高中数学第六章　6.4.3　第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例学习目标1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.(重难点)2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.导语在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题.通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.今天我们就来学习如何解决此类问题.一、距离问题例1(课本例9)如图所示，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离.解如图所示，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理，得AC=asin(γ+BC=asinγsin⁡[180°-于是，在△ABC中，由余弦定理可得A，B两点间的距离AB=A=a2例1如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，求A，B两点的距离.解在△BCD中，∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45°，∴∠CBD=90°-45°=∠BCD，∴BD=CD=40，BC=BD2+在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=60°+45°=105°，∴∠CAD=180°-(30°+105°)=45°.由正弦定理，得AC=CDsin30°sin45°=20在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠BCA=(202)2+(402)2-2×202×402cos=2400，∴AB=206，故A，B两点之间的距离为206m.反思感悟求两个不可到达的点之间的距离问题，本质是求三角形的边长，基本的解题步骤(1)认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求的量转换成三角形中的已知和未知的边和角.标注角的大小时，注意三角形内角和定理以及三角恒等变换公式的应用.(2)根据条件和图形特点寻找合适的三角形，综合利用正、余弦定理求解.跟踪训练1某海轮以30nmile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，则P，C间的距离为()A.20nmile B.207nmileC.30nmile D.307nmile答案B解析如图，在△ABP中，由题意可得AB=30×4060=20(nmile)，∠APB=30°，∠BAP=120°由正弦定理得ABsin∠APB=所以BP=ABsin∠BAPsin∠APB=20×3212在△BPC中，因为BC=30×8060=40(nmile)∠PBC=180°-60°-30°=90°，所以PC=BP2=207(nmile).二、高度问题例2(课本例10)如图所示，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.解如图所示，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a，测角仪器的高是h.那么，在△ACD中，由正弦定理，得AC=asin所以，这座建筑物的高度为AB=AE+h=ACsinα+h=asinαsin例2(1)如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为()A.(30+303)m B.(30+153C.(15+303)m D.(15+153答案A解析在△PAB中，∠PAB=30°，∠APB=45°-30°=15°，AB=60m，sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=6-24，由正弦定理，得PB=ABsin30°sin15°=30(6+2)m，所以建筑物的高度为PBsin45°=30(6+2)(2)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是()A.10m B.102mC.103m D.106m答案D解析在△BCD中，CD=10m，∠BDC=45°，∠BCD=15°+90°=105°，∠DBC=30°，由正弦定理，BCsin∠BDC=得BC=10sin45°sin30°=102(m)在Rt△ABC中，tan60°=ABBC故AB=BC·tan60°=106(m).反思感悟测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：寻找相应的直角三角形，并发现题目中有关高度的线段与平面上相关线段的长度之间的关系，从而把空间中测量高度问题转化为平面上解三角形的问题.(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.跟踪训练2为测量某塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，A，C，D在水平地面上，塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如图所示).测得CD=18m，AD=15m，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，求塔AB的高度.(3≈1.732，精确到0.1m)解AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，过点E作EF⊥AB，交AB于点F(图略)，则有EF=AD，AF=DE，在Rt△ECD中，因为∠ECD=30°，所以DE=CD·tan∠DCE=18×tan30°=63，在Rt△BEF中，因为∠BEF=60°，所以BF=EF·tan∠BEF=15×tan60°=153，则AB=BF+AF=BF+DE=153+63=213≈36.4(m).三、角度问题例3(课本例11)位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7nmile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度(精确到1°）？需要航行的距离是多少海里(精确到1nmile)？解根据题意，画出示意图(如图).由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=202+72-2×20×7×-1于是BC≈24(nmile).由正弦定理，得sinC20=于是sinC=20×3224由于0°<C<90°，所以C≈46°.因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+30°=76°，大约需要航行24nmile.例3已知岛A处的一艘故障船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，与此同时，位于岛A南偏西38°方向相距3海里的B处有一艘救援艇要去支援，问救援艇以多大速度以及朝何方向行驶，恰好用0.5小时能追上该故障船？参考数据：sin38°≈解如图，设救援艇在C处追上故障船，D为岛A正南方向上一点，救援艇的速度为x海里/时，则BC=0.5x(海里)，AC=5(海里)，依题意，得∠BAC=180°-38°-22°=120°，又AB=3海里，由余弦定理，可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°=32+52-2×3×5×-12所以BC=0.5x=7，解得x=14.又由正弦定理，得sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=5×因为0°<∠ABC<60°，所以∠ABC≈38°，又∠BAD=38°，所以BC∥AD，故救援艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时追上该故障船.反思感悟测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角度和长度，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.跟踪训练3一艘客船在A处测得灯塔B在它的北偏东75°，在A处测得灯塔C在它的北偏西30°，距离为182nmile.客船由A处向正北航行126nmile到达D处，再看灯塔B在它的南偏东60°，则AB=nmile；设灯塔C在D处的南偏西θ°，则θ=.答案3660解析由题意画出草图如图所示.在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，∠DAB=75°，则B=45°，AD=126nmile.由正弦定理，得AB=ADsin∠ADBsinB=126×3在△ADC中，由余弦定理，得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=(126)2+(182)2-2×126×182×32即CD=66nmile，∵AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，从而∠CDA=60°，∴灯塔C在D处的南偏西60°.1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：方位角是易错点.1.某中学高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观某厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在B，C处测得雕塑最高点的仰角分别为30°和20°，且BC=5m，则该雕塑的高度约为(参考数据：cos10°≈0.985)()A.4.925m B.5.076mC.6.693m D.7.177m答案A解析在△BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=BCsin∠BDC⇒BD=BC·sin∠BCDsin(∠在Rt△ABD中，AD=BDsin∠ABD=2BCcos10°sin30°≈2×5×0.985×12=4.925(m)2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，可以计算出A，B两点的距离为()A.502m B.503mC.252m D.2522答案A解析∠ABC=180°-45°-105°=30°，在△ABC中，由正弦定理，得ABsin45°=50解得AB=502(m).3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC=60m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为()A.202m B.302mC.203m D.303m答案B解析由已知，可得B=45°，∠BAC=30°，在△ABC中，由正弦定理，得BC=AC·sin∠BACsinB=60sin30°sin45°=304.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于()A.32 B.C.3-1 D.2-1答案C解析由题意，可得∠ABC=180°-45°=135°，在△ABC中，∠ACB=180°-15°-135°=30°，由正弦定理，得ABsin30°=AC∴AC=1002(m).在△ADC中，∠ADC=θ+90°，由正弦定理，得ACsin(θ+90°)∴cosθ=sin(θ+90°)=AC·sin15°CD=课时对点练[分值：80分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为()A.6(3+3)m B.6(3-3C.6(3+23)m D.6(3-23答案B解析由已知及正弦定理，得CD整理得BD所以AB=AD+BD=1+33CD=12(m所以CD=6(3-3)2.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是()A.52海里/时 B.5海里/时C.102海里/时 D.10海里/时答案D解析如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10(海里)，在Rt△ABC中，可得AB=5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时.3.世界上有很多国家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流两岸修建了风光带用于改善城市人居环境.已知小徐步行到岸边A点时，测得河对面的某地标建筑物P在其北偏东60°方向上，小徐向正北方向步行500m到达B点后，测得该地标建筑物在其南偏东75°方向上.则此时小徐与该地标建筑物的距离BP等于()A.250m B.2502mC.2503m D.2506m答案D解析如图，在△ABP中，∠PAB=60°，∠ABP=75°，所以∠APB=180°-60°-75°=45°，所以由正弦定理，可得BPsin60°=AB解得BP=2506(m).4.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则不能确定A，B间距离的方案为()A.测量A，B，b B.测量a，b，CC.测量A，B，a D.测量A，B，C答案D解析对于A，利用内角和定理先求出C=π-A-B，再利用正弦定理bsinB=csinC解出c；对于B，直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C=π-A-B，再利用正弦定理asinA=csin5.已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC=120°，则A，C两地的距离为()A.10km B.3km C.105km D.107km答案D解析在△ABC中，AB=10，BC=20，∠ABC=120°，则由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=100+400-2×10×20cos120°=100+400-2×10×20×-12=700，∴AC=107，即A，C两地的距离为1076.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30° B.45° C.60° D.75°答案B解析依题意，可得AD=2010，AC=305，又CD=50，所以在△ACD中，由余弦定理的推论，得cos∠CAD=A=(305)2又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD=45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.某人向正东方向走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果距离出发点恰好3km，则x的值可能为()A.3 B.23 C.2 D.3答案AB解析如图所示，在△ABC中，AB=x，BC=3，AC=3，∠ABC=30°，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC，即(3)2=x2+32-6xcos30°∴x2-33x+6=0.解得x=23或x=3.8.海上一艘轮船以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则下列说法正确的是()A.B，C之间的距离为20nmileB.轮船从B处航行至小岛D需66C.C，D之间的距离与B，D之间的距离相等D.A，D之间的距离为20(3+5)n答案BC解析在△ABC中，由题意得∠CAB=120°，∠ABC=30°，∠BCA=30°，AB=60×13=20(nmile).由正弦定理得BCsin∠CAB即BC=ABsin∠CABsin∠BCA=20×3212=203在△ABD中，∠DAB=60°，∠ABD=75°，∠ADB=45°.由正弦定理得BDsin∠DAB=即BD=ABsin∠DABsin∠ADB=20×322210660=66(h)在△BCD中，由余弦定理得CD2=(106)2+(203)2-2×106×203×cos45°=600，解得CD=106(nmile)，BD=CD，故在△ABD中，BD=106nmile，∠DAB=60°，AB=20nmile，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠DAB，即600=AD2+400-2AD×20×12解得AD=10(3+1)nmile(负值舍去)，故D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)9.为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了602海里到达海岛C，若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC为海里.答案603解析由题意可得∠BAC=30°+15°=45°，∠ABC=75°+45°=120°，BC=602，在△ABC中，由正弦定理ACsin∠ABC=得AC=602×32×22=60故航行路程AC为603海里.10.学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB=AC=10m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB=.答案30°解析如图，∵AC=10，∠DAC=45°，∠ACD=90°，∴DC=10，∵∠DBC=30°，∠BCD=90°，∴BC=103.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB=102+(103∵0°<∠ACB<180°，∴∠ACB=30°.四、解答题(共28分)11.(13分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12nmile，渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上.(1)求渔船甲的速度；(7分)(2)求sinα的值.(6分)解(1)设渔船甲在C处追上渔船乙，如图，在△ABC中，∠BAC=180°-60°=120°，AB=12nmile，