高中数学第六章　§6.4　6.4.1　平面几何中的向量方法

6.4.1平面几何中的向量方法学习目标1.能用向量方法解决简单的几何问题.(重难点)2.体会向量在解决数学问题中的作用.导语向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具.一、利用向量证明平面几何问题例1(课本例1)如图所示，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE∥BC，DE=12BC证明如图所示，因为DE是△ABC的中位线，所以AD=12AB，AE=从而DE=AE-AD=12AC-12AB=又BC=AC-AB，所以DE=12于是DE∥BC，DE=12BC例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.证明方法一设AD=a，AB=b，则|a|=|b|，a·b=0.又DE=DA+AE=-a+b2AF=AB+BF=b+a2所以AF·DE=b+a=-a22-34a·b+b22=-12|a|2+故AF⊥DE，即AF⊥DE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则AF=(2，1)，DE=(1，-2).因为AF·DE=(2，1)·(1，-2)=2-2=0，所以AF⊥DE，即AF⊥DE.反思感悟(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素之间的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.上述过程，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”.(2)向量运算有两种思路①基底法：先选取基底，再用基底表示相关向量，进行运算.②坐标法：先建立平面直角坐标系，再写出各点和相关向量的坐标，从而进行运算.跟踪训练1如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且CEED=AFFB=12.求证：点E，O，证明设AB=m，AD=n，由CEED=AFFB=12，知E，F分别是CD，AB的三等分点，所以FO=FA+AO==-13m+12(m+n)=16m+OE=OC+CE=12AC=12(m+n)-13m=16m+所以FO=OE.又点O为FO和OE的公共点，故点E，O，F在同一直线上.二、利用平面向量求几何中的长度问题例2(课本例2)如图所示，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？解第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：如图所示，取{AB，AD}为基底，设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b.第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：AC2=(a+b)2=a2+2a·b+b2DB2=(a-b)2=a2-2a·b+b2上面两式相加，得AC2+DB2=2(a2+b2第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AC2+BD2=2(AB2+AD2).例2如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的长.解以A为坐标原点，以AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3，0)，AC=(3，设AE=λAC，则点E的坐标为(3λ，3λ)，故BE=(3λ，3λ-3)因为BE⊥AC，所以BE·AC=0，即9λ+3λ-3=0，解得λ=14，所以E3故ED=94，-34，即ED的长为212反思感悟用向量法解决长度问题时，如果题目中能找到两条已知夹角和长度的线段，则可以选为基底，从而应用公式|a|2=a2求解；如果题目中能求出a的坐标(x，y)，则利用|a|=x2+跟踪训练2在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.解设AD=a，AB=b，则BD=a-b，AC=a+b，所以|BD|=|a-b|=a=1+4-2a·b=则5-2a·b=4，即a·b=12又|AC|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=1+4+2×12=6所以|AC|=6，即AC=6.三、利用平面向量求几何中的角度问题例3如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且BD=12DC.(1)AD的长；(2)∠DAC的大小.解(1)设AB=a，AC=b，则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+1=23AB+13AC=23∴|AD|2=2=49a2+49a·b+1=49×9+49×3×3×cos120°+19∴|AD|=3，即AD=3.(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°)，则θ为AD与AC的夹角，∴cosθ=AD=23a=23∴θ=90°，即∠DAC=90°.反思感悟(1)用向量法求角度(或余弦值)时，首先要将所求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，再转化为实际问题中的角即可.(2)要注意两向量的夹角和要求角的关系.跟踪训练3若正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE=.答案4解析以点O为坐标原点，OA，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，O(0，0)，D1，12，则OD=1，12，OE故cos∠DOE=OD·OE|OD||1.知识清单：(1)利用向量证明平面几何问题.(2)利用平面向量求几何中的长度、角度问题.2.方法归纳：转化法、数形结合法.3.常见误区：不能将几何问题转化为向量问题.1.在△ABC中，若(CA+CB)·(CA-CB)=0，则△ABC(A.是正三角形 B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形状无法确定答案C解析∵(CA+CB)·(CA-CB)=CA2-CB2=0，即|CA|=|CB|，∴CA=CB，则2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形答案A解析∵AB=(3，3)，CD=(-2，-2)，∴AB=-32CD，∴AB与CD又|AB|≠|CD|，∴该四边形为梯形.3.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于()A.-725 B.725 C.0答案B解析如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，∴DB=(-3，-4)，DC=(3，-4)，∵∠BDC为DB，DC的夹角，∴cos∠BDC=DB·DC|DB||4.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM-AB-AC=0，则△ABM与△ABC的面积之比为.答案1∶3解析如图，设D为BC边的中点，则AD=12(AB因为3AM-AB-AC=0，所以3AM=2AD，所以AM=23所以S△ABM=23S△ABD=13S△即S△ABM∶S△ABC=1∶3.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.在四边形ABCD中，若AB+CD=0，AC·BD=0，则四边形ABCD为()A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形答案D解析由AB+CD=0，得AB=-CD=DC，∴四边形ABCD为平行四边形.由AC·BD=0知，对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形.2.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则(AE+AF)·BD等于(A.-92 B.92答案A解析如图，以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1).∴BD=(-2，1)，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E2，12，F(1，∴AE+AF=3，∴(AE+AF)·BD=3×(-2)+32×1=-3.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，若PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是()A.P在AB边上 B.P在AC边上C.P在BC边上 D.P在△ABC内部答案B解析根据题意可知，若PA+PB+PC=AB，必有PA+PB+PC=PB-PA，变形可得PC=-2PA，则点P在AC边上.4.(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，且向量a，b，满足AB=2a，AC=2a+b，则下列结论正确的是()A.|b|=2 B.|a|=1C.a∥b D.(4a+b)∥BC答案AB解析因为BC=AC-AB=(2a+b)-2a=b，所以|b|=2，故A正确；因为|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，故B正确；因为AB=2a，BC=b，AB与BC不共线，所以a与b不共线，故C错误；设BC的中点为D，连接AD(图略)，则AB+AC=2AD，即2AD=4a+b，显然AD与BC不共线，故4a+b与BC不共线，故D错误.5.在四边形ABCD中，若AC=(1，2)，BD=(-4，2)，则该四边形的面积为()A.5 B.25 C.5 D.10答案C解析∵AC=(1，2)，BD=(-4，2)，AC·BD=0，∴四边形ABCD的对角线互相垂直，又|AC|=5，|BD|=25，∴该四边形的面积为12|AC||BD|=12×5×26.在Rt△ABC中，斜边BC长为2，O是△ABC所在平面内一点，点P满足OP=OA+12(AB+AC)，则|AP|A.2 B.1 C.12答案B解析∵OP=OA+12(AB∴OP-OA=12(AB即AP=12(AB∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线，∴|AP|=1.7.已知O，A，B三点不共线，∠AOB=θ.若|OA+OB|<|OA-OB|，则()A.sinθ>0，cosθ>0B.sinθ>0，cosθ<0C.sinθ<0，cosθ>0D.sinθ<0，cosθ<0答案B解析因为|OA+OB|<|OA-OB|，所以|OA+OB|2<|OA-OB|2，即|OA|2+2OA·OB+|OB|2<|OA|2-2OA·OB+|OB|2，所以OA·OB=|OA||OB|cosθ<0，所以cosθ<0.又θ∈[0，π]，且O，A，B三点不共线，所以θ∈π2所以sinθ>0，cosθ<0.8.(5分)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，则AD与CE的位置关系是.答案AD⊥CE解析由题意知，CA⊥CB，CA=CB，AD·CE=(AC+CD)·(CA+=AC+1=AC+1=-CA+=-13|CA|2+13|CB|2=0，故AD⊥9.(5分)若平面向量OA，OB满足|OA|=1，|OB|≤1，且以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为12，则OA与OB的夹角θ的取值范围是答案π解析以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为S=|OA||OB|sinθ=|OB|sinθ=12所以sinθ=12又因为|OB|≤1，所以12|OB即sinθ≥12且θ∈(0，π)，所以θ∈π10.(10分)已知在△ABC中，C=90°，AB=2，AC=1，D是线段BC上一点，且CD=λCB，F是线段AB上的一个动点.(1)若AD=xAB+yAC，求x-y(用λ的式子表示)；(4分)(2)求CF·FA的取值范围.(6分)解(1)由CD=λCB，得AD-AC=λAB-解得AD=λAB+(1-λ)AC又AD=xAB+yAC，则x=λ，y=1-λ，故x-y=2λ-1.(2)以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，1)，B(3，0)，设F(x，y)，y∈[0，1]，可得AF=(x，y-1)，BF=(x-3，y)，由A，F，B三点共线，可得xy-(x-3)(y-1)=0即x=3(1-y)，代入整理得CF·FA=(x，y)·(-x，1-y)=-x2-y2+y=-3(1-y)2-y2+y=-4y2+7y-3=-4y-782+116，y∈[由函数图象的性质知，当y=78时，CF·FA=-4y-782当y=0时，CF·FA=-4y-782+故CF·FA的取值范围为-3，11.已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC|，NA+NB+NC=0，且PA·PB=PB·PC=PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心答案C解析由|OA|=|OB|=|OC|知点O到A，B，C三点的距离相等，所以O为△ABC的外心.由NA+NB+NC=0，知NA+NB=CN.设AB的中点为D，则NA+NB=2ND=CN，所以点N在△ABC的中线CD上，且2ND=CN，所以N为△ABC的重心.由PA·PB=PB·PC，得PB·(PA-PC)=0，即PB·CA=0所以PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心.12.(多选)已知△ABC的外心是O，其外接圆半径为1，设OA=λOB+μOC，则下列论述正确的是()A.若λ=-1，μ=0，则△ABC为直角三角形B.若λ=μ=-1，则△ABC为正三角形C.当λ=μ=1时，AB·AC=1D.若λ=-1，μ=-3，则△ABC为顶角为30°的等腰三角形答案ABD解析若λ=-1，μ=0，则OA=-OB，所以O是AB的中点，又O是△ABC的外心，从而△ABC为直角三角形，故A正确；若λ=μ=-1，则OA=-OB-OC，即OA+OB+OC=0，所以O是△ABC的重心，又O是△ABC的外心，从而△ABC为等边三角形，故B正确；易知|OA|=|OB|=|OC|=1，当λ=μ=1时，OA是以OB和OC为邻边的平行四边形的对角线，所以△AOB和△AOC都是等边三角形，故∠BAC=120°，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，AB·AC=-12，故C若λ=-1，μ=-3，则OA=-OB-3OC，即OA+OB=-3如图，取AB的中点D，则OA+OB=2OD，从而2OD=-3OC，所以O是中线CD上一点，又因为O是△ABC的外心，即O是△ABC垂直平分线的交点，所以CD⊥AB，从而△ABC是等腰三角形由OA+OB=-3OC两边平方得OA2+OB2+2OA·OB=3OC2.因为OA=OB=OC=1且OA·OB=OAOBcos∠AOB=cos∠AOB所以(*)式化为cos∠AOB=12，所以∠AOB=60°由圆周角是圆心角的一半可得∠ACB=30°，即△ABC为顶角为30°的等腰三角形，故D正确.13.(5分)莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.已知A，B两点间的距离为2，点P为AB上的一点，则PA·(PB+PC)的最小值为答案10-47解析设D为BC的中点，连接AD，如图，设E为AD的中点，连接DP，PE，CE，则PA·(PB+PC=2PA·PD=2(PE+EA)·(PE+=2(PE+EA)·(PE-=2(PE2-EA在正三角形ABC中，AD=AB2-BD所以AE=DE=32所以PA·(PB+PC)=2=2PE2-3因为CE=CD2+DE所以|PE|min=2-CE=2-72所以PA·(PB+PC)2|PE|min2-32=2×2-714.(13分)