高中数学第七章　§7.2　7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.(重点)2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点)3.掌握复平面上两点间的距离公式.(重点)导语实数可以进行加减乘除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复数呢？多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？一、复数的加、减法运算1.复数加、减法的运算法则设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1-z2=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律对任意z1，z2，z3∈C，有：(1)(交换律)z1+z2=z2+z1；(2)(结合律)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).例1(课本例1)计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.例1(1)复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=.答案9+i解析复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i.(2)化简：(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a，b∈R).解(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.反思感悟复数加、减运算的解题思路复数与复数相加减，类似于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减).跟踪训练1若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是()A.-4 B.4 C.4i D.-4i答案B解析因为z+(3-4i)=1，则z=1-3+4i=-2+4i，故z的虚部为4.二、复数加、减法的几何意义问题1我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，类比平面向量的加法、减法的几何意义，你能得出复数加法、减法的几何意义吗？提示设OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)，则OZ1±OZ2=(a，b)±(c，d)=(a±c，复数加法的几何意义是以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线对应的向量复数减法的几何意义是从OZ2的终点指向OZ1的终点对应的向量知识梳理如图，设复数z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量OZ与复数z1+z2对应，向量Z2Z1与复数例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：(1)AO对应的复数；(2)CA对应的复数；(3)OB对应的复数及|OB|的长度.解(1)因为AO=-OA，所以AO对应的复数为-3-2i.(2)因为CA=OA-OC，所以CA对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为OB=OA+OC，所以OB对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.所以|OB|=12+6反思感悟复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=a+bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.跟踪训练2(1)已知复平面内的向量OA，AB对应的复数分别是-2+i，3+2i，则|OB|=.答案10解析∵OB=OA+AB，∴OB对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i，∴|OB|=12+3(2)若z1=1+2i，z2=2+ai，复数z2-z1在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是.答案(-∞，2)解析z2-z1=1+(a-2)i，由题意知a-2<0，即a<2.三、复平面上两点间的距离公式及其应用问题2根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离吗？提示因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2-z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i问题3设z∈C，在复平面内复数z对应的点为Z，若|z+(1+i)|=1，则点Z组成的集合构成什么图形？提示点Z组成的集合构成以(-1，-1)为圆心，半径为1的圆.例3(1)在复平面内点A，C分别对应于复数-1+i，-4-3i，则A，C两点间的距离为.答案5解析依题意得AC对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i，所以A，C两点间的距离为|AC|=|AC|=|-3-4i|=(-3)(2)(多选)设z∈C，且|z+1|-|z-i|=0，则|z+i|的值可以是()A.0 B.1 C.22 D.答案BC解析由|z+1|-|z-i|=0，得|z+1|=|z-i|.∴复数z在复平面内对应点Z在以A(-1，0)，B(0，1)为端点的线段的垂直平分线OM上，设复数-i在复平面内的对应点为C(0，-1)，|z+i|则表示点Z到点C(0，-1)的距离，∴当CM⊥OM时，|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|=|OC|sin45°=22∴|z+i|≥22反思感悟由复数减法的几何意义，可得复平面上两点间的距离公式d=|z1-z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2所对应的复数，d表示点Z1和Z2之间的距离.跟踪训练3设复数z=a+bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z+1|的取值范围是.答案[0，3]解析由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环(包括边界)，而|z+1|表示复数z在复平面内的对应点A(a，b)与复数z1=-1在复平面内的对应点B(-1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当点A与点B重合时，dmin=0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax=3，∴0≤|z+1|≤3.1.知识清单：(1)复数代数形式的加、减运算法则.(2)复数加、减法的几何意义.(3)复平面上两点间的距离公式.2.方法归纳：类比、数形结合.3.常见误区：忽略模的几何意义.1.计算：(1-i)-(2+i)+3i等于()A.-1+i B.1-i C.i D.-i答案A解析原式=1-i-2-i+3i=-1+i.2.已知z1=2+i，z2=1-2i，则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z在复平面内对应的点为(-1，-3)，位于第三象限.3.两个复数z1=2+5i，z2=3-i在复平面内对应的两点之间的距离为.答案37解析|z1-z2|=(2-3=(-1)2+4.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i，则点C对应的复数是.答案5-2i解析由题意知，AB对应的复数为3+2i，AD对应的复数为2-4i，又AC=AB+AD，所以AC对应的复数为(3+2i)+(2-4i)=5-2i，所以点C对应的复数是5-2i.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.复数z1=2-12i，z2=12-2i，则z1+z2等于(A.0 B.32+5C.52-52i D.52答案C解析z1+z2=2+12-12+2i=2.若z+3-2i=4+i，则z等于()A.1+i B.1+3iC.-1-i D.-1-3i答案B解析z=4+i-(3-2i)=1+3i.3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则复数z1-z2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析由图可知OA=(-2，-1)，OB=(0，1)，所以z1=-2-i，z2=i，因此z1-z2=-2-i-i=-2-2i，所以z1-z2在复平面内所对应的点为(-2，-2)，在第三象限.4.已知复数z1=(a2-2)-3ai，z2=a+(a2+2)i，若z1+z2是纯虚数，那么实数a的值为()A.1 B.2 C.-2 D.-2或1答案C解析由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数，得a2-2+a5.(多选)若z-z=-14i，|z|=52，则复数z可能为()A.1-7i B.1+7iC.-1-7i D.-1+7i答案AC解析设z=a+bi(a，b∈R)，则z=a-bi，由题意可得z解得b=-7,a所以z=1-7i或z=-1-7i.6.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)(x，y∈R)，则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C解析由题意得z=x+yi(x，y∈R).因为z-i=x+(y-1)i，所以|z-i|=x2+(则x2+(y-1)2=1.7.复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5+2i，则由A，B，C所构成的三角形是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形答案A解析∵|AB|=|2i-1|=5，|AC|=|4+2i|=25，|BC|=5，∴|BC|2=|AB|2+|AC|2，即构成的三角形是直角三角形.8.(5分)若复数z满足|z-i|=3，则复数z在复平面内对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为.答案9π解析由条件知|z-i|=3，所以点Z的轨迹是以(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积S=9π.9.(5分)设f(z)=z-3i+|z|，若复数z1，z2满足z1=-2+4i，z2=5-i，则f(z1+z2)=.答案3+32解析z1+z2=3+3i，故f(z1+z2)=f(3+3i)=3+|3+3i|=3+32.10.(10分)计算：(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)；(3分)(2)13+12i+(2-i)-(3)已知复数z1=2+3i，z2=-1+2i，求z1+z2，z1-z2.(4分)解(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=-7i+5-9+8i+3-2i=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.(2)13+12i+=13+12i+2-i-43=13+2-4(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i，z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.11.已知z1，z2∈C，且|z1|=1，若z1+z2=2，则|z1-z2|的最大值是()A.6 B.5 C.4 D.3答案C解析设z1=a+bi，a，b∈R，由于|z1|=1，故a2+b2=1，且a∈[-1，1]，又z1+z2=2，则z2=2-a-bi，故|z1-z2|=|2a-2+2bi|=(2=4a2-8当a=-1时，|z1-z2|有最大值为4.12.(多选)已知复数z=(3+i)m-(2+i)，则复数z在复平面内对应的点在第三象限的充分不必要条件是()A.m<23 B.13<mC.m<13 D.m答案BC解析z=(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i，因为复数z在复平面内对应的点在第三象限，所以3m-2<0,m-1<0,解得由充分不必要条件的定义可知BC正确.13.(5分)若复数z满足|z-2|=|z+2|，则|z-1|的最小值是.答案1解析由|z-2|=|z+2|，知z在复平面内对应点的集合是到(2，0)与到(-2，0)距离相等的点的集合，即虚轴.∵|z-1|表示z在复平面内对应的点与(1，0)的距离.∴|z-1|min=1.14.(13分)在复平面内，已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=3，且|z1-z2|=32，求|z1+z2|.解设OA对应的复数为z1，OB对应的复数为z2，则OA-OB=BA对应的复数为z1-z2，因为|z1|=|z2|=3，且|z1-z2|=32，所以|OA|=|OB|=3，|BA|=32，所以△AOB为等腰直角三角形.将等腰Rt△AOB补为正方形AOBC，如图所示，则OA+OB=OC对应的复数为z1+z2，故|z1+z2|=|OC|=|BA|=32.15.(15分)已知在复平面内有一平行四边形ABCD，点A对应的复数为2+i，向量BA对应的复数为1+2i，向量BC对应的复数为3-i，O为坐标原点.(1)求点C，D对