福建省福州市八县市协作校2025-2026学年高二下学期期中联考试题 数学 版含解析

福建福州市八县市协作校2025-2026学年高二下学期期中联考

数学试题

一、单选题

1．中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类.现有4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、药墨中选购1种，

则不同的选购方式有（）

A．34种B．321种C．43种D．432种

2．下列函数的求导正确的是（）

11

A．B．sinxcosx

xx2

1xx

C．ln2xD．xe1xe

2x

3．随机变量X的分布列为：

X123

Pa2a3a

则P(X2)（）

1257

A．B．C．D．

23612

4．现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务.若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至

少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（）

A．24B．36C．48D．56

1

5．已知函数fxalnxx26x4在定义域内单调递增，则a的取值范围是（）

2

A．0,B．0,C．9,D．9,

6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回

答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人

的名次排列可能有多少种不同情况（）.

A．18B．36C．48D．54

7．一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸

球，每次摸取1个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为X，则X的数学期望EX（）

10897

A．B．C．D．

3344

8．已知函数fx是定义在R上的函数，且满足fxfx0，其中fx为fx的导数，设af0，

b3fln3，cef1，则a、b、c的大小关系是（）

A．cbaB．abcC．cabD．bca

二、多选题

623456

9．已知x2a0a1xa2xa3xa4xa5xa6x，则（）

A．a01B．a1a2a3a4a5a663

361361

C．aaaaD．a1a3a5

024622

10．某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X（单位：g）服从正态分布N,2，且

17

PX14，PX18．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量X在区间14,18上的

88

件数记为，则（）

3

A．16B．P14X18

4

27

C．P1D．E3

64

fx

11．已知函数fx与其导函数fx的部分图象如图所示，若函数gx，则下列关于函数gx的

ex

结论正确的是（）

A．在区间3,6上单调递增B．在区间3,1上单调递增

C．当x1时，函数gx有极小值D．当x3时，函数gx有极大值

三、填空题

2xx2

12．已知C17C17xN，则x__________．

13．已知函数fxlnx3x2的图象在点1,f1处的切线方程为______.

14．某学校工会组织“掷骰子赢奖品”活动．规则是连续掷三次骰子，并按顺序记录．若三次点数a，b，c

满足|ab||bc|，则该投掷序列被视为“幸运序列”．则共有________种不同的“幸运序列”．

四、解答题

n

1

15．已知二项式2x的展开式中各项的二项式系数之和为128．

x

(1)求n；

(2)求展开式中含x项的系数；

(3)求展开式的第六项．

1

16．已知函数fxx3ax2bx的两个极值点分别为2和3．

3

(1)求fx的解析式；

(2)若直线y4xc与曲线yfx有且仅有两个公共点，求c的值．

17．如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆

通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，

显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答

71

被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问

82

1

题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．

5

(1)求AI智能客服的回答被采纳的概率；

(2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望、方

差；

(3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计

10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为Y，若EY75，则推广使用该功能．试推断该功

能是否会得到推广，请说明理由．

18．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校

学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体

能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，

则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．

(1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的

2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列

(2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制

2

（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四

3

局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；

(3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布

N,2．已知74,7，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：

PZ0.6826,P2Z20.9544,P3Z30.9974．

19．设函数fxexax1.

(1)讨论fx的单调性；

(2)若fxaa2，求a的取值范围；

(3)设c1，证明：当x0,1时，ecx1ec1x.

参考答案

1．A

【详解】每个人有3种选择，根据分步乘法计数原理可知共有333334.

2．D

11

【详解】对于A：，故A错误；

xx2

对于B：sinxcosx，故B错误；

11

对于C：ln2x2，故C错误；

2xx

xxxx

对于D：xeexe1xe，故D正确.

故选：D.

3．C

1

【详解】由题意可得a2a3a1，解得a，

6

5

所以P(X2)P(X2)P(X3)2a3a.

6

故选：C.

4．B

2

【详解】先将4支救援队分成3组，其中一组有2支，另外两组各有1支，方法数为C46种，

3

再将这3组分配到3个不同的受灾点，有A36种分配方法，

故不同的安排方法数是6636种.

5．D

1

【详解】fxalnxx26x4的定义域为0,，

2

a

所以fxx60在0,上恒成立，

x

2

所以ax26x在0,上恒成立，因为函数yx26xx39，

所以当x3时yx26x取得最大值9，

所以a9，即a的取值范围是9,.

故选：D.

6．D

【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

3

所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其余人全排列，有A3种方法，

3

所以5人的名次排列有33A354种方法.

故选：D.

7．D

【详解】依题意知：X的取值为1,2,3,4，

31

故PX1（第一次摸到红球），

62

333

PX2（第一次摸到非红球，第二次摸到红球），

6510

3233

PX3（前两次摸到非红球，第三次摸到红球），

65420

3211

PX41（前三次摸到非红球，第四次摸到红球），

65420

13311694

期望：EX1234，

21020202102020

101294357

.

20202020204

8．D

【详解】令gxexfx，则gxexfxexfxexfxfx，

因为fxfx0，而ex0恒成立，所以gx0，

所以gx在R上单调递增，

又01lneln3，所以g0g1gln3，

因为af0e0f0g0，b3fln3eln3fln3gln3，cef1g1，

所以acb，即bca.

故选：D.

9．BC

6

【详解】令x0，可得a02，所以A错误；

6

令x1，可得12a0a1a2a3a4a5a6，

即a0a1a2a3a4a5a61，

所以a1a2a3a4a5a61a016463，所以B正确；

66

令x1，所以12a0a1a2a3a4a5a6，即a0a1a2a3a4a5a63，

6

又因为a0a1a2a3a4a5a61，两式相加得2a02a22a42a631，

361

所以aaaa，所以C正确；

02462

361

因为a0a1a2a3a4a5a61，aaaa，

02462

361136

所以aaa1，所以D错误.

13522

10．ABD

771

【详解】A选项，由PX18，得PX181，

888

故PX14PX18，

1418

由正态分布的对称性可知16，A正确；

2

3

B选项，P14X181PX18PX14，B正确；

4

33

选项，由题意得，故1313，错误；

CB4,P1C4C

44464

3

D选项，E43，D正确.

4

11．ACD

fxexfxexfxfx

【详解】g(x)，

e2xex

由图可知，fx与其导函数fx的图象如下所示：

fxfx

对于A，当x3,6时，fxfx,故g(x)0，

ex

因此gx在区间3,6上单调递增，A正确，

fxfx

对于B，当x3,1时，fxfx，故g(x)0，

ex

因此gx在区间3,1上单调递减，B错误，

fxfx

对于C，当x1,3时，fxfx,故g(x)0，

ex

因此gx在区间1,3上单调递增，结合B选项可知，x1是gx的极小值点，C正确，

fxfx

对于D，当x,3时，fxfx,故g(x)0，

ex

因此gx在区间,3上单调递增，结合B选项可知x3是gx的极大值点，D正确，

12．2或5

【详解】由题意可得2xx2或2xx217，解得x2或x5.

故答案为：2或5.

13．5xy20

【详解】由fxlnx3x2，

1

则fx6x，则f1165，

x

且f1033，

所以函数在点1,f1处的切线方程为y35x1，

即5xy20.

故答案为：5xy20

14．48

【详解】由已知可知要满足|ab||bc|，则需要讨论a，b，c之间的关系

若abc，因为骰子的点数是1到6，所以a，b，c的取值共有6种情况.

若a，b，c不全相等，因为abbcabbc或abbc

ac

当abbc时，b，所以ac一定是偶数

2

2

若a，c都是奇数，则一定在1,3,5中取两个共有A36种情况.

2

同理当a，c都是偶数时也共有A36种情况.

当abbc时，即ac，此时b可以取1到6中除ac外的5个值，因为a可以取1到6这6个值，

所以共有6530种情况.

因此“幸运序列”共有6123048种情况.

15．(1)n7

(2)-280

(3)672x4

n

1

【详解】（1）因为二项式2x的展开式中各项的二项式系数之和为128．

x

所以2n128，解得n7．

77r3r7

11rr

（）二项式展开式的通项为rr2，，

22xTr1C72xC72xr0,1,2,3,4,5,6,7

xx

3r7

令1，解得：r3，

2

33

所以当r3时，2C7280，

故展开式中含x项的系数为280．

7

3r7

1r

（3）根据（2）可得，二项式2x展开式的通项为TCr2x2，r0,1,2,3,4,5,6,7，

xr17

357

54

令r=5，可得524，所以展开式的第六项为672x．

T6C72x672x

11

16．(1)fxx3x26x

32

710

(2)c或c

63

【详解】（1）fxx22axb，

由题意，得2和3是关于x的方程fx0的两根，

1

232a,a,

由韦达定理，得解得2

23b,

b6,

此时fxx2x6x3x2．

当x2时，fx0；当2x3时，fx0；当x3时，fx0，

所以fx在,2和3,上单调递增，在2,3上单调递减，

所以x2是fx的极大值点，x3是fx的极小值点，符合题意．

11

综上，fxx3x26x．

32

（2）直线y4xc与曲线yfx有且仅有两个公共点，等价于关于x的方程fx4xc仅有两个实

根，

11

即关于x的方程x3x22xc0仅有两个实根．

32

11

设gxx3x22xc，则gxx2x2x2x1．

32

当x1时，gx0；当1x2时，gx0；当x2时，gx0，

所以gx在,1和2,上单调递增，在1,2上单调递减，

所以x1是gx的极大值点，x2是gx的极小值点，

710

且g1c，g2c．

63

77

c0,c0,

66

根据题意，得或

1010

c0,c0,

33

710

解得c或c．

63

4

17．(1)

5

(2)

X0123

1124864

P

125125125125

1212

EX，DX

525

(3)该系统会得到推广，理由见解析

【详解】（1）设事件A表示回答被采纳，事件B表示问题表达清晰，

1471

则P(B),P(B),P(AB),P(AB)，

5582

74114

则PAPABPBPABPB；

85255

4

（2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率p，且每次回答是否被采纳相互独立，

5

4

因此随机变量X服从二项分布X~B3,，

5

03

则0411，

PX0C3

55125

12

14112，

PX1C3

55125

21

24148，

PX2C3

55125

30

34164，

PX3C3

55125

X的分布列为：

X0123

1124864

P

125125125125

4124412

EXnp3，DXnp1p31；

555525

4

（3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有~B10,，总得分Y10，

5

4

则EY10E10108075，

5

满足推广条件，因此该系统会得到推广.

18．(1)分布列见解析

4

(2)

15

(3)高二年级学生体能检测合格

【详解】（1）由题意X的可能取值为0，1，2，

2112

C21C3C23C33

所以PX02,PX12,PX22，

C510C55C510

所以X的分布列为

X012

133

P

10510

（2）令事件A表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件A1表示“甲以3:1获胜”，事件A2表示“甲以

3:2获胜”，事件B表示“甲前2局比赛均获胜”，

323

所以112821216，

PA1C3,PA2C4

33273381

81640

所以PAPAPA，

12278181

222

2122123