北师大版初中数学九年级上册“用树状图或表格求概率”教案

北师大版初中数学九年级上册“用树状图或表格求概率”教案

一、教学分析

（一）教材分析

本节课内容选自北师大版《义务教育教科书·数学》九年级上册第三章“概率的进一步认识”的第一节。概率论是研究随机现象规律性的数学分支，在义务教育阶段，它是培养学生数据分析观念、随机思想与模型思想的核心载体。本章是在学生七年级已接触“感受可能性”与“频率的稳定性”，八年级初步学习“等可能事件的概率”的基础上，对概率知识进行的系统深化与工具化学习。

本节课的核心内容是学习列举法求概率的两种规范化工具——树状图和表格。教材通过“配紫色”游戏这一经典情境引入，引导学生认识到当一次试验涉及两个或更多因素时，单纯列表可能无法清晰、不重不漏地列举所有等可能结果，从而自然生发出对更结构化工具的需求。树状图与表格作为系统化、可视化的枚举工具，其本质是将复杂的随机事件分解为有序的多个步骤，将样本空间结构化呈现，从而准确计算概率。这部分知识是古典概型计算从直觉化、经验化走向逻辑化、程序化的关键转折点，也是后续学习更复杂概率问题（如涉及三步及以上试验、非等可能事件等）的重要基石。它深刻体现了数学的化归思想、有序思维和模型建构能力，是连接概率初步知识与高中乃至更高阶概率统计学习的桥梁。

（二）学情分析

从认知基础上看，九年级学生已经具备了以下知识与能力储备：

1.理解了随机事件、必然事件、不可能事件等基本概念。

2.掌握了概率的古典定义P(A)=m/n

，并会用直接枚举法（如列表法）计算涉及一步或简单两步等可能试验的概率。

3.具备一定的观察、操作、归纳和简单逻辑推理的能力。

4.在之前的学习中，已经接触过树状图（如搭配问题）和表格，对其形式不陌生。

然而，学生在学习本节时可能面临以下认知障碍与发展空间：

1.思维障碍：从“凭直觉或简单列表”解决问题，过渡到“自觉选择并规范使用工具”解决问题，存在思维范式转换的困难。学生容易在复杂情境中遗漏可能结果，或对“步骤”、“因素”的划分不清晰。

2.理解深度：容易将树状图或表格视为一种机械的画图或填表任务，而忽视其背后“分步分析、有序枚举”的数学思想本质，导致在变化的情境中迁移应用能力不足。

3.工具选择：对于何时选择树状图，何时选择表格，缺乏明确的判断依据，往往凭感觉或机械记忆。

4.表达规范：在绘制树状图和设计表格时，步骤不完整、标注不清、书写不规范等问题普遍存在。

因此，教学设计的出发点应立足于学生的“最近发展区”，通过创设认知冲突，引导他们亲身经历从“需要工具”到“创造/优化工具”，再到“灵活选用工具”的完整认知过程，将操作技能升华为数学思想。

（三）核心素养导向分析

本节课的教学设计将着力发展学生的以下数学核心素养：

1.数据分析观念：通过系统列举所有等可能结果来求概率，是数据分析中“基于样本推断总体特征”思想的基础训练。学生需要学会从杂乱的信息中识别关键因素（步骤），并对其进行结构化、条理化的整理与分析。

2.模型思想：树状图和表格本身就是用于求解特定类型概率问题的数学模型。学生经历从具体问题中抽象出共性特征，建构模型（工具），并应用模型解决问题的完整过程，这是发展模型思想的典型课例。

3.逻辑推理：在绘制树状图或表格时，每一步的推理必须严谨，确保结果的等可能性和完整性。计算概率的过程也是严格的演绎推理。通过对比不同方法的优劣，发展学生的批判性思维和优化意识。

4.应用意识：概率本身源于对现实世界中不确定性的研究。教学设计应紧密联系生活实际（如游戏、决策、风险评估），让学生感受数学工具的实用价值，激发学习内驱力。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.在具体情境中，理解用树状图或表格列举所有等可能结果对于计算复杂事件概率的必要性与优越性。

2.掌握画树状图和列表格的基本方法与规范步骤，能利用这两种工具不重不漏地列举出一次试验中涉及两步或三步的所有等可能结果。

3.能熟练运用树状图或表格计算简单事件（涉及两步或三步）的概率，并解决相关的实际问题。

4.能根据具体问题的特征，初步学会选择使用树状图或表格，并说明理由。

（二）过程与方法

1.经历从实际问题抽象为数学问题，并探索解决方案的过程，体会“分步”和“有序”在解决复杂问题中的策略价值。

2.通过对比、辨析、归纳等活动，自主建构树状图和表格的模型，理解其内在逻辑与联系，发展归纳概括能力。

3.在小组合作与交流中，学会清晰表达自己的思考过程，倾听并评价他人的方法，进行思维的碰撞与优化。

（三）情感、态度与价值观

1.在克服认知困难、成功解决问题的过程中，获得数学学习的成就感和自信心。

2.体会数学工具的简洁美、有序美和逻辑力量，培养严谨求实的科学态度和理性精神。

3.通过概率分析，对生活中的一些随机现象形成更理性的认识，避免盲目决策。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.理解并掌握用树状图或表格不重不漏地列举所有等可能结果的方法。

2.运用树状图或表格计算涉及两步或三步试验的随机事件的概率。

（二）教学难点

1.理解树状图和表格列举法的本质是“分步、有序”思想的体现，并能将实际问题有效分解为若干有序的步骤。

2.在面对具体问题时，能理性分析并灵活选择使用树状图或表格。

四、教学策略与手段

（一）教法设计

1.情境创设法：以精心设计的、富有层次性的问题串（从“配紫色”游戏变式到生活实例）贯穿始终，激发兴趣，制造认知冲突，驱动探究。

2.探究发现法：摒弃直接告知工具的做法，设计“脚手架”式任务，引导学生从已有经验（简单列表）出发，在解决问题的困境中“发明”或“接受”树状图与表格，实现知识的自主建构。

3.对比归纳法：在多个实例的解决过程中，引导学生对比树状图与表格的异同、优劣，归纳其适用条件，促进深度理解。

4.变式教学法：通过改变试验步骤（两步到三步）、因素性质（等可能与非等可能，为后续铺垫）、问题维度等，进行变式训练，巩固方法，提升迁移能力。

（二）学法指导

1.自主探究与合作交流相结合：个人先行思考尝试，小组内讨论碰撞，全班分享提炼，使学生成为学习的主动建构者。

2.“做”中学：强调动手画图、填表，在操作中感悟步骤、理解结构，将内在思维外显化、可视化。

3.反思性学习：在每个关键环节后，设置“反思”或“追问”，引导学生回顾过程，提炼思想方法，实现元认知能力的提升。

（三）教学手段

多媒体课件（用于动态演示树状图生长过程、对比展示不同解法）、实物投影仪（展示学生作品）、学案、彩色卡片（用于课堂活动）等。

五、教学过程设计（两课时）

第一课时：初探工具，建构模型

（一）创设情境，温故引新（预计时间：8分钟）

活动1：回顾旧知，直接切入

教师出示问题1：

一个不透明的袋子中装有红、蓝两个除颜色外完全相同的小球。随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？

学生口答：P(摸到红球)=1/2

。教师强调：这是一个一步试验，所有等可能结果清晰可数。

活动2：制造冲突，激发需求

教师出示核心情境——问题2（教材“配紫色”游戏变式1）：

还是这两个球：红、蓝。但现在游戏规则变了：从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，搅匀，再随机摸出一个球。我们称一次摸出两个球（有顺序）。请问：

（1）两次摸出的颜色相同的概率是多少？

（2）第一次摸出红球且第二次摸出蓝球的概率是多少？

学生独立思考1分钟，并尝试解答。

多数学生会基于已有经验，尝试用之前学过的列表法。教师请1-2名同学板书或口述其列表方法与结果。

可能的列表（学生可能会写出）：

第一次

第二次

结果

红

红

(红，红)

红

蓝

(红，蓝)

蓝

红

(蓝，红)

蓝

蓝

(蓝，蓝)

由此计算出：

(1)颜色相同：P=2/4=1/2

(2)第一次红第二次蓝：P=1/4

教师追问：这个列表清晰吗？它展示了怎样的思考过程？

引导学生发现：这个表格实际上是将试验分成了“第一次摸球”和“第二次摸球”两个步骤，并将所有可能的结果有序配对列出。

设计意图：从学生熟悉的简单列表入手，既复习了旧知，又为新知埋下伏笔。让学生初步体会“分两步”的试验可以用“二维表格”来有序枚举。

（二）问题升级，探究新知（预计时间：22分钟）

活动3：情境复杂化，引出树状图

教师出示问题3（“配紫色”游戏原题，核心情境）：

小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。

（课件展示：转盘A：红、白、蓝三色扇形；转盘B：蓝、黄、绿、红四色扇形）

请问：游戏者获胜（配成紫色）的概率是多少？

学生尝试独立解决。教师观察学生反应。

预设学情：学生试图列表，但很快发现困难：转盘A有3种可能，转盘B有4种可能，如何列表？有的学生可能画出3行4列的表格，但行列分别代表什么？能否清晰表示“同时转动”这个动作？学生产生认知冲突。

教师引导：

1.“同时转动两个转盘”与“先后摸球”在数学本质上是否有区别？（引导学生理解：“同时”可视为一种理想化的“一步”，但分析时为了枚举所有结果，我们常常在思维上将其“分步”处理，例如先考虑转盘A的可能结果，再考虑在A的每一个结果下，转盘B的可能结果。）

2.当试验涉及的因素（或步骤）不止一个，且每个因素的可能结果数不同时，我们刚才那种简单的二维列表似乎不够直观，容易混乱。我们能否发明一种更直观、更具结构性的方法来展示这种“分步”思考的过程？

活动4：建构树状图模型

教师示范或引导学生共同“生长”出树状图。

第一步：从“树根”开始，表示试验的起点。

第二步：考虑第一个因素——转盘A的可能结果。画出从树根发出的第一层“树枝”，共3条，分别标上“红”、“白”、“蓝”。

第三步：考虑第二个因素——转盘B的可能结果。在每一根第一层树枝的末端，再分别画出代表转盘B四种可能结果的“树枝”，共3×4=12

条。形成完整的“树”。

第四步：从树根到每一个“树梢”（终点），形成一条路径，代表一种等可能的结果。例如：“A红→B蓝”就是配成紫色的结果。

第五步：在终点处写出最终的结果组合，并计算总数。共有12种等可能结果，其中配成紫色（A红，B蓝）的结果有1种。

因此，P(配成紫色)=1/12

。

教师板书规范的树状图绘制过程与计算。

活动5：对比辨析，理解本质

小组讨论：

1.树状图和刚才的列表法有什么共同点？（都体现了“分步”和“有序”）

2.树状图相比列表，在处理这个问题时有什么优势？（层次更分明，能清晰地展示从开始到结束的每一步发展过程，尤其适合步骤数不同或有多于两个步骤的情况，更具可扩展性。）

3.画树状图的关键是什么？（①明确试验有几个步骤或因素；②确定每一步有几种可能结果；③确保每一步都是等可能的；④从左到右，逐层展开。）

设计意图：让学生在真实的问题困境中感受对树状图这一工具的内在需求，通过师生共构，将思维过程可视化，深刻理解其“分步、有序”的本质。通过对比，初步感知工具的特点。

（三）初步应用，巩固方法（预计时间：10分钟）

活动6：模仿练习

学生独立完成学案上的练习1：

一个盒子中装有1个白球和2个红球，它们除颜色外完全相同。小明从盒中随机摸出一球，记下颜色后不放回，再从盒中随机摸出一球。请用树状图法求：

（1）两次都摸到红球的概率；

（2）两次摸到的球颜色不同的概率。

教师巡视，指导有困难的学生，重点关注：第一步、第二步可能结果的分析（注意不放回导致第二步的可能结果数变化）；树状图绘制的规范性。

完成后，实物投影展示学生作品，师生共同评价、修正。

设计意图：从“放回”到“不放回”，改变试验条件，检测学生对树状图方法的理解是否深入。强调“等可能性”的分析是画图的前提。

（四）课堂小结，布置作业（预计时间：5分钟）

小结：教师引导学生回顾本课探索过程。

1.我们遇到了什么新问题？（涉及多个因素的概率计算）

2.我们学到了什么新工具？（树状图）

3.这个工具的核心思想是什么？（分步、有序地列举所有等可能结果）

4.画树状图的一般步骤是什么？

作业布置：

1.基础题：课本对应练习题，用树状图解决两个涉及两步试验的概率问题。

2.思考题：对于本节课开始的“摸球放回”问题（问题2），你能用树状图再解一遍吗？感受一下树状图与列表法的联系。

3.预习：除了树状图，课本还介绍了哪种方法？思考表格法适用于什么情况？

设计意图：梳理本课核心知识，固化方法。作业分层，思考题旨在建立树状图与列表法的联系，预习任务为下节课学习表格法及对比选择做铺垫。

第二课时：优化选择，灵活应用

（一）复习导入，再识表格（预计时间：10分钟）

活动1：作业反馈，方法再现

教师展示上节课思考题（“摸球放回”问题）的学生树状图作品。共同回顾树状图解法。

教师提问：对于这个“两步等可能且每步结果数较少”的问题，我们感觉树状图直观，但似乎列表法也很简洁。课本上正式介绍的“表格法”与我们之前随意列的表格有何不同？

活动2：规范表格法

教师展示规范的表格法（方形表格）：

1.画一个表格，第一行列出第一步（第一次摸球）的所有可能结果。

2.第一列列出第二步（第二次摸球）的所有可能结果。

3.表格内部的单元格则填写对应组合成的最终结果。

4.强调：表格的行、列顺序可以交换，但意义要明确。它本质上是一个二维矩阵，清晰地展示了所有有序对的组合情况。

引导学生计算概率，结果与树状图一致。

教师追问：这种表格法，你觉得在什么样的情况下使用特别方便？

（引导学生说出：当试验是两步，且每一步的可能结果数目不多，适合用矩形表格整齐呈现时。）

设计意图：通过对旧问题的再分析，自然引出规范的表格法。让学生明确，表格法并非新方法，而是对原有列表法的规范化、优化，并初步感知其适用情境。

（二）对比分析，理性选择（预计时间：15分钟）

活动3：双工具解决同题，对比优劣

出示新问题4：

甲、乙、丙三人玩传球游戏。球从甲开始传出，每次传球，传球者随机将球传给另外两人中的一人。传两次球后，球回到甲手中的概率是多少？（提示：传两次球，意味着传球三次：甲→？→？→？）

任务：请学生先独立思考，可以选择使用树状图或表格尝试解决。

预设：部分学生可能尝试用表格，但很快发现试验步骤是三步（第一次传、第二次传、第三次传），用二维表格难以清晰表示。部分学生能想到用树状图。

师生共析：

1.用树状图：步骤清晰。第一层（第一次传）：甲传给乙或丙。第二层（第二次传）：在乙或丙的基础上，分别传给剩下的两人（包括甲）。第三层（第三次传）：同理。画出树状图，共2×2×2=8

种等可能路径。找出“球回甲手”的路径数，计算概率为2/8=1/4

。

2.用表格的困境：这是三步试验，二维表格无法直接容纳。如果强行用多层嵌套的表格或文字描述，会非常复杂，不如树状图直观。

活动4：归纳选择策略

小组讨论并完成学案上的对比表格：

特征

树状图法

表格法

适用试验类型

涉及两个或两个以上步骤的试验；各步骤结果数可以不同。

通常适用于涉及两个步骤的试验。

直观性体现

能清晰展示事件发生的先后顺序和层次结构，过程动态感强。

以矩阵形式集中呈现所有可能结果，结果间的对称性一目了然。

优势

扩展性好，易于处理三步及以上的问题；能自然处理非等可能步骤（后续学习）。

对于两步试验，绘制快速简洁，结果整齐规整，便于查找和计数。

劣势

当步骤多、每步结果也多时，图形会庞大。

难以直接处理三步及以上问题。

师生共同总结选择策略（并非绝对，但可作为一般原则）：

1.当试验步骤超过两步时，优先考虑树状图。

2.当试验仅有两步，且每步结果数适中时，树状图和表格均可，可根据个人偏好或问题特点（如是否需要强调过程层次）选择。

3.对于两步试验，如果结果需要呈现强烈的对称对比关系，表格可能更清晰。

设计意图：通过一个三步试验的具体案例，让学生在解决问题的过程中亲身感受不同工具的局限与优势。通过系统化的对比归纳，引导学生超越机械记忆，形成基于理性分析的“工具选择策略”，这是能力提升的关键。

（三）综合应用，拓展深化（预计时间：15分钟）

活动5：变式与挑战

变式1（非等可能步骤的铺垫，选讲）：

问题4中，如果甲特别喜欢传给乙，传给他的概率是传给丙的2倍。请问传两次球后，球在乙手中的概率是多少？（提示：此时树状图的优势凸显，可以在树枝上标注概率，用乘法原理。此为拓展，点到为止，为高中学习或兴趣生铺垫。）

变式2（生活应用）：

小明的书包里有语文、数学、英语三本课本，外形完全一样。他早晨匆忙中随机连抽两本带去学校（抽出一本后不放回）。请用你认为最合适的方法计算：

（1）恰好抽到数学和英语的概率；

（2）至少抽到一本理科书（假设数学是理科）的概率。

学生自主选择方法解决，并说明选择的理由。教师点评，强调模型选择背后的思考。

活动6：误辨析正

教师展示几种常见的错误树状图或表格（如步骤划分错误、遗漏结果、未注明“不放回”导致第二步结果分析错误等），请学生充当“小老师”进行诊断和纠正。

设计意图：通过变式练习，巩固方法，提升在变化情境中应用工具的能力。拓展性问题激发学有余力学生的思考。误辨析正环节，直面学习中的典型错误，深化对方法本质和细节的理解。

（四）总结升华，布置作业（预计时间：5分钟）

总结：师生共同总结两节课的学习历程。

1.知识层面：我们系统学习了计算概率的两种重要工具——树状图和表格。它们都是“列举法”的规范化、可视化形式，核心是“分步”与“有序”。

2.方法层面：我们经历了“遇到问题→尝试解决→发现不足→寻求/建构新工具→应用工具→对比优化→灵活选择”的完整数学探究过程。

3.思想层面：我们体会到了化复杂为简单（分步）、化无序为有序的化归思想，以及模型思想在解决问题中的威力。

作业布置：

1.综合练习：完成课本本节后所有习题，并根据题目特点自主选择方法，在答案旁注明选法理由。

2.实践调查：小组合作，寻找一个生活中涉及两步决策或两个因素随机组合的实际问题（如：中午食堂套餐选择：主食2种×菜品3种，随机搭配；出行方式：交通工具2种×路线3种等），用树状图或表格分析其所有可能情况，并计算某个你感兴趣事件的概率，形成一份简单的调查报告。

3.拓展阅读（可选）：了解概率论的发展简史，或搜索“决策树”在经济学、计算机科学中的应用实例，感受数学工具的跨学科价值。

设计意图：从知识、方法、思想三个层面进行高观点总结，提升学生的认知格局。作业设计体现巩固、应用、拓展与学科融合，将数学学习延伸到课外和真实世界。

六、板书设计

第一课时板书

用树状图求概率

一、问题情境（简图：两个转盘）

配紫色：P=?

二、树状图法

1.本质：分步、有序地列举所有等可能结果。

2.步骤：

1.3.①明步骤：确定试验有几个顺序步骤。

2.4.②画树枝：从“根”开始，逐层画出每一步的所有可能结果。

3.5.③找路径：每条从根到梢的路径为一个结果。

4.6.④算概率：P(A)=

满足条件的结果数/所有等可能结果总数。

7.优势：过程清晰，层次分明，易于扩展（三步及以上）。

第二课时板书

用树状图或表格求概率

一、表格法（规范）

1.适用：两步试验。

2.形式：行（第一步）、列（第二步）→单元格（结果）。

3.特点：结果集中，对称美观。

二、对比与选择

树状图

表格

适用步骤

两步及以上

两步

直观性

过程、层次

结果、对称

核心思想

分步、有序、不重不漏

选择策略：看步骤数，析问题特点，灵活选用。

七、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、思维状态、合作交流情况。观察其画图、列表的规范性和逻辑性。

2.3.提问与应答：通过层层递进的问题链，诊断学生对概念本质的理解程度和对方法迁移的灵活度。

3.4.学案反馈：检查学案上练习的完成情况，特别是解题过程的展现，分析错误类型及其成因。

5.形成性评价：

1.6.小组报告：对“实践调查”作业进行小组展示与互评，评价其问题提炼的合理性、工具应用的准确性、结论解释的清晰度以及