第2课时最大利润问题2026-2027学年人教版九年级数学上册

最大利润问题R·九年级上册学习目标掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题；经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.复习旧知1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤：审→设→列→解→答公式法：顶点坐标配方法：y=a（x-h）2+k复习旧知2.销售问题中有关利润的公式：（1）利润=售价－进价（2）总利润=单件利润×销售量情境导入在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获利最大呢？探究新知探究1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？进价/元售价/元数量/件利润/元现价4060300涨价4060+n300-10n降价4060-m300+20m

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？进价/元售价/元数量/件利润/元现价4060300涨价4060+n300-10n降价4060-m300+20m先确定n的取值范围解：设每件涨价n元，利润为y1.则y1=(60+n-40)(300-10n)即y1=-10n2+100n+6000利润=（售价－进价）×销量可得：0≤n≤30.(0≤n≤30,n为整数)y1=-10n2+100n+6000（0≤n≤30,n为整数）根据上面的函数，填空：当n=_______时，y1最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元.=-10(n2-10n)+6000=-10(n-5)2+625055656250进价/元售价/元数量/件利润/元现价4060300涨价4060+n300-10n降价4060-m300+20m先确定m的取值范围解：设每件降价m元，利润为y2.则y2=(60-m–40)(300+20m)即y2=-20m2+100m+6000利润=（售价－进价）×销量可得：0≤m≤20.(0≤m≤20,m为整数)y2=-20m2+100m+6000(0≤m≤20,m为整数)根据上面的函数，填空：当m=_______时，y1最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元.2或32或358或576120=-20(m2-5m)+6000=-20(m-2.5)2+6125（2）降价情况下，定价57或58元时，有最大利润6120元.（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.综上可知：该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.进价/元售价/元数量/件利润/元现价40603006000涨价40652506250降价4057/58360/3406120在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤：(1)列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(2)在自变量的取值范围内，运用顶点公式或配方法求出二次函数的最大值.需要注意的是：当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元.(1)求每天的销售利润y(单位:元)与销售单价x(单位:元)之间的函数关系式.(2)销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?练一练成本(元/件)销售单价(元)销售量(件)降价前5010050降价后解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=-5x2+800x-27500，即y=-5x2+800x-27500(50≤x≤100).成本(元/件)销售单价(元)销售量(件)降价前5010050降价后50x50+5(100-x)(2)y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500.因为-5<0，50≤x≤100，所以当x=80时，y有最大值4500，即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元.练习1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？【选自教材P53练习

第1题】解：设旅行团的人数为x人，营业额为y元.则每人缴费2100－30(x－20)元，y=[2100－30(x－20)]x=－30x2+2700x=－30(x-45)2+60750.所以当x=45时，y最大值=60750.答:旅行团的人数为45人时,旅行社可获得最大营业额60750元.练习2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少?【选自教材P53练习

第2题】

所以当x=160时，y最大=2700.答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2700元.随堂演练1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标(用公式)：(1)y=-4x2+3x;(2)y=3x2+x+6.2.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.(1)0≤x≤6；(2)-2≤x≤2.解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14(1)当0≤x≤6时，当x=3时，

y有最大值14,当x=0或6时，y有最小值5.(2)当-2≤x≤2时，当x=2时，y有最大值13,当x=-2时，y有最小值-11.3.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？解：设所得利润为y元.由题意得y=x(200-x)-30(200-x)=-x2+230x-6000=-(x-115)2+7225(0<x<200)当x=115时，y有最大值.即当这件商品定价为115元时，利润最大.4.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件.若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？解：设每件应降价x元，每天的利润为y元.由题意得：y=(20-x)(40+10x)=-10x2+160x+800=-10(x-8)2+1440(0＜x＜20).当x=8时，y取最大值1440.即当每件降价8元时，每