北师大版小学数学五年级上册《小数除法：精打细算》教案

北师大版小学数学五年级上册《小数除法：精打细算》教案

一、单元整体分析与核心素养指向

本课隶属于“数与代数”领域中的“数的运算”部分，是学生在掌握了整数除法、小数的意义和性质以及小数加减法的基础上，首次系统学习小数除法运算的起始课。其核心是引导学生理解并掌握小数除以整数的计算方法，为后续学习一个数除以小数、商的近似值、循环小数以及小数四则混合运算奠定坚实的算理与算法基础。从单元整体视角看，本课承载着承上启下的关键作用，是学生数感、运算能力、推理意识等核心素养发展的重要节点。

数感发展体现在学生对运算结果（商）的估计和判断上，能感知到被除数（小数）与除数（整数）的大小关系如何影响商的范围。运算能力是本课培养的重中之重，不仅要求算法正确、熟练，更强调对算理的深度理解——即为什么可以将小数当作整数来除，最后如何确定商的小数点位置。这一理解过程，离不开清晰的推理意识：学生需要经历从具体情境（元、角、分）到数学模型（竖式计算）的抽象过程，并基于整数除法的计算法则，通过类比、迁移，推理出小数除法的计算法则。应用意识则贯穿于从现实问题“精打细算”中提取数学问题，并运用所学知识回归解决问题的全过程。

二、学情深度诊断与学习起点研判

五年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的已有知识和经验储备如下：

知识基础：已经熟练掌握了整数除法的运算方法（包括试商、余数处理等），深刻理解了整数除法的意义。对小数的意义、计数单位、数位顺序以及小数的基本性质有清晰的认识。能够熟练进行小数加减法计算，理解小数点对齐的算理。

潜在困难：虽然具备了迁移的基础，但学生首次面对“小数除以整数”这一新运算类型时，最容易产生的困惑集中于点小数点这一关键步骤。他们可能会受到小数加减法“小数点对齐”负迁移的影响，在竖式中错误地对齐被除数与除数的小数点。此外，对于“除到被除数末尾仍有余数，需要添0继续除”的情况，理解上可能存在障碍，不理解为什么可以添0以及添0的依据是什么（小数的性质）。

认知路径预设：学生最自然、最易理解的起点是将小数与熟悉的“元角分”现实模型结合，通过将小数转换成以“分”为单位的整数进行计算，再反向换算，从而直观理解算理。随后，教师需引导学生剥离具体单位，抽象出纯数学的小数除法竖式计算模型，完成从具体到抽象的关键飞跃。

三、教学目标设计（基于核心素养的细化表述）

1.结合“精打细算”的具体购物情境，探索并理解小数除以整数（商大于1）的算理，掌握小数点的处理方法，能正确进行竖式计算。

2.经历从现实问题抽象出数学问题、利用多种方法（单位换算、直观模型、竖式）解决问题的全过程，发展发现问题、提出问题和分析问题的能力。

3.在探索算法的活动中，渗透转化、类比、迁移等数学思想方法，发展推理意识和运算能力。

4.感受数学与生活的紧密联系，体会小数除法在解决实际问题中的应用价值，培养理性消费、精打细算的意识。

四、教学重难点剖析

教学重点：小数除以整数的算理理解和算法探究，特别是商的小数点与被除数小数点对齐的道理。

教学难点：理解并掌握“除到被除数末尾有余数，在余数后面添0继续除”的算法及其算理依据（小数的基本性质）。

五、教学准备与资源支持

教师准备：多媒体课件（包含主题情境图、动画演示算理过程、巩固练习）、实物投影仪。

学生准备：练习本、草稿纸。有条件可准备小数面积模型图或计数棒。

六、教学过程实施与互动生成

（一）情境创设，问题驱动，激活经验（预计用时：8分钟）

课件出示主题情境图：甲、乙两家商店的牛奶促销海报。甲商店：5包牛奶共11.5元。乙商店：6包牛奶共12.6元。

师：同学们，从图中你能发现哪些数学信息？根据这些信息，你想提出什么数学问题？

生1：甲商店5包牛奶11.5元，乙商店6包牛奶12.6元。

生2：我想知道哪家商店的牛奶更便宜。

生3：我想知道甲商店每包牛奶多少钱？乙商店每包牛奶多少钱？

师：大家提出的问题都非常有价值。要比较哪家更便宜，实际上就是要分别算出什么？

生：算出每包牛奶的单价。

师：对，这就是我们今天要一起研究的“精打细算”问题。如何求单价呢？

生：总价÷数量=单价。

师：很棒！那么，甲商店的单价如何列式？

生：11.5÷5。

师：仔细观察这个算式，与我们以前学过的除法算式有什么不同？

生：被除数是小数，除数是整数。

师：这就是我们今天要重点研究的新知识——小数除以整数。（板书课题：小数除以整数）

设计意图：从贴近生活的“比价”情境引入，自然引出“单价”问题，复习“总价÷数量=单价”的数量关系。通过对比新旧算式的差异，明确本课学习目标，激发学生的探究欲望。

（二）自主探索，合作研学，初构算法（预计用时：15分钟）

1.估算感知，培养数感

师：在精确计算之前，我们先来估一估，甲商店每包牛奶大约多少钱？说说你的想法。

生1：11.5元接近10元，10÷5=2元，所以大约2元多。

生2：也可以想，11.5元比12元少，12÷5=2.4元，所以应该比2.4元少。

师：两位同学的估算方法都很好，一个估小了，一个估大了，确定了结果的大致范围在2元到2.4元之间。估算能帮助我们判断最终计算结果的合理性。

设计意图：引导估算，既培养了学生的数感，也为后续精确计算的结果提供了一个检验的参照范围。

2.算法多样化，深度理解算理

师：现在，请你们开动脑筋，用自己喜欢的方法尝试计算11.5÷5。可以独立想一想，也可以在小组内交流你的想法。

学生独立思考，小组合作。教师巡视，收集不同的算法。

全班交流汇报：

方法一：单位换算，化为整数计算。

生：11.5元=115角。115角÷5=23角。23角=2.3元。所以11.5÷5=2.3（元）。

师：他把11.5元换算成了115角，也就是把小数除法转化成了我们已经学过的整数除法来计算，真是个巧妙的办法！这里的“角”就是帮助我们理解的桥梁。

方法二：利用数的组成和小数意义。

生：11.5可以看成是11元和0.5元。11元÷5=2元……1元。剩下的1元和0.5元合起来是1.5元。1.5元=15角，15角÷5=3角=0.3元。所以2元+0.3元=2.3元。

师：他巧妙地利用了小数的组成，把11.5元拆分成整数部分和小数部分，分步来除，思路非常清晰。

方法三：尝试列竖式计算。（这是教学的重点和难点，需重点引导）

请一名有尝试竖式计算想法的学生上台板演或投影展示其原始思路。学生的竖式可能出现多种情况，如直接写下2.3，或小数点位置点错。

师：大家来看看这个竖式。用竖式计算整数除法时，我们从高位除起，商写在相应的数位上。对于11.5÷5，我们能不能也尝试用竖式来计算呢？关键是，商的小数点应该点在哪里？

设计意图：充分尊重学生的主体性，鼓励算法多样化。前两种方法（单位换算和数的组成）为学生理解算理提供了直观的、可操作的模型，是沟通整数除法与小数除法的关键桥梁。为竖式算法的抽象做好充分铺垫。

（三）聚焦算理，构建模型，突破难点（预计用时：12分钟）

1.抽象竖式，明晰算理

师：我们结合刚才的“元角分”模型来理解竖式。11.5元中的“11”表示11元，“.5”表示5角，也就是0.5元。在竖式中，我们先除整数部分。

教师规范板演竖式计算过程：

步骤一：用11除以5，商2，写在个位上（对应2元），2×5=10，11-10=1，余1。

师：余下的1，在整数除法里表示1个一。但在这里，结合情境，它表示什么？

生：表示1元。

师：对，这余下的1元，不够除以5了怎么办？我们能不能把它变得更小，继续分？

生：可以把1元换成10角。

师：非常好！这1元（也就是1个一）和十分位上的5合在一起，看作多少呢？注意，这“5”在十分位上，表示5个0.1（5角）。所以，我们把余数1（个位）和十分位上的5合起来，就是15个什么？

生：15个0.1。

师：为什么可以合起来看作15个0.1？

生：因为1个一等于10个0.1，加上5个0.1，就是15个0.1。

师：太精彩了！这就是利用了小数的计数单位。现在，我们用15个0.1除以5，得3个0.1，商3应该写在什么数位上？

生：十分位。

师：那怎么体现商3是在十分位上呢？

生：在商的个位2的后面点上小数点，然后在十分位上写3。

教师继续板演：在商的个位2的右下方点上小数点，对齐被除数的小数点。然后将十分位上的3写在十分位上。计算3×5=15，15-15=0。

师：现在请大家思考，为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐？

生讨论后总结：因为我们是按照数位一位一位往下除的。小数点对齐，就保证了商里的“2”和“3”分别在个位和十分位上，表示2个一和3个0.1，组合起来就是2.3。这是数位对齐原则在除法中的体现。

设计意图：这是本课最核心的环节。教师通过慢镜头式的板演和连续的追问，将竖式计算每一步与具体的“元角分”模型、小数的计数单位紧密联系起来，直观揭示“小数除法可以按照整数除法的方法去除”、“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的算理根源，实现从具体到抽象的跨越。

2.尝试迁移，巩固算法

师：现在，请你们用竖式独立计算乙商店牛奶的单价：12.6÷6。

学生独立计算，教师巡视。指名板演。

板演后，引导学生说清计算过程：先除整数部分12÷6=2，商2写在个位，点上小数点；再把十分位上的6落下来，用6个0.1除以6得1个0.1，商1写在十分位上。

设计意图：及时应用刚建构的算法模型，进行正向迁移，巩固“商的小数点与被除数小数点对齐”的基本规则。

（四）挑战进阶，深化理解，完善认知（预计用时：10分钟）

1.情境延伸，引出难点

课件出示新情境：丙商店3包牛奶共9.9元，每包多少钱？

列式：9.9÷3。

师：请大家先估算，再用竖式计算。

学生计算。此题为巩固题，计算后重点让学生说过程。

接着出示难点情境：丁商店4包牛奶共9.6元，每包多少钱？

列式：9.6÷4。

学生尝试竖式计算。教师巡视，寻找典型案例。

关键点：9÷4=2……1，余1。十分位上的6落下来，组成16个0.1，16÷4=4，商4写在十分位上，结果为2.4。

师：这道题大家完成得很好。现在老师把问题变一变：如果丁商店的牛奶总价是9.6元不变，但现在是5包牛奶，每包多少钱？

列式：9.6÷5。

学生独立尝试竖式计算。必然会出现难点：9÷5=1……4，余4。十分位上的6落下来，组成46个0.1，46÷5=9……1，余下1个0.1。

师：计算到这里，余数是1，表示1个0.1。还能继续分吗？怎么分？

引导学生思考：1个0.1可以化成10个0.01。

师：在竖式中，我们怎么表示把这个1个0.1继续分下去呢？

生：可以在余数1的后面添0，继续除。

师：这个“0”可以随便添吗？添的依据是什么？

生：依据是小数的性质，9.6可以写成9.60，大小不变。所以在余数1后面添0，相当于把1个0.1看成了10个0.01。

教师规范板演：在9.6的末尾添上0（用虚线框标出，以示强调），同时在被除数9.6的右下角点上小数点，后面写上0，变成9.60。将十分位余下的1看作10个0.01，与添上的0（0个0.01）组成10个0.01，10÷5=2，商2写在百分位上。最终商为1.92。

师：这就是我们今天学习的另一个重要规则：除到被除数末尾仍有余数时，可以在余数后面添0继续除。添0的数学依据是小数的基本性质。

设计意图：通过有层次的变式练习，从没有余数到有余数但能除尽，再到需要添0继续除，层层递进，将本课的难点“添0继续除”自然引出，并在讨论中将其算理（小数的性质）讲透，完善学生对小数除以整数算法的整体认知。

（五）对比归纳，总结法则，形成结构（预计用时：5分钟）

师：请同学们观察黑板上我们完成的这几道小数除以整数的竖式（11.5÷5，12.6÷6，9.6÷4，9.6÷5），小组讨论：小数除以整数，应该怎样计算？计算时需要注意什么？

学生小组讨论后汇报，师生共同总结计算法则：

1.按整数除法的法则去除。

2.商的小数点要和被除数的小数点对齐。

3.除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。

师：这就是小数除以整数的计算方法。请大家再回到最初的问题，甲商店2.3元每包，乙商店2.1元每包，所以乙商店的牛奶更便宜。我们要养成精打细算的好习惯。

设计意图：引导学生对一系列算例进行观察、比较、归纳，自主总结算法法则，将零散的探究发现结构化、系统化，形成稳定的计算技能和清晰的认知图式。

（六）分层练习，诊断反馈，拓展应用（预计用时：10分钟）

1.基础巩固层：竖式计算。

①13.6÷8②19.2÷12③14.7÷7（设计意图：巩固基本算法，涵盖不同情况。）

2.综合应用层：解决问题。

①一辆汽车12小时行驶了402.6千米，平均每小时行驶多少千米？

②一袋500克的白糖售价7.5元，每克白糖多少元？每100克呢？（设计意图：将数学与生活实际、其他学科（科学计量）相联系，培养学生灵活应用知识解决问题的能力。）

3.思维拓展层：探究规律。

观察下面两组算式，不计算，你能直接写出答案吗？说说你的发现。

A组：24÷3=8B组：48÷6=8

2.4÷3=？4.8÷6=？

0.24÷3=？0.48÷6=？

（设计意图：从具体的计算上升到对“被除数与商的变化规律”的观察，培养学生合情推理能力和数学洞察力，为后续学习商不变的规律在小数除法中的应用埋下伏笔。）

练习过程中，教师巡视，进行个别指导，并对共性问题进行集中点评。

七、教学评价设计与学业质量描述

过程性评价：主要观察学生在探索算法、小组讨论、汇报交流中的参与度、思维深度和合作意识。通过课堂提问、板演、巡视中学生暴露的典型错误（如小数点位置错误、忘记点小数点、添0处理不当等），即时诊断学情，调整教学节奏。

练习评价：通过分层练习的完成情况，评估不同层次学生对算法法则的掌握程度和应用能力。基础题要求全员掌握；综合题考察学生信息提取、建模和应用能力；拓展题旨在激发学有余力学生的思维潜能。

学业质量描述：

优秀：能清晰阐述小数除以整数的算理，熟练、准确地进行竖式计算，包括处理“添0继续除”的情况。能灵活运用知识解决变式问题，并能发现和解释简单规律。

良好：理解小数除以整数的算理，能正确进行竖式计算，但在处理“添0继续除”时偶尔需要提示。能独立解决基础和应用类问题。

合格：在教师引导或借助直观模型（如元角分）帮助下，能理解基本算理，掌握算法的主要步骤，能完成基