2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第三节 导数与函数的极值、最值

第四章一元函数的导数及其应用第三节导数与函数的极值、最值课标解读考向预测1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.近三年高考题中利用导数求函数的极值和最值是必考的考点．预计2026年高考极值和最值问题在选择题、填空题和解答题中都有可能出现，难度保持稳定或略有降低.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_______，则___叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)<0f′(x)>0a(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧_______，则___叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为_____．f′(x)>0f′(x)<0b极值点极值2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的_______；②将函数y＝f(x)的各极值与______________________比较，其中最大的一个是_______，最小的一个是_______．连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大值最小值1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．4．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．题组一走出误区——判一判(1)函数的极小值一定是函数的最小值．(

)(2)函数的极小值一定不是函数的最大值．(

)(3)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(

)×√×(2)(人教A选择性必修第二册5.3T4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：由导函数f′(x)的图象知，在x＝－2处，f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以－2是f(x)的极大值点；在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，所以－1是f(x)的极小值点；在x＝2处，f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，所以2是f(x)的极大值点．综上所述，f(x)的极小值点的个数为1.4考点探究—提素养(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论中正确的是(

)A．f(x)的单调递增区间是(－1，2)，(4，＋∞)B．－1是f(x)的极小值点C．f(x)在(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数D．2是f(x)的极小值点

导数与函数的极值(多考向探究)考向1根据函数图象判断极值(点)解析：根据题中图象知，当x∈(－1，2)∪(4，＋∞)时，f′(x)>0，故函数f(x)在(－1，2)，(4，＋∞)上单调递增；当x∈(－3，－1)∪(2，4)时，f′(x)<0，故函数f(x)在(－3，－1)，(2，4)上单调递减，故A，C正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，－1是f(x)的极小值点，故B正确；当x＝2时，f(x)取得极大值，2不是f(x)的极小值点，故D错误．故选ABC.

由图象判断函数y＝f(x)的极值的方法由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．1.已知函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则(

)A．f(x)有2个极值点B．f(x)在x＝1处取得极小值C．f(x)有极大值，没有极小值D．f(x)在(－∞，1)上单调递减解析：由题图，得f(x)在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，∴f(x)有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确．故选C.考向2求已知函数的极值(点)

(2025·江苏东台一中高三模拟)求函数f(x)＝ex－ln(x＋1)的极值．

求函数f(x)极值的一般解题步骤考向3已知函数的极值(点)求参数(1)(2025·安徽合肥高三模拟)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极小值0，则a＋b＝(

)A．7 B．6C．5 D．11解析：因为函数f(x)的定义域是R，f′(x)＝ex－x－a，令h(x)＝ex－x－a，则h′(x)＝ex－1，所以在区间(－∞，0)上，h′(x)<0，h(x)单调递减；在区间(0，＋∞)上，h′(x)>0，h(x)单调递增．要使f(x)有两个极值点，则f′(0)＝h(0)＝1－a<0，a>1，又当x趋于－∞时，f′(x)趋于＋∞，当x趋于＋∞时，f′(x)趋于＋∞，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．(1，＋∞)

已知函数的极值(点)求参数的方法(1)对于可导函数y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要条件，即当已知可导函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解，但应检验极值点两侧的导数是否异号．(2)若函数f(x)在区间I上有极值点，则f′(x)在区间I上有变号的零点，亦即方程f′(x)＝0有满足相应条件的实数根，从而可转化为方程有解问题，也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解．4．(2025·湖南长沙高三模拟)已知函数f(x)的导函数g(x)＝(x－1)(x2－3x＋a)，若1不是函数f(x)的极值点，则实数a的值为________．解析：由题意可得，f′(x)＝g(x)＝(x－1)(x2－3x＋a)，若1不是函数f(x)的极值点，设h(x)＝x2－3x＋a，则h(1)＝0，即1－3＋a＝0，解得a＝2，当a＝2时，f′(x)＝(x－1)(x2－3x＋2)＝(x－1)2(x－2)，故当x>2时，f′(x)>0；当x<2且x≠1时，f′(x)<0，因此2是函数f(x)的极值点，1不是函数f(x)的极值点，所以a＝2满足题意．2

导数与函数的最值(多考向探究)考向1求已知函数的最值

(2025·吉林东北师范大学附中高三摸底)已知函数f(x)＝e2x＋ex－x，当x∈[－1，0]时，求f(x)的最大值与最小值．

求函数最值的步骤5.已知函数f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋lnx，若f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为________．－21或e

(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论．(2)已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，再结合已知条件求出参数，进而使问题得以解决．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考向导数与函数的极值导数与函数的最值导数与函数的极值导数与函数的最值导数与函数的极值导数与函数的最值导数与函数的极值导数与函数的最值导数与函数的极值导数与函数的极值、最值考点求已知函数的极值点求已知函数的最值求已知函数的极值由函数的最值求参数的值由函数的极值、极值点求参数的值由函数的最值求参数的值由函数的极值情况求参数的取值范围求函数的最值根据导函数的图象判断极值点求已知函数的极值点、最值题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向导数与函数的极值导数与函数的极值导数与函数的最值导数与函数的极值导数与函数的极值导数与函数的极值导数与函数的极值导数与函数的最值导数与函数的极值考点判断已知函数的极值点求已知函数的极值点由函数的最值求参数的值由极值点的个数求参数的取值范围由函数的极值点求参数的取值范围由函数的极值情况求参数的取值范围判断函数的极值点求函数的最值由函数的极值情况求参数的取值范围一、单项选择题1．(2025·陕西西安一中高三质量监测)函数f(x)＝(x2－8)ex的极小值点为(

)A．2 B．－4e2C．－4 D．8e－4解析：因为f′(x)＝(x2＋2x－8)ex＝(x－2)(x＋4)ex，令f′(x)>0，得x<－4或x>2，令f′(x)<0，得－4<x<2，所以f(x)在(－∞，－4)，(2，＋∞)上单调递增，在(－4，2)上单调递减，故f(x)的极小值点为2.故选A.3．已知函数f(x)＝x2－8x＋6lnx＋1，则f(x)的极大值为(

)A．10 B．－6C．－7 D．0x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增－6单调递减－14＋6ln3单调递增所以f(x)的极大值为f(1)＝－6.故选B.4．已知函数f(x)＝xex＋a在区间[0，1]上的最小值为1，则实数a的值为(

)A．－2 B．2C．－1 D．1解析：因为f′(x)＝(x＋1)ex，所以当x∈[0，1]时，f′(x)>0，则f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝a＝1.故选D.5．函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极小值－3，则a－b的值为(

)A．0 B．6C．3 D．27．(2025·吉林通化三区九校模拟)已知函数f(x)＝2ex－ax2在R上无极值，则a的取值范围是(

)A．(－∞，e] B．(－∞，e)C．[0，e) D．[0，e]二、多项选择题9．(2025·湖南名校高三联考)已知定义在区间(a，b)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的图象如图所示，则(

)A．f(x)在(x4，b)上有增也有减B．f(x)有1个极小值点C．f(x4)<f(x5)D．f(x)有1个极大值点解析：由题图可得，当x∈(a，x2)，(x4，b)时，f′(x)≥0，当x∈(x2，x4)时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(a，x2)，(x4，b)，单调递减区间为(x2，x4)，所以f(x)有1个极大值点，1个极小值点．故A错误，B，D正确；又x4<x5<b，所以f(x4)<f(x5)，故C正确．故选BCD.11．(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2·(x－4)，则(

)A．x＝3是f(x)的极小值点B．当0<x<1时，f(x)<f(x2)C．当1<x<2时，－4<f(2x－1)<0D．当－1<x<0时，f(2－x)>f(x)解析：对于A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当0<x<1时，因为x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0，而由A项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>f(x2)，故B错误；对于C，当1<x<2时，1<2x－1<3，而由A项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(3)<f(2x－1)<f(1)，即－4<f(2x－1)<0，故C正确；对于D，当－1<x<0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)＝2(1－x)3>0，所以f(2－x)>f(x)，故D正确．故选ACD.三、填空题12．函数f(x)＝x3－12x的极小值点为________．解析：因为函数f(x)＝x3－12x，所以由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，令f′(x)>0，得x<－2或x>2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，令f′(x)<0，得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，2)，所以函数f(x)＝x3－12x的极小值点为2.2解析：由题意，得f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.416．(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1