高中数学第十章　§10.1　10.1.2　事件的关系和运算

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期10.1.2事件的关系和运算学习目标1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.(重点)2.通过实例了解并、交事件的有关性质，掌握随机事件的运算法则.(难点)导语上一节课我们学习了用集合来表示样本空间，事件则被定义为样本空间的一个子集.我们知道，集合之间有确定的关系，可进行交、并、补等运算，那么用集合表示的事件之间是否也有这些情况呢？一、事件的关系问题1在掷骰子试验中，事件A=“点数为1”，事件B=“点数为奇数”，表示A与B两事件的集合有什么关系？A与B事件有什么关系？提示集合B包含集合A；事件A发生，则事件B一定发生.知识梳理定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A=B例1在掷骰子试验中，可以得到以下事件：A={出现1点}；B={出现2点}；C={出现3点}；D={出现4点}；E={出现5点}；F={出现6点}；G={出现的点数不大于1}；H={出现的点数小于5}；I={出现奇数点}；J={出现偶数点}.请判断下列两个事件的关系：(1)BH；(2)DJ；

(3)EI；(4)AG.

答案(1)⊆(2)⊆(3)⊆(4)=解析因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A=G.反思感悟判断事件之间的关系，主要是判断表示事件的两集合间的包含关系.跟踪训练1掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系.解当事件A发生时，事件C一定发生；当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C.当事件A发生时，事件B一定不发生；当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C.二、事件的运算问题2在掷骰子试验中，记事件C为“点数不大于3”，事件D为“点数为2或3”，事件E为“点数为1或2”，则集合C与集合D，E有什么关系？事件C与事件D，E有什么关系？提示集合C是集合D与集合E的并集；当事件D和事件E至少有一个发生时，事件C一定发生.问题3在问题2的条件下，记事件F为“点数为2”，则集合F与集合D，E有什么关系？事件F与事件D，E有什么关系？提示集合F是集合D与集合E的交集；当事件D与事件E同时发生时，事件F一定发生.问题4怎样从集合的角度理解并事件和交事件？提示事件的并、交可以借助集合的并集、交集进行理解.知识梳理1.事件的运算定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)2.类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生，等等.例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1个红球、2个白球}，事件B={3个球中有2个红球、1个白球}，事件C={3个球中至少有1个红球}，事件D={3个球中既有红球又有白球}.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为3个球中有1个红球、2个白球或有2个红球、1个白球，故D=A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为3个球中有1个红球、2个白球或有2个红球、1个白球或有3个红球，故C∩A=A.延伸探究在本例中，设事件E={3个球均为红球}，事件F={3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？解因为事件C的可能结果为3个球中有1个红球、2个白球或有2个红球、1个白球或有3个红球，共三种情况，所以B⊆C，E⊆C，而事件F的可能结果为3个球中有1个白球、2个红球或有2个白球、1个红球或有3个白球，所以C∩F={3个球中有1个红球、2个白球或有2个红球、1个白球}=D.反思感悟事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.三、互斥事件与对立事件问题5在掷骰子试验中，记事件B为“点数为奇数”，事件G为“点数为偶数”，事件A为“点数为1”，则事件A与事件G有何关系？事件B和事件G有什么关系？提示事件A与事件G不会同时发生.事件B与事件G不会同时发生，且在一次试验中，B与G一定会有一个发生.知识梳理1.互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).2.对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A.例3(1)(课本例5)如图所示，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.①写出表示两个元件工作状态的样本空间；②用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；③用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系.解①用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}.②根据题意，可得A={(1，0)，(1，1)}，B={(0，1)，(1，1)}，A={(0，0)，(0，1)}，B={(0，0)，(1，0)}.③A∪B={(0，1)，(1，0)，(1，1)}，A∩B={(0，0)}；A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常；A∪B和A∩B互为对立事件.(2)(课本例6)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.①用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；②事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？③事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？解①所有的试验结果如图所示.用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}.事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2，于是R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2，于是R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；同理，有R={(1，2)，(2，1)}，G={(3，4)，(4，3)}，M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}.②因为R⊆R1，所以事件R1包含事件R；因为R∩G=∅，所以事件R与事件G互斥；因为M∪N=Ω，M∩N=∅，所以事件M与事件N互为对立事件.③因为R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.例3某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与2名全是男生；(2)至少有1名男生与2名全是男生；(3)至少有1名男生与2名全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生.解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件.(3)因为“至少有1名男生”与“2名全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.(4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.反思感悟辨析互斥事件与对立事件的思路(1)从发生的角度看①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.(2)从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.跟踪训练2(多选)如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，下列说法错误的是()A.A∪B是必然事件B.A∪B是必然事件C.A与B一定互斥D.A与B一定不互斥答案ACD解析用Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，A∪B是必然事件，则B正确，AC错误；若A与B互斥且对立，则A=B，B=A，此时A与B互斥，则D错误.1.知识清单：(1)事件的包含关系与相等关系.(2)并事件和交事件.(3)互斥事件和对立事件.2.方法归纳：列举法、Venn图法.3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.1.甲、乙两个元件构成一个并联电路，设事件E=“甲元件故障”，事件F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为()A.E∪F B.E∩FC.E∩F D.E∪F答案B解析因为甲、乙两个元件构成一个并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为E∩F.2.某人在打靶中，连续射击2次，下列事件与事件“至少有一次中靶”互为对立事件的是()A.至多一次中靶 B.两次都中靶C.两次都不中靶 D.只有一次中靶答案C解析由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，且其并事件为必然事件，所以它们互为对立事件.3.甲、乙两人破译同一个密码，记甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则AB∪AB表示的含义是，事件“密码被破译”可表示为.

答案只有一人破译出密码AB∪AB∪AB4.从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则用集合表示事件A∩B为.

答案{10，20，30，40，50，32，42，52，54}课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分1.抛掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件A=“点数为奇数”，事件B=“点数大于4”，则事件A∩B为()A.“点数为3” B.“点数为4”C.“点数为5” D.“点数为6”答案C解析由题意，可知A={1，3，5}，B={5，6}，A∩B={5}，即事件A∩B=“点数为5”，故选C.2.设H，E，F为三个事件，H，E，F分别表示它们的对立事件，表示“H，E，F三个事件恰有一个发生”的表达式为()A.H+E+FB.HEF+HEF+HEFC.HEF+HEF+HEFD.H+E+F答案B解析选项A表示H，E，F三个事件至少有一个发生；选项B表示H，E，F三个事件恰有一个发生；选项C表示H，E，F三个事件恰有一个不发生；选项D表示H，E，F三个事件至少有一个不发生.3.(多选)从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A：全不是次品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是()A.A与C互斥 B.B与C互斥C.任何两个事件都互斥 D.A与B对立答案ABC解析由题意，事件A：全不是次品，即三件产品都是正品，事件B：全是次品，事件C：有次品，但不全是次品，包括一件次品两件正品，两件次品一件正品，共两个事件，所以事件A与C互斥，B与C互斥，A与B互斥，即任何两个事件都互斥，故选项A，B，C都正确；A与B互斥，由于总事件中还包括一件次品两件正品，两件次品一件正品两个事件，所以事件A与B不对立，故选项D错误.4.对空中移动的目标连续射击两次，设A={两次都击中目标}，B={两次都没击中目标)，C={恰有一次击中目标}，D={至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是()A.A⊆D B.A∪C=B∪DC.A∪C=D D.B∩D=∅答案B解析事件D包含恰有一次击中目标和两次都击中目标，所以A∪C=D，所以A⊆D，故AC正确；B∪D=Ω为样本空间，故B错误；事件B与事件D是对立事件，所以B∩D=∅，故D正确.5.(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是()A.A+B=A B.A+AB=AC.AB⊆A D.A(A+B答案BD解析若A+B=A，则B⊆A，故A错误；由题意知，AB⊆A，∴A+AB=A，B正确；∵当事件A，B都不发生时，A∴事件AB不包含于A，∵A⊆(A+B)，∴A(A+B)=A，D正确.6.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件AB用样本点表示为()A.{(5，5)}B.{(4，6)，(5，5)}C.{(6，5)，(5，5)}D.{(4，6)，(6，4)，(5，5)}答案D解析事件A用样本点表示的集合为{(5，5)，(6，6)，(4，6)，(6，4)，(5，6)，(6，5)}；事件B用样本点表示的集合为{(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(4，6)，(6，4)}，所以AB={(4，6)，(6，4)，(5，5)}.7.(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.下列选项正确的是()A.A∪B=C B.B∪D是必然事件C.A∩B=C D.A∩D=C答案AB解析对于A选项，事件A∪B指至少有一件次品，即事件C，故A正确；对于B选项，事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件A∩B=∅，故C错误；对于D选项，事件A∩D指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不相等，故D错误.8.(5分)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打决赛，记事件A=“甲夺得冠军”，事件B=“乙夺得冠军”，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为.

答案A∪B解析“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即甲夺得冠军或乙夺得冠军，用事件A与B可表示为A∪B.9.(5分)抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2或4”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是.

答案A与C10.(10分)从某大学数学系图书室中任选一本书，设A={数学书}，B={中文版的书}，C={2010年后出版的书}，问：(1)A∩B∩C表示什么事件？(2分)(2)在什么条件下，有A∩B∩C=A？(3分)(3)C⊆B表示什么意思？(2分)(4)如果A=B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？(3分)解(1)A∩B∩C={2010年或2010年前出版的中文版的数学书}.(2)在“图书室中所有数学书都是2010年后出版的且为中文版”的条件下，才有A∩B∩C=A.(3)C⊆B表示2010年或2010年前出版的书全是中文版的.(4)是.A=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书，同时A=B又可化成B=A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书.11.(多选)一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出3支，则与事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的事件有()A.至少取出2支一等品B.至多取出1支二等品C.取出的3支笔中，既有一等品也有二等品D.取出的3支笔中，没有二等品答案ABD解析对于A，事件“至少取出2支一等品”包括取出2支一等品和1支二等品，取出3支一等品两种结果，与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故A正确；对于B，事件“至多取出1支二等品”包括取出2支一等品和1支二等品，取出3支一等品两种结果，与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故B正确；对于C，事件“取出的3支笔中，既有一等品也有二等品”包括取出1支一等品和2支二等品，取出2支一等品和1支二等品两种结果，与事件“取出1支一等品和2支二等品”可能同时发生，它们不是互斥事件，故C不正确；对于D，事件“取出的3支笔中，没有二等品”指取出3支一等品，与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故D正确.12.记A，B分别为事件A，B的对立事件，如果事件A，B互斥，那么()A.A∪B是必