2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试(二)数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页皖豫名校联盟2022-2023学年高二上学期阶段性测试（二）数学试题一、单选题1．直线：与两坐标轴围成的三角形的面积是（

）A．5 B．4 C．3 D．22．已知在空间四边形中，，则（

）A． B． C． D．3．已知圆关于直线对称，且点在该直线上，则实数（

）A．3 B．2 C． D．4．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．5．若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数（

）A．-1 B．1 C．±1 D．06．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．某公司要建一个以甲、乙、丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离为12km，且甲、丙两地的距离是乙、丙两地距离的倍，则这个三角形养鱼场的面积最大是（

）A． B． C． D．8．已知抛物线的焦点为，点在上，点的横坐标为，点的纵坐标为，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知空间中三点，，，则（

）A．向量与互相垂直B．与方向相反的单位向量的坐标是C．与夹角的余弦值是D．在上的投影向量的模为10．已知曲线：，则（

）A．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则的焦距为B．若曲线表示椭圆，则的取值范围是C．若，则的焦点坐标是和D．若，则的渐近线方程为11．已知圆：与圆：，则（

）A．若圆与轴相切，则B．若，则圆与圆相交C．当时，两圆的公共弦长为D．直线与圆始终有两个交点12．已知椭圆：的左顶点为，左、右焦点分别为，，点在上，且直线AM的斜率为.点P是椭圆C上的动点，则（

）A．椭圆的离心率为B．若，则点的横坐标的取值范围是C．的取值范围为D．椭圆上有且只有4个点，使得是直角三角形三、填空题13．已知空间向量，，，则与的夹角为__________.14．已知椭圆：的短轴长为6，，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，若的最大值为16，则椭圆C的离心率为__________.15．已知直线与圆：交于A，B两点，则的面积的最大值为__________.16．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为__________.四、解答题17．已知在中，边BC和AC所在的直线方程分别为和，边AB的中点为.(1)求点，的坐标；(2)求BC边上的中线所在的直线的方程.18．如图，在棱长为2的正方体中，线段DB的中点为F，点G在棱CD上，且满足.(1)若E为棱的中点，求证：；(2)求直线与所成角的余弦值.19．已知圆：过点，且圆关于直线：对称的圆为圆.(1)求圆的方程；(2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.20．已知抛物线：，直线与抛物线C相交于A，B两点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P的坐标为，过抛物线焦点的直线交C于M，N两点，求的最小值.21．如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点.(1)证明：平面ABC；(2)问：在棱BC上是否存在点M（不与棱BC的端点重合），使得平面PAM与平面PAC的夹角为30?若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.22．已知椭圆：的左焦点为，左顶点为，离心率为.(1)求的方程；(2)若过坐标原点且斜率为的直线与E交于A，B两点，直线AF与的另一个交点为，的面积为，求直线的方程.

参考答案1．【答案】D【详解】令，得，令，得由题可知直线与两坐标轴的交点分别为，，所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是.故选：D.2．【答案】A【详解】因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.故选：A.3．【答案】D【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线，因此，即，又，所以，.故选：D4．【答案】B【详解】过点C的直线与线段AB相交，，，又该直线与轴垂直时，斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围为.故选：B.5．【答案】D【详解】将化为标准方程得，即圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为1.因为圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆的位置关系为内切，所以，即，解得.故选：D6．【答案】C【详解】以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，解得，，∴.∵，，∴直线与平面所成角的余弦值为.故选：C.7．【答案】B【详解】以点A，B，C分别表示甲、乙、丙地，以线段AB的中点О为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设点，则，即，整理可得，∴点C的轨迹是以点为圆心，为半径的圆除去与轴的交点后所得曲线，∴.故选：B8．【答案】A【详解】由抛物线方程知：焦点，准线，，，，又点横坐标为，即在准线上，由抛物线定义知：，即轴，，，，与为全等的等边三角形，直线方程为：，由得：或；当时，，不合题意，，即点横坐标为，.故选：A.9．【答案】ABC【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.故选：ABC10．【答案】AC【详解】A.由题可得，，解得，则，，，则C的焦距为，A正确；B.若曲线C表示椭圆，则，B错误；C.当时，曲线：，则，，则，所以的焦点坐标是和，C正确；D.当时，曲线：表示双曲线，则其渐近线方程为，D错误.故选：AC11．【答案】BD【详解】由题可知圆：是以为圆心，2为半径的圆，若圆与x轴相切，则有，所以，故A错误；当时，，两圆相交，故B正确；当时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为1，所以两圆的公共弦长为，故C错误；直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.故选：BD.12．【答案】CD【详解】由题意可知直线的方程为，令，可得，则，又椭圆C过点，所以，解得，所以C的方程为.设椭圆的半焦距为，则，椭圆的离心率为，故A错误；设点的坐标为，则，又，所以，所以，又，解得，故点P的横坐标的取值范围是，故B错误；又，，则，因为，所以，所以，故C正确；若为直角三角形，且点为直角顶点，则，故，该方程无解，故以点Р为直角顶点的不存在，又当点的坐标为或时，是以点为直角顶点的三角形，当点的坐标为或时，是以点为直角顶点的三角形，所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.故选：CD.13．【答案】【详解】由题可知，因为，所以，所以，又，所以与的夹角为.故答案为：.14．【答案】【详解】因为，所以（当且仅当时，等号成立），则a=4.由题可知，所以，又，解得，所以.故答案为.15．【答案】【详解】圆：的圆心坐标为，半径.由圆心到直线的距离，解得.直线被圆截得的弦长为，所以的面积，当且仅当，即或1时取“=”.故答案为：16．【答案】【详解】不妨设点Р在第一象限，双曲线C的半焦距为，因为与C的右支有两个交点，C的一条渐近线的斜率，则C的离心率.若，根据双曲线的定义知，所以，所以，.由题可知，在中，由余弦定理可得，整理得，即，解得（负值舍去），此时，满足条件.若，则与上面的分析类似可得，，在中，，再由余弦定理求得，此时不满足条件.综上可得.故答案为：17．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）因为边AB的中点为.设，，则，即，；（2）设边BC的中点为G.由于边BC和AC所在的直线方程分别为和，所以两直线方程联立，解得，，即C点的坐标为.又B点的坐标为，所以点的坐标为.又A点的坐标为，所以直线的方程为，即.18．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.因为，，所以.所以，故.（2）由（1）中的坐标系及题意可知，，，.因为，.所以，又，，所以，故直线与所成角的余弦值为.19．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由题可知.因为圆过点，所以，故，设关于直线的对称点的坐标为，则，解得，所以圆的方程为.（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离为，（ⅰ）当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意；（ⅱ）当直线的斜率存在时，可设其方程为，即，所以圆心到的距离为，解得.综上所述，直线的方程为或.20．【答案】(1)(2)13【详解】（1）由可得.∴，.∴，解得（负值舍去），∴抛物线C的方程为.（2）设，.由题意知抛物线的焦点坐标为，直线的斜率不等于0，故可设直线的方程为，由可得，由根与系数的关系得，，∴，∴当时，取得最小值，且最小值为13.21．【答案】(1)证明见解析(2)存在，点M在棱BC的靠近点B的三等分点处【详解】（1）由题可知，，且，∴.连接BO，如图，则，且.∵是边长为4的等边三角形，∴，，且.从而有，故.∵，∴平面.（2）假设存在满足题意的点.由（1）可知，可以О为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.，，.