2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第三节 第2课时 列联表与独立性检验

第十章统计与成对数据的统计分析第三节成对数据的统计分析第2课时列联表与独立性检验课标解读考向预测1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.预计2026年高考列联表、独立性检验可能会以实际问题为背景，与概率、随机变量的分布列及数字特征相结合命题，难度适中.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值均为0，1，其2×2列联表为XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋dP(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)越小χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值：(4)基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(5)应用独立性检验解决实际问题的主要环节①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；③根据检验规则得出推断结论；④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则认为两分类变量有关的把握越大．题组一走出误区——判一判(1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．(

)(2)2×2列联表是借助两个分类变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联．(

)(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．(

)(4)分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．(

)×√××题组二回归教材——练一练(1)(人教B选择性必修第二册4.3.2练习AT2改编)为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120名学生，得到如下2×2列联表：单位：人则a－b－c＝(

)A．7

B．8

C．9

D．10体育锻炼性别合计男女爱好ab73不爱好c25合计74解析：根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9.体育锻炼性别合计男女爱好ab73不爱好c25合计74(3)(人教B选择性必修第二册4.3.2练习AT4改编)已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．解析：因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．0.01考点探究—提素养列联表(1)下面是一个2×2列联表，则表中a，c处的值分别为(

)A．98，28 B．28，98C．48，45 D．45，48解析：由2×2列联表知a＋25＝73，b＋25＝49，b＋21＝c，解得a＝48，b＝24，c＝45.故选C.

XY合计y1y2x1a2573x221bc合计d49(2)假设两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：对于同一样本，下列数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是(

)A．a＝40，c＝20 B．a＝45，c＝15C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30XY合计y1y2x1a10a＋10x2c30c＋30合计a＋c40100在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．独立性检验的应用(2025·山西太原模拟)为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位：μg/m3)，整理数据得到下表：空气质量等级SO2的浓度(150，475][0，50](50，150]1(优)28622(良)5783(轻度污染)3894(中度污染)11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据上述数据，回答下列问题：(1)估计事件“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；(2)完成下面的2×2列联表；单位：天(3)根据(2)中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？空气质量SO2的浓度合计[0，150](150，475]空气质量好空气质量不好合计

2.(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：单位：件车间产品等级合计优级品合格品不合格品甲车间2624050乙车间70282100合计96522150(1)填写如下列联表：单位：件能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？车间产品等级合计优级品非优级品甲车间乙车间合计α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★★★考向列联表独立性检验列联表独立性检验独立性检验列联表独立性检验独立性检验考点根据列联表求参数零假设两变量关系强弱的判断两变量有关的把握大小两变量是否存在差异的判断根据两变量关系的可能性大小确定参数已知两变量有关求参数两变量有关的把握大小题号9101112131415难度★★★★★★★★★★★★★★考向独立性检验独立性检验独立性检验独立性检验列联表；独立性检验独立性检验列联表；独立性检验考点χ2的计算；两变量是否有关的判断两变量是否有关的判断已知两变量有关求参数χ2的计算；两变量是否有关的判断根据列联表求参数；两变量是否有关的判断已知两变量有关求参数补全列联表；两变量是否有关的判断一、单项选择题1．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(

)A.27，38 B．28，38C．27，37 D．28，37解析：a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.XY合计y1y2x1a835x2113445合计b42802．(2025·江苏徐州模拟)想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验(

)A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关解析：独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够否定假设．3．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为则当整数m取________时，X与Y的关系最弱．(

)A．8 B．9C．14 D．19XY合计y1y2x1101828x2m26m＋26合计m＋1044m＋54解析：在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．XY合计y1y2x1101828x2m26m＋26合计m＋1044m＋544．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：单位：人则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为(

)年龄饮食习惯合计偏爱蔬菜偏爱肉类50岁以下481250岁以上16218合计2010305．(2025·山东枣庄模拟)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：单位：人合计，21，115，136根据小概率值α＝0.005的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005＝7.879)，则可以认为(

)A．两种疗法的效果存在差异B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005C．两种疗法的效果没有差异D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369解析：零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，计算得χ2≈4.881<7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异．疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙663696．假设有两个变量X与Y的2×2列联表如下：对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(

)A．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50B．a＝50，b＝30，c＝30，d＝40C．a＝30，b＝60，c＝20，d＝50D．a＝50，b＝30，c＝40，d＝30XY合计y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d解析：对于A，|ad－bc|＝200；对于B，|ad－bc|＝1100；对于C，|ad－bc|＝300；对于D，|ad－bc|＝300，显然B中|ad－bc|最大，该组数据能说明X与Y有关系的可能性最大．XY合计y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d7．(2024·山西临汾二模)人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开拓眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校高中学生的阅读情况进行了调查，结果如下：单位：人性别是否喜欢阅读合计喜欢阅读不喜欢阅读男26060320女200Mm＋200合计460m＋60m＋5208．(2025·湖北八市联考)某省采用“3＋1＋2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取200人，其中选考物理的120人，选考历史的80人，统计各选科人数如下表，则下列说法正确的是(

)A.物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高B．物理类的学生中选择生物的比例比历史类的学生中选择生物的比例低C．有90%的把握认为是否选择生物与选考类别有关D．没有95%的把握认为是否选择生物与选考类别有关

选择科目选考类别思想政治地理化学生物物理类35509065历史类50453035二、多项选择题9．(2025·广东湛江模拟)某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：单位：人下列说法正确的是(

)性别是否患过某流行疾病合计患过该疾病未患过该疾病男a＝20ba＋b女cd＝50c＋d合计a＋c8011010．为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)：单位：人阅读量多少幸福感强弱合计幸福感强幸福感弱阅读量多m1872阅读量少36n78合计9060150计算得χ2≈12.981，参照下表：下列说法正确的是(

)A．根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”B．m＝54C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”D．n＝52α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：∵χ2≈12.981>7.879>6.635，∴根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，∴A错误，C正确；∵m＋36＝90，18＋n＝60，∴m＝54，n＝42，∴B正确，D错误．故选BC.三、填空题11．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n(n∈N*)个人，得到如下列联表：已知x0.05＝3.841，若根据α＝0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为______．性别是否为社交电商用户合计是不是男8n12n20n女12n8n20n合计20n20n40n3性别是否为社交电商用户合计是不是男8n12n20n女12n8n20n合计20n20n40n12．为了探究电离辐射剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天的结果如下表所示：由表中数据算得：χ2＝________，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用________．(填“相同”或“不相同”)电离辐射剂量存活情况合计死亡存活第一种剂量141125第二种剂量61925合计2030505.333不相同电离辐射剂量存活情况合计死亡存活第一种剂量141125第二种剂量61925合计203050四、解答题13．(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：(1)求s，t；(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为P，给出P的估计值；(3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82814．长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，选取甲、乙两地实验田