安徽省中考数学：相似三角形模型专题复习教学设计

安徽省中考数学：相似三角形模型专题复习教学设计一、教学内容分析（一）教材地位分析本章节位于初中数学九年级下册中考一轮复习阶段，属于“图形与几何”领域的核心内容。相似三角形是平面几何中最重要的工具之一，它不仅是全等三角形的延伸，更是后续学习锐角三角函数、圆的性质以及高中平面向量、立体几何的基础。在中考试卷中，相似三角形通常以选择题、填空题和解答题的形式出现，既考查基础概念与性质，也常作为压轴题的综合背景，与函数、圆、动点问题等结合，具有高度的综合性与选拔性。微专题“常见的相似模型”旨在帮助学生从繁杂的图形中抽象出基本结构，提升几何直观与逻辑推理能力，是复习阶段提分增效的关键环节。（二）课标要求《义务教育数学课程标准（2022年版）》对相似三角形的教学要求包括：理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理，并能运用它们解决简单的几何问题。在复习阶段，进一步要求学生在复杂图形中识别或构造基本相似模型，体会模型思想，发展几何直观与推理能力。本专题教学需引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，积累基本图形经验，提升综合解题能力。二、学情分析学生已在九年级上册系统学习了相似三角形的概念、判定与性质，并接触过一些基本模型（如A字型、8字型）。但在一轮复习初期，学生普遍存在以下问题：对相似模型的识别不够敏感，容易在复杂图形中迷失方向；对模型的变式掌握不全，不能灵活迁移；综合应用中，常因找不到相似关系而无法入手；书写证明过程不规范，逻辑链条不完整。因此，本专题教学需要在梳理基础模型的同时，强化模型识别训练，通过一题多变、多题归一的方式，帮助学生构建完整的知识网络。三、教学目标（一）知识与技能1.熟练掌握相似三角形的五个基本模型：A字型、8字型、母子型、一线三等角型、旋转型（手拉手模型）的结构特征与结论。2.能根据图形特点快速识别或构造出相应的相似模型，并运用对应边成比例、对应角相等解决问题。3.能运用相似模型解决线段求值、角度计算、证明等积式、探究动态几何问题。（二）过程与方法1.通过观察、对比、归纳，经历从具体图形中抽象基本模型的过程，发展几何直观与模型思想。2.通过一题多解、变式拓展，体会转化与化归的数学思想，提升分析问题与解决问题的能力。3.通过小组合作、交流展示，培养合作探究与语言表达能力。（三）情感态度与价值观1.感受几何图形的对称美与简洁美，增强学习数学的兴趣。2.体会模型思想在解决复杂问题中的价值，树立学好数学的信心。3.养成严谨推理、规范书写的良好习惯。四、教学重难点（一）教学重点掌握相似三角形的常见模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角型、旋转型）的结构特征与基本结论，并能熟练应用于计算与证明。（二）教学难点在复杂图形中识别或构造出基本相似模型，灵活运用模型解决综合问题，特别是当图形中隐含多个模型时的选择与转化。五、教学方法与媒体采用“问题驱动—自主探究—合作交流—归纳提升”的教学模式，运用多媒体课件动态演示图形变化，引导学生观察、猜想、证明、应用。同时借助几何画板展示模型的生成与演变，帮助学生突破难点。教学中注重启发式与探究式相结合，鼓励学生一题多解、多题归一。六、教学过程（一）导入新课教师通过多媒体展示一组中考真题图形，这些图形看似复杂，但其中隐藏着一些基本结构。提问：观察这些图形，你能发现哪些熟悉的“影子”？学生可能回答有“A字形”“8字形”等。教师顺势引出课题：相似三角形常见模型复习。明确本课目标：梳理基本模型，提升解题能力。并指出这些模型是中考的高频考点，掌握它们可以化繁为简，快速找到解题思路。【高频考点】（二）模型探究一：A字型（平行型）1.基础模型呈现在△ABC中，DE∥BC，点D在AB上，点E在AC上。则△ADE∽△ABC。结论：AD/AB=AE/AC=DE/BC。【基础】教师利用几何画板动态演示，改变点D的位置，观察相似比的变化，强调无论点D如何运动，只要DE∥BC，相似关系始终成立。2.变式拓展（1）正A字型：当点D、E分别在AB、AC的延长线上，DE∥BC，则△ADE∽△ABC（反向相似）。结论仍成立。（2）斜A字型（共角型）：若∠ADE=∠B，或∠AED=∠C，则△ADE∽△ACB（注意对应关系）。此时DE不一定平行于BC，但通过角相等构造相似。教师引导学生证明，强调对应边成比例时要注意对应顶点。3.应用举例例1：如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC上一点，且DE∥BC，AB=6，AD=4，AC=8，求AE的长。学生独立完成，口答：由平行得相似，AE/AC=AD/AB，代入得AE/8=4/6，解得AE=16/3。【基础】例2：如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC上一点，且∠ADE=∠C，AB=6，AC=8，AD=4，求AE的长。学生小组讨论，指明对应关系：△ADE∽△ACB，则AD/AC=AE/AB，即4/8=AE/6，得AE=3。教师强调：在斜A字型中，找准对应边是关键。【重要】（三）模型探究二：8字型（对顶型）1.基础模型呈现如图，直线AB与CD相交于点O，且AC∥BD，则△AOC∽△BOD。结论：AO/OB=CO/OD=AC/BD。【基础】教师引导：8字型通常由两条平行线与两条相交线构成。也可以看作A字型的旋转或翻折。2.变式拓展（1）正8字型：当点A、B、C、D构成交叉线段，且AC∥BD。（2）反8字型：若∠A=∠B，或∠C=∠D，则△AOC∽△BOD（不要求平行）。此时称为“对顶相似三角形”，常用于圆内接四边形或蝴蝶形图形中。3.应用举例例3：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥CD，AB=4，CD=6，AO=3，求OC的长。学生独立完成：由AB∥CD得△AOB∽△COD，则AO/OC=AB/CD=4/6，即3/OC=2/3，OC=4.5。【基础】例4：如图，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接DE交AC于点F，若AE:EB=1:2，求AF:FC的值。引导学生发现：AE∥DC，构成8字型△AEF∽△CDF。由AE:EB=1:2，得AE:DC=1:3，所以AF:FC=1:3。【高频考点】（四）模型探究三：母子型（公共角型）1.基础模型呈现在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，则△ACD∽△ABC∽△CBD。结论：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB。【非常重要】教师强调：这是“双垂直”模型，是母子型的典型代表。三条相似关系对应三个比例中项，是射影定理的核心。2.变式拓展（1）一般三角形中的母子型：在△ABC中，点D在BC上，且∠BAC=∠BDA，或∠BAD=∠C，则△ABD∽△CBA。此时有AB²=BD·BC。（2）若点D在BC上，且∠CAD=∠B，则△ACD∽△BCA，得AC²=CD·CB。3.应用举例例5：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=9，求CD和AC的长。学生运用射影定理：CD²=AD·BD=4×9=36，CD=6；AC²=AD·AB=4×(4+9)=52，AC=2√13。【基础】例6：如图，在△ABC中，D为BC上一点，且∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求BC的长。学生识别：△ABD∽△CBA，得AB/BC=BD/AB，即6/BC=4/6，BC=9。【重要】（五）模型探究四：一线三等角型1.基础模型呈现如图，点P在线段AB上，且∠1=∠2=∠3，则△ACP∽△BPD。【热点】教师解释：三个相等的角可以是直角、锐角或钝角。当∠1=∠2=∠3=90°时，称为“一线三直角”；当为一般角时，称为“一线三等角”。结论：AC·BD=AP·BP，以及对应边成比例。2.证明思路由外角定理可得∠C=∠BPD或∠D=∠APC，从而推出三角形相似。教师引导学生自主证明。3.变式拓展（1）点P在线段AB上，且∠1=∠2=∠3，则△ACP∽△BPD。（2）点P在AB的延长线上，则结论仍然成立（但需注意对应关系）。（3）若三个角都是直角，则除了相似外，往往还可构造矩形或利用勾股定理。4.应用举例例7：如图，在等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，点E在AC上，且∠ADE=60°，BD=2，求CE的长。引导学生发现：∠B=∠C=∠ADE=60°，构成一线三等角模型。则△ABD∽△DCE，得AB/DC=BD/CE，即6/4=2/CE，CE=4/3。【高频考点】例8：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB于点F，若AE=2，ED=3，求BF的长。分析：∠A=∠D=∠CEF=90°，所以△AEF∽△DCE。得AE/DC=AF/ED，即2/DC=AF/3，还需知道DC的长（与AB相等），设DC=x，则AF=6/x，则BF=x6/x。但缺少条件？本题需结合矩形对边相等，可再设未知数，或已知DC值。教师可改编数据使可解。【难点】（六）模型探究五：旋转型（手拉手模型）1.基础模型呈现如图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，连接BD、CE，则△ABD∽△ACE（旋转相似）。【非常重要】条件：△ABC∽△ADE，且对应点连线BD、CE交于点A（或延长线交于一点）。结论：AB/AC=AD/AE=BD/CE，且∠BDA=∠CEA等。2.证明思路由旋转得AB=AD、AC=AE（若全等），或AB/AD=AC/AE（若相似），加上夹角∠BAD=∠CAE，可得△ABD∽△ACE。教师强调：手拉手模型的关键是“旋转相似必成对，对应边比例相等，夹角相等”。3.变式拓展（1）两个等腰直角三角形绕直角顶点旋转，产生相似。（2）两个等边三角形绕一个顶点旋转，产生全等或相似。（4）两个一般相似三角形绕对应点旋转，得到新的相似对。4.应用举例例9：如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BD、CE。求证：BD=CE。学生易证△ABD≌△ACE（SAS），得到BD=CE。教师追问：若将△ADE旋转一定角度，结论是否仍成立？从而引出旋转相似。例10：如图，已知△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，且BD=CD，∠BDC=120°，点M、N分别在AB、AC上，且∠MDN=60°，求证：△BDM∽△CND。分析：由等边△ABC得∠ABC=∠ACB=60°，由BD=CD且∠BDC=120°，得∠DBC=∠DCB=30°，所以∠DBM=∠DCN=90°，又∠MDN=60°，则∠BDM+∠CDN=60°，结合∠BDM+∠BMD=90°，可得∠BMD=∠CDN，所以△BDM∽△CND。【难点】（七）模型综合应用1.例题精讲例11：如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF。求证：△ABE∽△ECF；若AB=4，BE=1，求CF的长。分析：第一问由∠B=∠C=90°，∠AEF=90°，得∠BAE=∠CEF，所以△ABE∽△ECF。第二问：由相似得AB/EC=BE/CF，即4/3=1/CF，CF=3/4。【高频考点】例12：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，∠EDF=45°，且E在AB上，F在AC上。求证：△BDE∽△CFD。分析：由等腰直角得∠B=∠C=45°，又∠EDF=45°，利用一线三等角模型（点D处有三个45°角），可得△BDE∽△CFD。【重要】1.综合探究例13：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P从点A出发沿AB向点B运动，速度为1，点Q从点B出发沿BC向点C运动，速度为2，连接PQ。是否存在某一时刻t，使得△PBQ与△QCD相似？若存在，求出t的值。教师引导学生分类讨论：因为∠B=∠C=90°，所以要使△PBQ∽△QCD，有两种对应情况：①∠BPQ=∠CQD，则△PBQ∽△QCD；②∠BPQ=∠CDQ，则△PBQ∽△DCQ。分别列出比例式求解。注意检验t的范围。【难点、热点】（八）课堂小结教师引导学生回顾本课所学的五个相似模型，强调每个模型的特征、结论和识别方法。并总结模型思想的价值：将复杂图形分解为基本模型，化未知为已知。同时，提醒学生注意模型的应用条件，避免生搬硬套。最后，鼓励学生在课后整理模型笔记，形成知识体系。（九）布置作业1.基础巩固：完成学案中对应的基础题，每个模型至少两道。2.能力提升：完成一道包含两个模型的综合题，尝试用不同方法求解。3.拓展探究：寻找生活中的相似模型实例（如摄影中的相似三角形、建筑中的结构），写一篇数学小短文。七、板书设计左侧板书主要模型名称及图形简图，