2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第三节 第1课时 二次函数及其性质

第二章一元二次函数、方程和不等式第三节二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数及其性质课标解读考向预测1.掌握二次函数的图象与性质.2.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.3.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题.预计2026年高考对于二次函数的考查，还是以结合一元二次方程判断根的分布为主，也可能与其他函数复合考查与函数单调性有关的问题，难度不会太大.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：________________(a≠0)．(2)两根式：________________(a≠0)．(3)顶点式：________________(a≠0)．y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－x1)(x－x2)y＝a(x－h)2＋k解析式y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR值域______________________________2．二次函数的图象与性质单调性在______________上单调递减；在______________上单调递增在________________上单调递增；在____________上单调递减对称性函数的图象关于直线_____________对称××××题组二回归教材——练一练(1)(北师大版必修第一册习题2－2T3改编)函数y＝x2－2x，x∈[0，3)的值域是(

)A．[0，3) B．(－1，3)C．[－1，3) D．[0，3](2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(

)考点探究—提素养

二次函数的解析式

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝_____________．－4x2＋4x＋7

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：1.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________．x2－2x＋3

二次函数的图象(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列四个结论中正确的是(

)A．b2＞4ac B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D．5a＜b

识别二次函数图象应学会“三看”2.若abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(

)解析：因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，对于A，a<0，b<0，c<0，不符合题意；对于B，a<0，b>0，c>0，不符合题意；对于C，a>0，b>0，c<0，不符合题意；对于D，a>0，b<0，c<0，符合题意．故选D.

二次函数的性质(多考向探究)考向1二次函数的单调性

(2024·广东揭阳二模)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为(

)A．(2，6) B．(－∞，2]∪[6，＋∞)C．(4，12) D．(－∞，4]∪[12，＋∞)

解决二次函数单调性问题的基本方法3.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(

)A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]考向2二次函数的值域与最值

已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________．

求二次函数在闭区间上最值的类型及策略5.设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．7

根的分布(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根均为正数，则实数m的取值范围是_______________．(2)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若该方程有两根，且其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为___________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m的取值范围为_____________．

一元二次方程根的分布解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数的零点间的关系，借助图象，从以下四个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解：(1)开口方向；(2)判别式的符号；(3)对称轴与所给区间的位置关系；(4)区间端点处函数值的符号．6.已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．7．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．(－3，0)课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考向二次函数的性质二次函数的性质二次函数的图象二次函数的性质二次函数的图象二次函数的零点问题二次函数的性质考点二次函数的值域二次函数的单调性二次函数图象的应用由二次函数的单调性求参数的取值范围二次函数图象的应用由二次函数的零点个数求参数的取值范围由二次函数的值域求参数的最值题号891011121314难度★★★★★★★★★★考向二次函数的性质二次函数的图象二次函数的图象与性质二次函数的零点问题二次函数的解析式二次函数的图象与性质二次函数的性质考点由二次函数的单调性和最值求参数的取值范围二次函数图象的应用二次函数图象与性质的综合二次函数零点的应用求二次函数的解析式由二次函数的定义域、值域求参数的取值范围求与二次函数相关的复合函数的值域题号151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★考向二次函数的性质二次函数的性质二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质二次函数的性质考点与二次函数相关的复合函数的值域问题与二次函数相关的函数单调性问题与二次函数相关的函数最值问题已知部分函数值求参数与二次函数相关的函数最值问题二次函数的最值一、单选题2．(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)＝2x2－mx＋1在区间[－1，＋∞)上单调递增，则f(1)的取值范围是(

)A．[7，＋∞) B．(7，＋∞)C．(－∞，7] D．(－∞，7)3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，则(

)A．∀x∈(0，1)，都有f(x)>0 B．∀x∈(0，1)，都有f(x)<0C．∃x∈(0，1)，使得f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得f(x)>0解析：由a>0，c<0，a＋b＋c＝0可知函数f(x)的图象开口向上，又f(0)＝c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)<0.故选B.5．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(

)A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<07．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为(

)A．0 B．1C．2 D．4解析：设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c(t≥k)，函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的一部分，即g(x)的值域为f(x)的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，可得k≤2，即实数k的最大值为2.故选C.二、多项选择题9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0 D．abc<010．(2025·河南名校模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，(a－1)2－4b<0，则下列结论正确的是(

)A．∃x∈R，f(x)≤x B．∀x∈R，f(x)>xC．∀x∈R，f(f(x))>x D．a＋b>0三、填空题12．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，其图象截x轴所得的线段长为2，且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________________．f(x)＝x2－4x＋3解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又f(x)的图象截x轴所得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.13．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则实数a的取值范围为________．(2，4]解析：函数y＝x2－4x－4的图象如图所示，因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，故实数a的取值范围为(2，4]．14．已知函数f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则f(x)的值域是____________．[－16，＋∞)17．(2024·安徽淮北二模)当实数t变化时，函数f(x)＝|x2＋t|，x∈[－4，4]最大值的最小值为(

)A．2B．4