二次函数与一元二次方程第1课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第5章二次函数4二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程导入新课

竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示。(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。解：(1)将点(0，0)，(8，0)代入可得h＝－5t2＋40t；(2)当h＝0时，t1＝0，t2＝8，∴小球经过8s落地。

探究新知二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示.【探究1】观察·思考（1）（2）（3）(1)每个图象与x轴有几个交点？两个交点一个交点y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2没有交点(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根？用判别式验证一下。解：x²+2x=0两个根x（x+2）=0x=0或x+2=0x1=0,x2=-2两个相同的根x²-2x+1=0（x-1）²=0x-1=0∴x1=x2=1解：∵△＝b²-4ac一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗？＝（-2）²-4×1×2＝-4＜0∴原方程无实数根(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？抛物线y=ax2+bx+c与x轴ax2+bx+c=0的根△=b2–4ac

有两个交点有两个不同实根△>0有一个交点有两个相同实根△=0没有交点没有根△<0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。归纳总结Δ＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；Δ＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点，交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；Δ＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点。h=－5t2＋40t何时小球的高度是60m？你是如何知道的？【方法指导】已知h＝－5t2＋40t，把h＝60代入即可求出时间．解：由－5t2＋40t＝60，【探究2】观察·思考解得t1＝2，t2＝6.即当小球经过2s和6s时小球离地面60m.应用举例【例1】若二次函数y＝2(k－1)x2－4kx＋2(k－1)的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围。

【方法指导】由题意知该函数为二次函数，则2(k－1)≠0，又与x轴有两个交点，则说明当y＝0时，2(k－1)x2－4kx＋2(k－1)＝0有两个不同的实数根，即b2－4ac＞0。解：由题意，得

【例2】画出二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象解答下列问题：(1)图象与x轴的交点的坐标是什么？(2)当x取何值时y＝0？这里x的值与方程x2－2x－3＝0有何关系？(3)你能从中得到什么启示？【方法指导】∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标是(1，4)，列表取值时，x取－2，－1，0，1，2，3，4，求出相应的y值，即可描点、连线，画出二次函数的图象，得到二次函数的图象与x轴的交点坐标，这时再求出方程x2－2x－3＝0的解，即二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标。解：二次函数y＝x2－2x－3的图象如图。(1)图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)；yx12123-1-2-1-2-3-4O(2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，这里x的值是方程x2－2x－3＝0的两个根；(3)二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根；二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的两根。yx12123-1-2-1-2-3-4O随堂练习1.一个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位:m)可以用公式h=-4.9t²+19.6t来表示，其中t(单位:s)表示小球被弹出后经过的时间。（1）出函数h=-4.9t²+19.6t的图象；（2）当t=1，2时，小球的高度分别是多少？（2）当t=1时，h=-4.9+19.6=14.7（m）当t=2时，h=-4.9×2²+19.6×2=19.6（m）

(3)方程-4.9t²+19.6t=0和方程-4.9t²+19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么?你能在图象上表示出来吗?2.二次函数y=x2+bx-1(b为常数)的图象与x轴相交吗?如果相交，有几个交点?解:二元一次方程x2+bx-1=0中，

∴二次函数y=x2+bx-1与x轴有两个交点.解:一元二次方程x2-6x+4=1的根是二次函数y=x2-6x+4的图象与直线y=1的交点的横坐标.x…0123456…y…4-1-4-5-4-14…3.一元二次方程x2－6x+4=1的根与二次函数y=x2－6x+4的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来.以下作函数y=x2-6x+4的图象.列表：描点、连线,图象简图如图所示,方程两根为点A,B的横坐标.4.二次函数y=－x2+3x+4的图象与一次函数y=2x－1的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标？解：由题意得－x2+3x+4=2x－1，即x2－x－5=0，∵△=b2－4ac=1+20=21＞0，

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