八年级数学《三角形高、中线与角平分线》应用性探究课教案

八年级数学《三角形高、中线与角平分线》应用性探究课教案

一、教材与学情分析

（一）教材分析

本节课“三角形的高、中线与角平分线”选自人教版八年级上册第十一章“三角形”第一节第二课时，是初中几何学习的基石。在此之前，学生已经学习了线段、角、垂线以及三角形的初步概念。本节课内容不仅是对已学知识的综合应用，更是后续学习三角形全等、相似、特殊三角形（如等腰、等边）以及四边形性质的重要工具。【重要】教材从学生熟悉的三角形出发，通过作图、观察、测量等活动，引导学生探索并理解三角形三条重要线段的概念和性质。其核心价值在于渗透几何研究的通法——从定义出发，通过作图感知，进而探究其独特的几何属性，为培养学生的几何直观与逻辑推理能力奠定基础。

（二）学情分析

授课对象为八年级学生。从认知基础看，学生已具备基本的作图能力，理解线段中点、垂直以及角平分线的概念，这为学习新知识提供了必要的支撑。从思维特征看，该阶段学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，他们乐于动手操作，但对几何语言的严谨表述和图形性质的深度挖掘尚有欠缺。【非常重要】学生容易将“线段”与“垂线”、“角平分线”等概念混淆，对“三角形的角平分线是一条线段”这一本质特征理解不透。因此，教学过程中需从具体图形入手，引导学生辨析概念，并通过变式练习，深化其对三角形内部特殊线段属性的认识。

二、教学目标与核心素养

基于课程改革理念和上述分析，本节课旨在落实以下核心素养导向的教学目标：

1.知识与技能目标【基础】：理解三角形的高、中线与角平分线的概念，能准确画出（或折出）任意三角形的高、中线与角平分线。掌握三角形的三条中线交于一点（重心）、三条角平分线交于一点（内心）的性质，并能运用这些性质进行简单的计算与推理。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，体验几何概念的形成过程和性质的发现过程，感悟从特殊到一般、转化与化归的数学思想。【重要】在动手操作与推理论证中，进一步发展几何直观与逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：在合作探究中感受成功的喜悦，激发学习几何的兴趣。通过对三角形内部和谐统一性质（交于一点）的探究，体会数学的严谨与美感，培养严谨求实的科学态度。

三、教学重难点

（一）教学重点

三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法。【基础】这是后续应用的前提，必须确保每位学生都能清晰掌握。

（二）教学难点【难点】

1.钝角三角形高的画法及垂足位置的确定。

2.运用三角形的中线与角平分线的性质解决有关面积、周长及角度计算问题。

3.理解“三角形的三条中线（或角平分线）交于一点”这一性质的几何意义。

四、教学实施过程

（一）创设情境，引入新知

教师在大屏幕上展示一座斜拉桥的图片和一幅由三角形拼贴而成的现代艺术画。提出问题：“同学们，在这些宏伟的建筑和精美的艺术作品中，你都看到了哪些几何图形？这些三角形中，有没有一些特殊的线段？”学生观察后回答。教师顺势引导：“三角形看似简单，但其内部却蕴含着许多神奇的线段。它们不仅构成了稳定的结构，更是我们打开几何世界大门的钥匙。今天，就让我们化身‘图形侦探’，一起去探索三角形内部那些最核心的秘密线段——高、中线与角平分线。”【非常重要】由此揭示课题，激发学生的好奇心和探究欲。

（二）概念辨析，初步建构

1.探究三角形的高

（1）【基础】概念回顾与类比：教师引导学生回顾“过一点作已知直线的垂线”的方法。提出问题：“在三角形中，从顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，我们称之为什么？”引导学生类比“高”的含义，尝试归纳三角形高的定义。教师板书定义，并强调“线段”、“垂线”、“垂足”三个关键词。

（2）动手操作，分层突破：

a.画锐角三角形的高：学生在练习本上画一个锐角三角形ABC，并尝试画出从顶点A向对边BC作的高。教师巡视，指导画法：用三角板的一条直角边与BC重合，另一条直角边经过点A，画出垂线段AD，则AD即为一条高。请一名学生上台板演，并口述画法。

b.画直角三角形的高：出示一个直角三角形，提出问题：“在这个三角形中，你能画出几条高？它们有什么特殊之处？”学生分组讨论并动手操作。结论：直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，第三条高在三角形内部。【热点】教师点评，强调高是“线段”，且直角三角形的两条直角边本身就是高。

c.突破难点——画钝角三角形的高【难点】：教师出示一个钝角三角形。提问：“钝角三角形的三条高还在三角形内部吗？如何画出钝角三角形的高？”这是本节课的第一个挑战。教师引导学生先尝试画出钝角顶点A对边BC上的高。学生会发现垂足落在BC的延长线上。教师示范画法，强调“过一点向一条直线作垂线”的几何原理，明确此时的高在三角形外部，是一条“看起来在三角形外面，但又实实在在连接了顶点与对边所在直线垂足的线段”。接着，让学生独立完成从锐角顶点向对边作高的练习，进一步巩固画法。最终，引导学生发现钝角三角形的三条高所在直线也交于一点（垂心），但垂心位于三角形外部。这一环节，通过类比、迁移，成功突破了难点。

（3）归纳提升：引导学生总结：无论哪种三角形，每条高都是从顶点向对边（或对边所在直线）作的垂线段。三角形都有三条高，它们（或它们的延长线）交于一点。

2.探究三角形的中线

（1）【重要】概念引入：教师提出问题：“如果我们要将三角形的蛋糕平均分给两个小朋友，沿着顶点切一刀，应该怎么切？这条线要满足什么条件？”引导学生思考：必须经过顶点，并且要平分三角形的对边。从而引出“中线”的定义：连接顶点与它对边中点的线段。

（2）操作与发现：

a.学生动手画出锐角三角形ABC的中线（取BC边的中点E，连接AE）。教师强调，画中线首先要找到边的中点，可以使用刻度尺测量。

b.小组合作：分别画出三角形的三条中线，观察有什么发现？学生通过作图，直观发现三角形的三条中线相交于一点。【热点】教师介绍这个点称为三角形的“重心”，并播放微视频展示重心的物理意义——悬挂法找重心，让学生体会数学与物理的奇妙联系。

（3）【高频考点】性质初探：教师设问：“中线AD将原三角形ABC分成了两个三角形ABD和ADC，它们的面积有何关系？为什么？”引导学生观察发现，因为BD=CD，且两三角形的高相等（都是从A到BC的距离），所以面积相等。由此得出重要推论：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形。这是后续解决面积问题的关键。

3.探究三角形的角平分线

（1）【基础】类比迁移：引导学生回忆“角的平分线”是一条射线。提出问题：“如果把这个‘角’放进三角形中，从顶点出发，平分这个内角的线段，我们该如何称呼它？”学生类比得出“三角形的角平分线”的定义。教师强调，三角形的角平分线是一条线段，它的一端在顶点，另一端在对边上。

（2）操作与发现：

a.学生动手画出锐角三角形ABC的角平分线。教师指导用量角器作出角的平分线，并交对边于点F，则线段AF即为角平分线。

b.小组合作：画出三角形的三条角平分线，观察有什么发现？学生同样会发现，三角形的三条角平分线也相交于一点。【热点】教师介绍这个点称为三角形的“内心”。

（3）概念辨析【非常重要】：通过判断题形式，辨析以下说法的正误：“三角形的角平分线是一条射线。”、“三角形的角平分线就是角的平分线。”让学生在辨析中深刻理解三角形角平分线的线段本质。

（三）深化理解，综合应用

此环节是知识与能力的升华，旨在通过典型例题，打通知识间的联系，提升学生解决问题的能力。

1.【高频考点】面积问题（与中线结合）

例1：如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点。若△ABC的面积为12，求△CDE的面积。

分析思路：

（1）引导学生分析：由AD是中线，可知S△ABD=S△ACD=1/2S△ABC=6。（依据：等底同高）

（2）由E是AD的中点，可知在△ACD中，CE是中线（连接顶点C和边AD的中点E），所以S△CDE=S△ACE=1/2S△ACD=3。

（3）【重要】教师总结：此类问题的核心是反复运用“中线等分面积”的性质，关键在于识别图形中的中线，并找准对应的三角形。

2.【高频考点】角度问题（与角平分线结合）

例2：在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB。

（1）若∠A=70°，求∠BOC的度数。

（2）猜想∠BOC与∠A的关系，并说明理由。

分析思路：

（1）引导学生回顾角平分线定义：∠1=∠2=1/2∠ABC，∠3=∠4=1/2∠ACB。

（2）在△BOC中，∠BOC=180°-(∠2+∠4)。

（3）而∠2+∠4=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2(180°-∠A)=90°-1/2∠A。

（4）所以∠BOC=180°-(90°-1/2∠A)=90°+1/2∠A。

当∠A=70°时，∠BOC=90°+35°=125°。

（5）【难点】教师引导学生总结规律：三角形两个内角平分线的夹角等于90°加上第三个角的一半。这是三角形角平分线的一个重要结论，为解决复杂角度问题提供了便捷思路。

3.【重要】综合应用与变式

例3：已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长。

分析思路：

（1）这是一道分类讨论与方程思想结合的经典题目。教师引导学生画出示意图，设等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的中线。

（2）设AB=AC=2x，BC=y。则AD=CD=x。

（3）有两种情况需要讨论：

情况一：AB+AD=12，BC+CD=15。即2x+x=12，y+x=15。解得x=4，y=11。此时三边长为8，8，11，满足三角形三边关系。

情况二：AB+AD=15，BC+CD=12。即2x+x=15，y+x=12。解得x=5，y=7。此时三边长为10，10，7，也满足三角形三边关系。

（4）【非常重要】教师强调：解决此类问题，一要画出精准图形，二要设出未知数，三要分类讨论，四要用三角形三边关系检验结果。

（四）拓展延伸，挑战思维

此环节针对学有余力的学生，培养高阶思维。

探究活动：三角形三条重要线段交于一点的应用。

问题：我们知道三角形的三条中线交于重心。这个点把中线分成的两条线段（顶点到重心，重心到对边中点）之比是多少？

（1）学生分组，利用几何画板软件或通过严谨的推理（可留作课后思考）进行探究。

（2）引导学生测量、观察、猜想：AO:OD=2:1（O为重心）。

（3）【难点】教师简要介绍面积法证明思路：利用中线等分面积的性质，可以推出重心与顶点所构成的三个小三角形面积相等，进而推出线段比例关系。这为后续学习相似三角形埋下伏笔。

（五）课堂小结，构建网络

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.【基础】知识层面：回顾三角形高、中线、角平分线的定义、画法及其性质。强调三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高（或其延长线）交于垂心。

2.【重要】方法层面：学习了“作图观察——猜想归纳——推理论证”的几何学习基本方法。掌握了解决面积问题（中线等分面积）、角度问题（角平分线定义及内角和定理）的通法。

3.思想层面：体会了从特殊到一般、转化、分类讨论与方程等数学思想在解决几何问题中的重要作用。

（六）布置作业，分层落实

1.【基础】必做题：课本练习题，旨在巩固基本概念与画法。

2.【重要】选做题：整理本节课的典型例题（如面积问题、角度问题、中线周长问题），形成解题笔记，并尝试寻找一题多解。

3.【拓展】探究题：利用网络资源或书籍，查阅三角形“四心”（重心、内心、垂心、外心）的相关知识，了解它们的几何意义和物理意义，制作一份数学手抄报。

五、板书设计

左侧区域：

一、三角形的高

定义：从顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段。

性质：三条高所在直线交于一点（垂心）。

（附锐角、直角、钝角三角形高的简图）

中间区域：

二、三角形的中线

定义：连接顶点与对边中点的线段。

性质：

1.三条中线交于一点（重心）。

2.【高频考点】中线平分三角形面积。

（附图形示例）

右侧区域：

三、三角形的角平分线

定义：三角形一个角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段。

性质：三条角平分线交于一点（内心）。

（附图形示例）

核心思想：

转化、分类讨论、方程

六、教学反思（预设）

本节课的设计，紧扣课标要求，以学生为主体，以问题为主线，通过“侦探式”的探究活动，引导学生逐