高中数学第六章　§6.4　培优课　三角形中的几何计算

培优课三角形中的几何计算学习目标正、余弦定理本身就是研究几何图形的边长、角度及面积的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边创造的互补或互余的关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.解三角形问题还常常与基本不等式、向量、三角函数及三角恒等变换等知识综合考查.一、三角形中的中线问题求解三角形中的中线问题，主要有两种思路：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是边BC上的中线.(1)中线长定理：AB2+AC2=2(BD2+AD2)；(2)向量法：AD2=14(b2+c2+2bccos例1在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosB+C2=a(1)求A；(2)若a=19，BA·AC=3，AD是△ABC的中线，求AD的长.解(1)因为cosB+C2=cosπ2-A2=sinA2，所以bsin由正弦定理得sinBsinA2=sinAsinB因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinA2=sinA所以sinA2=2sinA2cosA2，因为A∈(0，π)，A2∈0，π2得cosA2=12，即A2=π3，所以(2)因为BA·AC=3，所以bccos(π-A)=3，得bc=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，则b2+c2=a2+2bccosA=13，因为AD=12(AB+AC)，所以|AD|2=14(AB+AC)2=14(c2+b2+2bccosA)=74，所以|二、三角形中的角平分线问题求解三角形的角平分线问题主要有以下常用解法：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD平分∠BAC交BC于D.(1)利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD；(2)内角平分线定理：ABAC=BD(3)等面积法：S△ABD+S△ACD=S△ABC，AD=2bccos∠例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=2π3，b=23，b2+c2-a2=3bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE等于(A.6 B.7 C.22 D.3答案A解析因为b2+c2-a2=3bc，所以cos∠BAC=b2+c因为B=2π3，所以∠BAC∈0所以∠BAC=π6，所以C=π所以csinπ6所以c=2332因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=12∠BAC=π所以∠AEB=π-2π3-π12=所以csin∠AEB=所以AE=2sinπ4×=222×32(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠c)，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=2，则()A.ac=a+c B.ac=2a+cC.ac=a+2c D.ac=2a+2c答案D解析如图所示，因为S△ABC=S△BCD+S△ABD，所以12ac·sin120°=12×2×asin60°+12×2×csin即34ac=32a+32c，所以ac=2a三、三角形中的最值(范围)问题解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围).例3(1)(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=4，C=π3，则下列选项正确的是(A.△ABC外接圆的半径为4B.△ABC面积的最大值为43C.a+bD.a2+b2的最小值为32答案ABC解析对于A，由正弦定理得2R=csinC=833，所以△ABC外接圆的半径R=对于B，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即16=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时，等号成立，即ab≤16，所以△ABC面积的最大值Smax=12×16sinπ3=43，故对于C，由正弦定理得a+bc=sinA+sinBsinC.又sinC=32，sinB=sin2π3-A=32cosA+12sinA，所以a+bc=233sinA+32cosA+12sinA=3sinA+cosA=2sinA对于D，由余弦定理得16=a2+b2-ab≥a2+b2-a2+b22=a2+b22，所以a2+b2≤32，当且仅当a=b时，等号成立，所以a(2)已知在△ABC中，A=2π3，BC=3，则△ABC周长的最大值为答案3+23解析方法一由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23，从而AC=23sinB，AB=23sin(π-A-B)=23sinπ3-B=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sinB+π3.又0<B<π3，所以π3<B+π3<2π3，所以当方法二由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos2π3，即9=AC2+AB2+AC·AB，所以(AC+AB)2-9=AC·AB，又AC·AB≤AC+AB22，所以(AC+AB)2-9≤14(AC+AB)2，所以(AC+AB)2≤12，故3<AC+AB≤23，当且仅当AC=AB=3时，等号成立，所以课时对点练[分值：80分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，C=120°，c=2bcosB，则AC边上的中线长为()A.3 B.3 C.7 D.4答案C解析方法一由题意结合正弦定理得sinC=2sinBcosB，即sinC=sin2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C=2B或C+2B=180°，当C=2B时，B=60°，不符合三角形内角和定理，当C+2B=180°时，B=30°，故A=30°，因此a=b，因为△ABC的面积为3，所以12a×a×32=3，解得a=2(负值舍去)，即a=b=2.由余弦定理可知，c=a2+b2-2abcosC=4+4-2×2×2×-12=23.设边AC的中点为D，则BD=12(BC+方法二同方法一得a=b=2，取AC的中点D，则CD=1，在△BCD中，由余弦定理得BD=CD2+2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，b=3c，角A的平分线交BC于点D，且BD=7，则cos∠ADB等于()A.-217 B.217 C.2答案B解析因为A=60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD=∠BAD=30°.又b=3c，所以CDBD=S△CADS△因为BD=7，所以CD=37，a=CB=47.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos60°，所以112=9c2+c2-2×3c×c×12，解得c=4(负值舍去)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=csin∠ADB，即712=4sin∠因为b>c，所以B>C.又因为∠ADB=30°+C，∠ADC=30°+B，所以∠ADB<∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB=1-sin2∠3.在△ABC中，AB=22，AC=6，BC边上的中线AD=5，则△ABC的面积为()A.394 B.C.392 D.答案C解析如图所示，延长AD到点E使DE=AD，连接CE，∵BD=DC，∠ADB=∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB=22，AE=25，△ABC的面积等于△ACE的面积.在△ACE中，由余弦定理的推论得cos∠ACE=AC2+CE又0<∠ACE<π，则sin∠ACE=1-316=∴S△ABC=S△ACE=12AC·CEsin∠ACE=12×6×22×1344.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=4，b=16，CD平分∠ACB交AB于D，且CD=4，则BD等于()A.3 B.3 C.23 D.33答案C解析因为CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD，由正弦定理得AC又∠ADC+∠BDC=π⇒sin∠ADC=sin∠BDC，则ACCB=AD设BD=x(x>0)，则AD=4x.又∠ADC+∠BDC=π⇒cos∠ADC+cos∠BDC=0，由余弦定理得AD2+CD2-A整理得20x2-24032x=05.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=6，sinBsinA=6a-bbA.192 B.212答案C解析由sinBsinA=6a-bb及正弦定理得ba=6a-bb所以b=2a，由余弦定理的推论得cosC=a2+b又0<C<π，所以sinC=1-cos2C=1-所以S△ABC=12absinC=a2·-9a4当a2=20，即a=25时，S△ABC取得最大值12.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=465，则BC边上的高线AH的长等于(A.43 B.423答案B解析由题意设∠BAD=∠CAD=α，则∠BAC=2α，如图所示，由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得12×3×2sin2α=12×3×465sinα+12×2×整理得3sin2α=26sinα，即sinα(3cosα-6)=0，又因为sinα≠0，所以cosα=63所以cos2α=2cos2α-1=13，所以sin2α=1-cos2在△ABC中，由余弦定理得a2=32+22-2×3×2cos2α=13-4=9，所以a=3，由S△ABC=12bcsin2α=12a×AH可得，12×3×2×223=12×3二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=23，B=π3，则(A.△ABC外接圆的面积为16πB.若c=4，则C=πC.△ABC面积的最大值为33D.△ABC周长的最大值为63答案BCD解析对于A，由题意知b=23，B=π3，故设△ABC外接圆的半径为R，则2R=bsinB=233则△ABC外接圆的面积为4π，A错误；对于B，若c=4，由bsinB=csinC，得则sinC=1，又C∈(0，π)，∴C=π2，B对于C，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，即12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时等号成立，则S△ABC=12acsinB=34ac≤34×故△ABC面积的最大值为33，C正确；对于D，由b2=a2+c2-2accosB，得12=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac，则(a+c)2=12+3ac≤12+3×a+c22，当且仅当即得23<a+c≤43，故△ABC周长的最大值为43+23=63，D正确.8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，b2+c2-16=3bc，则()A.A=πB.当△ABC有两解时，b的取值范围是(4，8)C.△ABC面积的最大值为8+43D.当BC边上的中线的长为22时，b2+c2=24答案BCD解析对于A，因为a=4，b2+c2-16=3bc，所以b2+c2-a2=3bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，又A对于B，当△ABC有两解时，则bsinA<a<b，即12b<4<b，所以4<b<8，故B对于C，因为b2+c2-16=3bc≥2bc-16，所以bc≤16(2+3)，当且仅当b=c=22+26时取等号，所以S△ABC=12bcsinA=14bc≤8+43，故△ABC面积的最大值为8+43，故对于D，设BC的中点为D，则AD=12(AB+所以AD2=14AB2+AC2+2AB·AC，即32=b2+c2+3所以b2+c2=24，故D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.△ABC三边长分别为AB=5，AC=6，BC=7，则BC边上的中线AD的长为.答案73解析方法一由余弦定理得cos∠BAC=AB2+ACAD=12AD2=14AB2+2AB·故AD=AD=732方法二由中线长公式得(2AD)2+BC2=2(AB2+AC2)，即4AD2+72=2×(52+62)，所以AD2=734即AD=73210.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足acosC+ccosA=2bcosB，若b=22，则△ABC周长的最大值为.答案62解析因为acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，且sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，即sinB=2sinBcosB，又因为B∈(0，π)，则sinB≠0，可得1=2cosB，即cosB=12，又B∈(0，π)所以B=π3又由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac，即8=(a+c)2-3ac，可得ac=(a又因为ac=(a+c)2-83≤(a+c)24，可得(a+当且仅当a=c=22时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为42+22=62.四、解答题(共28分)11.(13分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinA-π6sinA(1)求角A的大小；(6分)(2)若△ABC为锐角三角形，a=1，求△ABC周长的取值范围.(7分)解(1)因为sinA-π6sinA所以32sinA-12cosA-32sinA+12cosA=32所以34sin2A-38(1-cos2A)-18(1+cos2A)整理可得34sin2A+14cos2A=所以可得sin2A+π因为A∈(0，π)，可得2A+π6∈π6，13π6，所以2A+π6=(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC，且a所以b=233sinB，c=233所以a+b+c=1+233(sinB+sinC)=1+23因为△ABC为锐角三角形，所以0<解得π6<B<π2，所以π3<B+π所以sinB+π6所以1+2sinB+π6∈(1+3，即△ABC周长的取值范围是(1+3，3].12.(15分)在锐角△A