝2，y≠y0，点P(x0，y0)不在直线上，故A错误；对于B，因为直线x－2y－4＝0的斜率为eq\f(1,2)，所以a＝(2,1)是直线x－2y－4＝0的一个方向向量，故B正确；对于C，设M(x，y)是所求圆上任意一点，则eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(BM,\s\up6(→))，因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－4，y－1)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x－1，y＋2)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x－4)(x－1)＋(y－1)(y＋2)＝0，即所求圆的方程为(x－4)(x－1)＋(y－1)(y＋2)＝0，故C正确；对于D，直线方程化为m(x＋2y－4)＋x－y－1＝0(m∈R)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以直线恒过定点(2,1)，故D正确．10．【答案】BC【详解】对于A，设的公差为，因为，所以，又，所以，故，所以数列是单调递减数列，所以A错误；对于B，因为，所以，所以当时，最大，所以B正确；对于CD，因为，，，所以，，所以C正确，D错误．故选：BC11．【答案】ABD【详解】对于A，的周长为，，又离心率，，，，椭圆的方程为，A正确；对于B，（当且仅当，即为椭圆短轴端点时取等号），B正确；对于C，设内切圆的半径为，则；当为椭圆短轴端点时，，，内切圆面积的最大值为，C错误；对于D，当为椭圆短轴端点时，取得最大值，此时取得最小值，为椭圆短轴端点时，，，，当为椭圆上的动点时，，D正确.故选：ABD.12．【答案】AB【详解】A.当时，，此时点是与的交点，如图，建立空间直角坐标系，，，，，，，所以，故A正确；B.当时，，此时，点在线段上，（分别是棱的中点），此时，，，，，，所以恒成立，所以当时，有，故B正确；C.当时，，此时点在线段上，（分别是的中点），，，，当时，有，即，，所以方程无解，不存在点使，故C错误；D.当时，，此时点在线段上，,，，，，，若，则，解得：，不成立，所以不存在点，使得，故D错误.故选：AB13．【答案】【详解】∵，，∴存在实数t使得，∴∴，∴故答案为：.14．【答案】【详解】由题知，因为点为双曲线的左焦点，过点作倾斜角为60°的直线，直线与双曲线有唯一交点，所以直线与渐近线平行，所以，即，所以双曲线为，因为，所以，即，所以，解得，或（舍去），所以，所以双曲线的方程为，故答案为：.15．【答案】【详解】因为，当时，，又当时，，所以，因为恒成立，所以，即的最小值为.故答案为：.16．【答案】【详解】圆，所以圆心为，半径，,所以切线长，以为圆心，为半径的圆的方程为：，直线为圆与圆的公共弦，所以由得.故答案为:.17．【答案】(1)；(2)1670.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，即，解得，所以.（2）由（1）得，令，解得，当时，，则；当时，，则；所以.18．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当最大时，为直径，即直线过圆心，把圆心代入直线的方程，有，解得，直线的方程为.（2）证明：设，，由题意知k存在，由，得所以，，且，因为，，，所以，即为定值.19．【答案】(1)16米(2)8米【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知：抛物线过点，代入得，解得，故焦准距为（米）（2）由（1）可得：抛物线的方程为，则其焦点，顶点，设，∵，则，∴，即，又∵，且，∴，解得，故桥面与水面的距离为（米）20．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，又，故，所以，即，故又，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，故数列的通项公式为（2）设，其前n项和为，则，，所以，所以，所以21．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）四边形为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，；，，又，平面，平面.（2）作，垂足为，作，交于，平面平面，平面平面，平面，平面，由（1）知：，，，，，，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，解得：，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，即平面与平面夹角的余弦值为.22．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）依题意，设动圆的圆心为，半径为r，因为该动圆与圆外切，与圆内切，此处要特别注意圆在圆的内部与圆相切，否则圆无法与圆外切，所以，，所以，由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以曲线C的方程为..（2）选择①②⇒③：设直线l：y＝kx＋m，A，B，联立，消去，得x2－16mkx－8m2－8＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，因为，k1＋k2＝0，所以＋＝0，即＋＝0，即2kx1x2＋－8＝0，所以2k×＋－8＝0，化简得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0，所以或m＝1－4k，当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝k＋1过点P，不满足题意，舍去；当时，由于曲线是双曲线的右支，易知，又由x2－16mkx－8m2－8＝0得，此时，则，解得，故，即时，满足题意，综上：，所以③成立.选择①③⇒②：设直线l：y＝－x＋m，A，B，联立，消去，得，所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，由