高中数学第六章　§6.3　6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示　6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示学习目标1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(重点)2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(重点)导语在初中，我们知道，平面直角坐标系中的每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，从而可以把有关位置关系的问题转化成计算问题，这给我们的研究带来了很多方便.上节课所学的平面向量基本定理告诉我们，指定基底之后，对平面上的任何一个向量都存在一组有序数对，使该向量具有唯一的分解方式.那这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？建立了“向量的坐标”的概念会给对我们研究向量带来怎样的方便呢？通过今天的学习，我们会找到答案.下面让我们到知识的海洋里遨游吧！一、平面向量的正交分解及坐标表示问题1平面向量基本定理的内容是怎样的？提示如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.问题2如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，这里的向量i，j长度和方向上有什么特点？能作为平面内的一个基底吗？为什么？提示向量i，j都是单位向量，而且互相垂直.由于i，j不共线，所以能作为平面内的一个基底.问题3如上图，在平面直角坐标系中，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？提示由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.知识梳理1.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标.3.坐标表示：a=(x，y).4.特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).注意点：(1)表示点的坐标与表示向量的坐标的书写形式不同，A(x，y)，a=(x，y).(2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同.例1(课本例3)如图所示，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标.解由图可知，a=AA1+AA2=2所以a=(2，3).同理，b=-2i+3j=(-2，3)，c=-2i-3j=(-2，-3)，d=2i-3j=(2，-3).例1如图，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j，用{i，j}作为基底，若|a|=2，θ=45°，则向量a的坐标为()A.(1，1) B.(-1，-1)C.(2，2) D.(-2，-2)答案A解析由题意，得a=(2cos45°)i+(2sin45°)j=i+j=(1，1).反思感悟求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.(2)求一个向量的坐标，可以把该向量进行正交分解，在相应的直角三角形内求向量的长度，从而求出对应的坐标.跟踪训练1已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|=43，∠xOA=60°，求向量OA的坐标.解设点A(x，y)，则x=|OA|cos60°=23，y=|OA|sin60°=6，即A(23，6)，所以OA=(23，6).二、平面向量加、减运算的坐标表示问题4已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a+b，a-b的坐标吗？提示a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2).问题5如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求AB的坐标？提示AB=OB-OA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1).知识梳理设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则如表所示.符号表示文字叙述加法a+b=(x1+x2，y1+y2)两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)减法a-b=(x1-x2，y1-y2)重要结论已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标注意点：向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.例2已知a=AB，B点的坐标为(1，0)，b=(-9，12)，c=(-2，2)，且a=b-c，求A点的坐标.解∵b=(-9，12)，c=(-2，2)，∴b-c=(-9，12)-(-2，2)=(-7，10)，∴a=b-c=(-7，10)=AB.又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则AB=(1-x，-y)=(-7，10)∴1-x=-7,即A点的坐标为(8，-10).反思感悟平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.跟踪训练2已知A(3，5)，B(1，-2)，C(2，1)，则AB+AC等于()A.(3，11) B.(-3，-11)C.(9，9) D.(-9，-9)答案B解析由A(3，5)，B(1，-2)，C(2，1)，得AB=(-2，-7)，AC=(-1，-4)，所以AB+AC=(-3，-11).三、平面向量坐标运算的应用例3(课本例5)如图所示，已知▱ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(-2，1)，(-1，3)，(3，4)，求顶点D的坐标.解方法一设顶点D的坐标为(x，y).因为AB=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，DC=(3-x，4-y)，又AB=DC，所以(1，2)=(3-x，4-y).即1=3-x,所以顶点D的坐标为(2，2).方法二如图所示，由向量加法的平行四边形法则可知BD=BA+BC=(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)=(3，-1)，而OD=OB+BD=(-1，3)+(3，-1)=(2，2).所以顶点D的坐标为(2，2).例3在平面直角坐标系Oxy中，点A(-1，2)，B(4，3)，C(3λ，4+2λ)，AP=AB+AC(λ∈R).(1)试求实数λ为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上；(2)若点P在第三象限内，求实数λ的取值范围.解(1)由题意得，AC=(3λ+1，2λ+2).∵AP=AB+AC，∴OP=OA+AP=OA+(AB+AC)=OB+AC=(4，3)+(3λ+1，2λ+2)=(3λ+5，2λ+5)，∴P(3λ+5，2λ+5).∵点P在第二、四象限的角平分线上，∴3λ+5=-(2λ+5)，解得λ=-2.(2)由(1)知，P(3λ+5，2λ+5)，∵点P在第三象限内，∴3解得λ<-52∴λ的取值范围为-∞反思感悟坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等.(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.跟踪训练3已知点O(0，0)，A(1，2).(1)若点B(3t，3t)，OP=OA+OB，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)若B(4，5)，P(1+3t，2+3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.解(1)由题意得，OP=OA+OB=(1，2)+(3t，3t)=(1+3t，2+3t)，若点P在x轴上，则2+3t=0，即t=-23若点P在y轴上，则1+3t=0，即t=-13若点P在第二象限，则1+3即-23<t<-1(2)由题意得，OA=(1，2)，PB=OB-OP=(3-3t，3-3t)，若四边形OABP为平行四边形，则OA=PB，即3-3t故四边形OABP不可能是平行四边形.1.知识清单：(1)平面向量的正交分解及坐标表示.(2)平面向量加、减运算的坐标表示.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：已知A，B两点求AB的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.1.若A(3，1)，B(2，-1)，则BA的坐标是()A.(-2，-1) B.(2，1)C.(1，2) D.(-1，-2)答案C解析由题意得，BA=(3，1)-(2，-1)=(1，2).2.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则AB可以表示为()A.2i+3j B.4i+2jC.2i-j D.-2i+j答案C解析设O为坐标原点，∵A(2，3)，B(4，2)，∴OA=2i+3j，OB=4i+2j，∴AB=OB-OA=4i+2j-2i-3j=2i-j.3.已知向量a=(m，2)，b=(1，-2)，若a+b=0，则实数m的值为()A.-4 B.4 C.-1 D.1答案C解析由题意，向量a=(m，2)，b=(1，-2)，所以a+b=(m+1，0)=(0，0)，可得m+1=0，解得m=-1.4.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量AB-BC+AC的坐标为.答案(2，0)解析依题意得A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，C(1，1)，∴AB=(1，0)，AC=(1，1)，BC=(1，1)-(1，0)=(0，1)，故AB-BC+AC=(1，0)-(0，1)+(1，1)=(2，0).课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.已知向量a=(2，4)，a+b=(3，2)，则b等于()A.(1，-2) B.(1，2)C.(5，6) D.(2，0)答案A解析b=a+b-a=(3，2)-(2，4)=(1，-2).2.已知M(3，-2)，N(5，-1)，若NP=MN，则点P的坐标为()A.(3，2) B.(3，-1)C.(7，0) D.(1，0)答案C解析设点P的坐标为(x，y)，则NP=(x-5，y+1)，MN=(2，1)，因为NP=MN，即(x-5，y+1)=(2，1)，所以x-5=2,y所以P(7，0).3.(多选)下面几种说法中正确的有()A.相等向量的坐标相同B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C.一个坐标对应于唯一的一个向量D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应答案ABD解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误.4.(多选)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是()A.OA=2i+3j B.OB=3i+4jC.AB=-5i+j D.BA=5i+j答案AC解析因为i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，可得OA=2i+3j，OB=-3i+4j，AB=OB-OA=-5i+j，BA=5i-j.5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若AB=(2，4)，AC=(1，3)，则BD等于()A.(-2，-4) B.(-3，-5)C.(3，5) D.(2，4)答案B解析∵AC=AB+AD，∴AD=AC-AB=(-1，-1)，∴BD=AD-AB=(-3，-5).6.已知向量AB与a=(6，-8)的夹角为π，且|AB|=|a|，若点A的坐标为(-1，2)，则点B的坐标为()A.(-7，10) B.(7，10)C.(5，-6) D.(-5，6)答案A解析由题意知AB与a的长度相等，方向相反，所以AB=-a=(-6，8)，又因为A(-1，2)，设B(x，y)，则AB=(x+1，y-2)=(-6，8)，所以x解得x即B(-7，10).7.已知两点A(4，1)，B(7，-3)，若AB+AC=0，则点C的坐标是()A.(1，5) B.(-3，4)C.(-1，-5) D.(4，-3)答案A解析设C(x，y)，则AC=(x-4，y-1).又AB=(7，-3)-(4，1)=(3，-4)，AB+AC=0，∴(3，-4)+(x-4，y-1)=(0，0)，∴3+∴x∴C(1，5).8.(5分)在平面直角坐标系中，|a|=22，a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为135°，则a的坐标为.答案(-2，2)解析设a的坐标为(x，y)，则x=|a|cos135°=22×-22=-2，y=|a|sin135°=22×22=2，所以a的坐标为(-2，9.(5分)已知a+b=(2，-8)，a-b=(-8，16)，则向量a=，向量b=.答案(-3，4)(5，-12)解析设a=(m，n)，b=(p，q)，则有m+p所以a=(-3，4)，b=(5，-12).10.(10分)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).(1)若OP=AB+AC，求点P的坐标；(5分)(2)若PA+PB+PC=0，求OP的坐标.(5分)解(1)由题意得AB=(1，2)，AC=(2，1)，所以OP=AB+AC=(1，2)+(2，1)=(3，3)，则点P的坐标为(3，3).(2)设点P的坐标为(x，y)，因为PA+PB+PC=0，又PA+PB+PC=(1-x，1-y)+(2-x，3-y)+(3-x，2-y)=(6-3x，6-3y)，所以6-3x=0,所以点P的坐标为(2，2)，故OP=(2，2).11.若i，j分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析由题意知，向量a对应的坐标为(x2+x+1，-x2+x-1).∵x2+x+1=x+122-x2+x-1=-x-122∴向量a对应的坐标位于第四象限.12.(多选)已知A(3，2)，B(5，4)，C(6，7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标可能为()A.(4，5) B.(8，9)C.(10，11) D.(2，-1)答案ABD解析设点D的坐标为(x，y).若是平行四边形ABCD，则由AB=DC，可得(5-3，4-2)=(6-x，7-y)，解得x=4，y=5.故所求顶点D的坐标为(4，5)；若是平行四边形ABDC，则由AB=CD，可得(5-3，4-2)=(x-6，y-7)，解得x=8，y=9，故所求顶点D的坐标为(8，9)；若是平行四边形ACBD，则由AC=DB，可得(6-3，7-2)=(5-x，4-y)，解得x=2，y=-1，故所求顶点D的坐标为(2，-1).综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4，5)或(8，9)或(2，-1).13.(5分)设m=(a，b)，n=(c，d)，规定向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd，ad+bc).已知p=(1，2)，p⊗q=(