第1课时矩形的性质课件2026-2027学年北师大版数学九年级上

矩形的性质1北师版九年级上册利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：几何画板.GSP点击播放复习导入不变：变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形。角的大小。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。四边形平行四边形两组对边分别平行探究新知，经历过程矩形邻边相等有一个直角菱形类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究呢？与同伴进行交流。你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？性质边角对角线对称性矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称图形尝试·思考（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？探索活动点击播放几何画板.GSP矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。你能证明这两个定理吗？已知：如图，四边形ABCD

是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O。求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；证明：（1）∵四边形ABCD

是矩形，∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），

AB∥DC（矩形的对边平行）。∴∠ABC+∠BCD=180°。又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°。∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。已知：如图，四边形ABCD

是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O。求证：（2）AC=DB。（2）∵四边形ABCD

是矩形，∴AB=DC（矩形的对边相等），在△ABC和△DCB中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB，BC=CB。∴△ABC≌∠DCB。∴AC=DB。定理矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。∵四边形ABCD

是矩形∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°∵四边形ABCD

是矩形∴AC=DB请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

（1）矩形是不是中心对称图形？

如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点点击播放请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

（1）矩形是不是中心对称图形？

如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。点击播放

矩形的性质矩形的对边平行且相等。角对角线边矩形的对角线相等。矩形的对角线互相平分。矩形的四个角都是直角。矩形的对角相等。对称性矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。如图，在矩形纸片ABCD

中，对角线AC与BD

相交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，得到如图所示的图形，观察·思考

BE

是Rt△ABC

中一条怎样的线段？它与AC

有什么大小关系？由此你能得到什么结论？证明：∵四边形ABCD

是矩形，∴AB=DC（矩形的对边相等），∴BE=DE=AE=CE,在Rt△ABC中，AC为斜边，BE为斜边上中线，∴BE=AC。定理直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，D

是斜边AB

的中点。可得：几何语言：例1

如图，在矩形ABCD中，对角线AC

与BD

相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。解：∵四边形ABCD

是矩形，∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），AC=BD（矩形的对角线相等），OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的对角线互相平分）。∴OA=OD。∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°－120°)=30°。∴BD=2AB=2×2.5=5。巩固练习，深化提高1.如图，在矩形ABCD

中，有（）个直角三角形，分别为_________________________________，它们有什么关系？有（）个等腰三角形，分别为_________________________________，它们有什么关系？4△ABC、△BCD、△ADC、△DAB△ABC≌△BCD≌△ADC≌△DAB4△AOB、△AOD、△COD、△BOC△AOB≌△COD、△AOD≌△COB2.如图，在Rt△ABC

中，CD

是斜边AB

上的中线。若∠A=20°，则∠BCD

的度数为（）A.110° B.70°C.50° D.20°B3.如图，在矩形ABCD

中，两条对角线

AC

与BD相交于点O，AB=6，OA=4.求BD

与AD

的长。【选自教材P13随堂练习】解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴BD=2AO=8，在Rt△ABD

中，AD2+AB2=BD2，AD2+62=82，∴AD=。4.如图，矩形ABCD

的对角线相交于点O，过点O

作OG⊥AC，交AB

于点G，连接CG。若∠BOG=15°，求∠BCG

的度数。解：∵四边形ABCD

是矩形，∴∠ABC

＝90°，BD=AC，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC。∵OG⊥AC，∴GA=GC，∠GOC=90°，∴∠ACG=∠CAG。∵∠BOG

＝15°，∴∠BOC=∠GOC－∠BOG=90°－15°=75°，∴∠OCB=∠OBC=（180°－∠BOC）=52.5°，∴∠CAB=90°－∠OCB=37.5°，∴∠ACG=∠CAB=37.5°，∴∠BCG=∠OCB

－∠ACG=52.5°－37.5°=15°。5.如图，在矩形ABCD

中，AB=3，对角线AC

与BD

相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且AE

平分∠BAC，求AC

的长。解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AO=CO。∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠OAE。∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠AEO=90°。又∵AE=AE，∴△A