高中数学第六章　6.4.3　第1课时　余弦定理

6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(重难点)3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.(重点)导语千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名.现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6km和4km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！一、余弦定理的推导问题1在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？提示如图，设CB=a，CA=b，AB=c，那么c=a-b， ①我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c=|c|2，可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算.由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=a2+b2-2|a||b|cosC.所以c2=a2+b2-2abcosC.问题2类比问题1的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式.提示类比问题1的推理过程，同理可得a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.问题3在问题2的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？提示a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例.问题4在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，请从问题1和问题2得到的三个表达式中推导出确定三个角余弦值的公式.提示cosA=b2+c2-a22bc，cos知识梳理1.余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC推论cosA=b2cosB=c2cosC=a2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.注意点：(1)余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.(2)余弦定理对任意三角形都成立.二、已知两边及一角解三角形例1(1)(课本例5)在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm).解由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2×60×34×cos41°≈1676.78，所以a≈41(cm).由余弦定理的推论，得cosB=c2+a2-利用计算器，可得B≈106°.所以C=180°-(A+B)≈180°-(41°+106°)=33°.(2)(课本例6)在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足sinC=3314，求B(解因为sinC=3314，且所以cosC=1-sin2C=1-由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=49+64-2×7×8×1314=9，所以c进而cosB=c2+a2-利用计算器，可得B≈98°.例1在△ABC中，已知b=5，c=15，B=30°，解这个三角形.解由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得(5)2=a2+(15)2-2a×15×cos30°即a2-35a+10=0，解得a=5或a=25.当a=5时，A=30°，C=120°；当a=25时，a2=20=b2+c2，所以该三角形为直角三角形，且A=90°，C=60°.反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.跟踪训练1(1)在△ABC中，C=2π3，AB=7，BC=3，则AC等于(A.92 B.5 C.11答案B解析由余弦定理得72=AC2+32-2×3×AC·cos2π3即AC2+3AC-40=0，解得AC=5或AC=-8(不符合题意，舍去)，所以AC=5.(2)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a+b=23，ab=2，2cos(A+B)=1，则C的大小为，AB=.答案2π3解析∵cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-12又∵C∈(0，π)，∴C=2π3又∵a+b=23，ab=2，∴AB2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-ab=10，∴AB=10.三、已知三边解三角形例2在△ABC中，已知a=26，b=6+23，c=43，求A，B，C的大小.解根据余弦定理的推论，得cosA=b=(6+23)2∵A∈(0，π)，∴A=π6cosC=a2+=22∵C∈(0，π)，∴C=π4∴B=π-A-C=π-π6-π4=∴A=π6，B=7π12，C=反思感悟(1)已知三角形的三边解三角形的方法①利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角.②先利用余弦定理的推论求出两个角的余弦值，进而确定两个角，再结合内角和定理，确定第三个角.(2)已知三边确定最大或最小的内角的理论依据是“大边对大角”，这一点在比较三角形内角的大小和判断三角形形状时比较有用.跟踪训练2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b+c=3，bc=94，则cosA等于(A.13 B.23 C.1答案A解析cosA=b2+c2-a2(2)在△ABC中，若a∶b∶c=1∶3∶2，求A，B，C.解∵a∶b∶c=1∶3∶2，可设a=x，b=3x，c=2x(x>0)，由余弦定理的推论得，cosA=b2+c2-∵0<A<π，∴A=π6cosB=c2+a2-∵0<B<π，∴B=π3∴C=π-(A+B)=π2四、利用余弦定理判断三角形的形状问题5在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？提示A为直角⇔a2=b2+c2；A为锐角⇔b2+c2>a2；A为钝角⇔b2+c2<a2.例3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据条件，试判断△ABC的形状.(1)若B=60°，2b=a+c.(2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosAsinB=sinC.解(1)在△ABC中，因为B=60°，b=a+由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，所以a+c22=a2+c2-2ac整理，得(a-c)2=0，所以a=c.又B=60°，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形.(2)由2cosAsinB=sinC，得2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB-cosAsinB=0，所以sin(A-B)=0，又A与B均为△ABC的内角，所以A=B.由(a+b+c)(a+b-c)=3ab，得(a+b)2-c2=3ab，所以a2+b2-c2=ab，所以由余弦定理的推论，得cosC=a2+b2-c22所以A=B=60°，所以△ABC为等边三角形.反思感悟(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，常有两种方式：①先化边为角；②先化角为边.(2)①判断△ABC为锐角三角形时，有一个角为锐角，不能说明该三角形为锐角三角形，需要说明三个角均为锐角或最大角为锐角；②判断△ABC为钝角(或直角)三角形时，只要有一个角是钝角(或直角)即可.(3)统一成边或角的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.(4)余弦定理的重要变形：a2+b2-c2=2abcosC；b2+c2-a2=2bccosA；a2+c2-b2=2accosB.跟踪训练3(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是()A.等腰直角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形答案D解析在△ABC中，因为A=60°，a2=bc，所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc，所以bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0，所以b=c.结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a-b=2ccosB，cosA+cosB=1，则△ABC一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定答案A解析由2a-b=2ccosB及余弦定理，可得2a-b=2c·a2所以a2+b2-c2=ab，所以cosC=12又C∈(0，π)，所以C=π3所以A+B=2π3因为cosA+cosB=1，所以cosA+cos2π=cosA+cos2π3cosA+sin2π3sin=cosA-12cosA+32sin=12cosA+32sinA即sinπ6因为A∈0，2π3，A+π所以π6+A=π2，A=从而B=π-A-C=π3所以△ABC为等边三角形.1.知识清单：(1)余弦定理.(2)余弦定理解决的两类问题.(3)应用余弦定理判断三角形的形状.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值为-35，则三角形的另一边长为(A.13 B.213 C.7 D.4答案B解析设所求的边为c，由题意得c2=52+32-2×5×3×-35=52，则c=22.(多选)下列说法中正确的是()A.在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形C.利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题D.在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例答案BCD解析已知两边及其中一边的对角，可用余弦定理先解得第三边，从而解三角形，故A错误，易知B，C，D正确.3.在△ABC中，a=7，b=43，c=13，则△ABC的最小角为()A.π3 B.π6 C.π答案B解析∵c<b<a，∴C为最小角且C为锐角，由余弦定理的推论，得cosC=a=72+(43又C为锐角，∴C=π64.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=-14，则b=答案4解析由余弦定理得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×-14，解得课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，则A等于()A.45° B.60° C.120° D.135°答案A解析方法一由余弦定理得cosA=A=(6)2又0°<A<180°，所以A=45°.方法二由题意得BC<AB<AC，所以A<C<B，又A+B+C=180°，所以A<60°，结合选项可知A正确.2.在△ABC中，b=ccosA，则△ABC一定为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案C解析∵b=ccosA，∴b=c·b2∴2b2=b2+c2-a2，∴b2+a2=c2，故△ABC为直角三角形.3.(多选)在△ABC中，已知A=30°，且3a=3b=12，则c的值为()A.2 B.4 C.6 D.8答案BD解析由3a=3b=12，得a=4，b=43，利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即16=48+c2-12c，解得c=4或c=8.4.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cosB等于()A.14 B.34 C.2答案B解析∵b2=ac，c=2a，∴b2=2a2，∴cosB=a2+c2-5.若△ABC的三条边长分别为5，7，8，则△ABC的最大角与最小角之和为()A.7π12 B.2π3 C.3π答案B解析不妨设a=5，b=7，c=8，根据大边对大角可知，A<B<C.由余弦定理的推论可得cosB=a2+c2-又因为0<B<π，所以B=π3所以A+C=π-B=π-π3=2π所以△ABC的最大角与最小角之和为2π36.(多选)△ABC为钝角三角形，a=2，b=3，则边c的长度可以是()A.2 B.3 C.10 D.4答案AD解析由三角形的边长能构成三角形，得1<c<5，又因为a<b，所以△ABC的钝角可能为角B或角C，则cosB=a2+c2或cosC=a2+b2所以4+c2-9<0或4+9-c2<0，解得1<c<5或13<c<5，故选项A，D满足题意.7.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.518 B.34 C.3答案D解析设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，因为l=5c，所以a=b=2c，由余弦定理的推论，得cosC=a2+b2-8.(5分)在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则A=，AC边上的高为.答案π3解析由余弦定理的推论，可得cosA=AC2+AB2-BC22AC·AB=42+32-(13)则AC边上的高为h=ABsinA=3×32=39.(5分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2-5x+2=0的两个根，C=60°，则c=.答案19解析由题意得a+b=5，ab=2.由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19，所以c=19.10.(10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2+cosA(1)求A的大小；(5分)(2)若a=23，b=2，求c的值.(5分)解(1)∵cosA=2cos2A2-1∴2cos2A2+cos=2cosA+1=0，∴cosA=-12又0°<A<180°，∴A=120°.(2)由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，又a=23，b=2，cosA=-12∴(23)2=22+c2-2×2×c×-1化简得c2+2c-8=0，解得c=2或c=-4(舍去).11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，若m=sinB+3cosB，则实数m的取值范围为()A.(3，2] B.3C.[3，2] D.3答案C解析由余弦定理的推论得cosB=a2+=(a-c)2当且仅当a=c时取等号，∵0<B<π，∴0<B≤π3由已知得m=sinB+3cosB=2sinB+∵π3<B+π3≤∴3≤m≤2，即实数m的取值范围为[3，2].12.(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是()A.若a2+b2<c2，则C>πB.若ab>c2，则C≥πC.若a3+b3=c3，则C<πD.若a+b=2c，则C>π答案AC解析由a2+b2<c2，可以得出cosC=a2+∴C>π2，故A由ab>c2，得cosC=a2+b2-得0<C<π3，故B假设C≥π2则c>a，c>b，cosC=a2+b∴c2≥a2+b2，即c3≥ca2+cb2>a3+b3，与a3+b3=c3矛盾，∴C<π2，故C取a=b=c=2，满足a+b=2c，此时C=π3，故D错误13.(5分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=B，b+acosC=c=1，则b=.答案1+解析∵A=B，∴a=b.又b+acosC=c=1，由余弦定理的推论可得b+a·a2+b2即b+b·b2+b2-12b2=1，又b>0，解得b=1+514