高中数学第十章　§10.1　10.1.1　有限样本空间与随机事件

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期10.1.1有限样本空间与随机事件学习目标1.正确理解样本点、样本空间、有限样本空间的含义，会写试验的样本空间.(重点)2.正确理解有限样本空间和随机事件.(难点)导语(1)抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；(2)抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况；(3)买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况.这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量.一、有限样本空间问题1做一个试验：一个盒子中有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中任取一个小球.(1)可能的结果有哪些？(2)这些结果可否用一个集合来表示？提示(1)可能的结果有4个，分别是取出1号小球，取出2号小球，取出3号小球，取出4号小球.(2)可以用集合{1，2，3，4}表示.知识梳理1.我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.2.定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}例1(1)(课本例1)抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω={h，t}.(2)(课本例2)抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}.(3)(课本例3)抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示.于是，试验的样本空间Ω={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}.如图所示，画树状图可以帮助我们理解此题的解答过程.例1写出下列试验的样本空间：(1)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，记录两枚骰子出现的点数之和；(2)将一枚骰子先后抛掷两次，观察它两次落地时朝上的面的点数；(3)抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况.解(1)该试验的样本空间Ω1={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}.(2)两次掷出的点数列表如下：第一次第二次1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)所以其样本空间Ω2={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，也可写成Ω2={(m，n)|1≤m≤6，1≤n≤6，m，n∈N*}.(3)方法一抛掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示.于是，试验的样本空间Ω3={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.方法二如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω3={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}.如图所示，画树状图可以帮助我们理解解答过程.反思感悟写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题.(3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的求解问题，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.跟踪训练1袋中装有除颜色外其他方面都相同的四个小球，分别命名为红、白、黄、黑，从中任取一球的样本空间Ω1=，从中任取两球的样本空间Ω2=.

答案{红，白，黄，黑}{红白，红黄，红黑，白黄，白黑，黄黑}解析从中任取一球有4种可能，分别为红，白，黄，黑，构成样本空间Ω1={红，白，黄，黑}；从中任取两球有6种可能，构成样本空间Ω2={红白，红黄，红黑，白黄，白黑，黄黑}.二、随机事件问题2盒子中有6个质地和大小完全相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中任取一个小球，得到样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}.(1)事件A={2}一定发生吗？(2)事件B=“取出小球的标号小于或等于6”一定发生吗？(3)事件C={7}会发生吗？提示(1)不一定，可能发生也可能不发生.(2)一定发生.(3)不会发生.知识梳理随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件例2(1)下列事件不是随机事件的是()A.东边日出西边雨 B.三角形内角和为180°C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴答案B解析B是必然事件；A，C，D都是随机事件.(2)现有一列单程北上的火车，已知停靠的站点由南至北分别为S1，S2，…，S10，共十站.若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站点，令事件A表示甲可能到达的站点的集合，事件B表示乙可能到达的站点的集合.①写出该事件的样本空间Ω；②写出事件A、事件B包含的样本点；③相关部门需为该列车准备多少种北上的车票？解①Ω={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}.②事件A包含的样本点为S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10，事件B包含的样本点为S7，S8，S9，S10.③相关部门需要准备从S1站发车的车票有9种，从S2站发车的车票有8种，…，从S9站发车的车票有1种，合计共有9+8+…+2+1=45(种).反思感悟对事件分类的两个关键点条件事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生结果发生与否有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况跟踪训练2(多选)下列事件是随机事件的是()A.任取一个整数，被2整除B.小明同学在某次数学测试(满分150分)中成绩不低于120分C.甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力胜于乙，在一次比赛中甲获胜D.当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积变为原来的4倍答案ABC解析ABC均可能发生也可能不发生，为随机事件，D一定发生，为必然事件.三、随机事件的含义例3(课本例4)如图所示，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.解(1)分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω={(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}.如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以M={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}.“电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1=1，且x2，x3中至少有一个是1，所以N={(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}.同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1=0，或x1=1，x2=x3=0.所以T={(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}.例3在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义.(1)事件A={(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；(2)事件B={(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}；(3)事件C={(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)}.解(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知，第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.(3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.反思感悟解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义.跟踪训练3柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.(1)M={A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；(2)N={A1B1，B1C1，A1C1}；(3)P={A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.解(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”.1.知识清单：(1)随机试验.(2)样本空间.(3)随机事件、必然事件与不可能事件.2.方法归纳：列举法、列表法、树状图法.3.常见误区：在列举样本点时，要按照一定的顺序，做到不重、不漏.1.将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角形，此事件是()A.必然事件 B.不可能事件C.随机事件 D.不能判定答案C解析将一根长为a的铁丝随意截成三段，这三段铁丝可能构成一个三角形，也可能构不成一个三角形，所以是随机事件.2.集合A={2，3}，B={1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为()A.8 B.9C.12 D.11答案D解析从A，B中各任意取一个数，可构成12，21，22，24，42，13，31，23，32，34，43，共11个样本点.3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A={(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是.

答案甲、乙两个小球所涂颜色相同4.抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M=

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答案{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)}解析试验的样本空间为Ω={(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，则M={(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)}.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是()A.样本点是构成样本空间的元素B.样本点是构成随机事件的元素C.随机事件是样本空间的子集D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多答案D解析由定义知A，B，C均正确；因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知D错误.2.“a是实数，|a|≥0”这一事件是()A.必然事件 B.不确定事件C.不可能事件 D.随机事件答案A解析由于a是实数，故|a|≥0恒成立，所以“a是实数，|a|≥0”这一事件是必然事件.3.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为()A.{10，11，…，99} B.{1，2，…，18}C.{0，1，…，18} D.{1，2，…，10}答案B解析所有的两位数为10，11，…，99，故该试验的样本空间为{1，2，…，18}.4.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是()A.第一枚6点，第二枚2点B.第一枚5点，第二枚1点C.第一枚1点，第二枚6点D.第一枚6点，第二枚1点答案D5.(多选)在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是()A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品答案CD解析对于A，因为25件同类产品中，有2件次品，则有23件正品，故从中任取3件产品，其中3件都是正品是可能的，是随机事件，不符合题意；对于B，从中任取3件产品，其中“2正1次”或“1正2次”都表示至少有1件次品，故是随机事件，不符合题意；对于C，因为同类产品中总共只有2件次品，故“3件都是次品”是不可能事件，符合题意；对于D，因为25件同类产品中，有2件次品，而要从中任取3件产品不可能全是次品，即其中至少有1件是正品，故“至少有1件正品”是必然事件，故符合题意.6.已知集合A={-9，-7，-5，-3，-1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取两个不相同的数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点的个数为()A.7 B.8C.9 D.0答案C解析点落在x轴上所包含的样本点的特征是(x，0)，又依题意，x≠0，且集合A中有9个非零常数，故共包含9个样本点.7.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区C，则他不经过市中心O的样本点的个数为()A.2 B.3C.4 D.6答案A解析此人从小区A前往C的所有最短路径为A→E→D→H→C，A→E→O→H→C，A→E→O→F→C，A→G→O→H→C，A→G→O→F→C，A→G→B→F→C，共6条，记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点为A→E→D→H→C，A→G→B→F→C，共2个.8.(5分)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M={(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是

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答案抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上的点数之和为89.(5分)甲、乙两支足球队比赛，实力相当，“甲队胜”是事件；甲、乙两支足球队比赛，甲队比乙队实力强，“甲队胜”是事件.

答案随机随机解析两支队伍比赛，无论实力相当，还是某队实力强，两支队伍均有可能获胜，故甲队胜是随机事件.10.(10分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)写出该试验的样本空间Ω；(5分)(2)设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M.(5分)解(1)Ω={AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}.(2)M={AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}.11.随机事件“连续抛掷一枚骰子直到出现5点停止，观察抛掷的次数”的样本空间是()A.5 B.1到6的正整数C.6 D.一切正整数答案D解析连续抛掷一枚骰子直到出现5点停止，观察抛掷的次数，由于事件发生是随机的，抛掷的次数可能无限大，所以样本空间是一切正整数.12.(多选)已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，则下列命题为真命题的是()A.“若x∈A，则x∈B”是必然事件B.“若x∉A，则x∈B”是不可能事件C.“若x∈B，则x∈A”是随机事件D.“若x∉B，则x∉A”是必然事件答案ACD解析对A，符合真子集的定义，故A正确；对B，“若x∉A，则x∈B”也可能成立，故B错误；对C，“若x∈B，则x∈A”可能成立，也可能不成立，故C正确；对D，“若x∉B，则x∉A”一定成立，由Venn图可以理解，故D正确.13.(5分)某种饮料每箱装6听，其中有4听合格、2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有1听不合格饮料的样本点有个.

答案9解析记4听合格的饮料分别为A1，A2，A3，A4，2听不合格的饮料分别为B1，B2，∵从中随机抽取2听的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个，∴至少有1听不合格饮料的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(