2026年高考数学二轮复习突破练（三）解三角形

专题突破练3解三角形

必备知识夯实练

1.（2024全国甲，文12）记△48。的内角",C的对边分别为〃为c已知B=60°方斗c,则

sin/4+sinC=（）

A

-1B

c£D.更

22

2.（多选题）（2025重庆沙坪坝模拟）某兴趣小组准备对一座纪念碑的高度进行测量,并绘制

出测量方案示意图如图,A为纪念碑的最顶端,B为纪念碑的基座（8在A的正下方，即AB

_L8C,A8_L8。）,在纪念碑所在广场内（与8在同一水平面内）选取CQ两点，测得CQ的长

为机兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有NACB、ZACD,/BCD,/ADC,ZADB.Z

BQC,若已知〃2,NAC8,NBCO,则下列各测量数据中，能计算出纪念碑高度A3的是（）

A.ZADBB.NBDC

C.ZADCD.ZACD

3.（多选题）（2025浙江金华二模）已知的内角AEC所对的边分别为〃力《,满足

〃2+»-/="s△加，其中kA8c是△/WC的面积，则下列条件能使5c成为锐角三角形的

是（）

A.A=-B.a=2,b=3

6

C.〃=2,c=3D./?=3,c=2

4.（10分）（2023新高考H,17）记"BC的内角A,5,C的对边分别为a,0,c,已知△43C面积

为为BC的中点，且AD=1.4一题多解）

⑴若求tanB;

3

(2)若序+/=8,求b、c.

5.（13分）（2025山东威海模拟）在aAHC中，内角所对的边分别为〃力,c,已知言=

a-b

sin71+sinB

sinC'

⑴求A；

（2）已知M是边8c上的点,AM_LA£MM=V5,求2〃+c的最小值.

6.（13分）（2025山东济宁二模）在△ABC中，内角4,8,。所对的边分别为。，氏c,且〃（2-cos

B）=/?（l+cosA）.

⑴证明:2o=Z?+c;

⑵若△ABC的面积为坊c,证明:为等边三角形.

4

关键能力提升练

7.（13分）（2025江苏苏州模拟）在zvlBC中，内角4氏。所对的边分别为。力了,已知（2〃-

V3c）cosB=V3/?cosC.

（1）求角8的大小；

⑵若c=/5,4+匕=2,求的面积；

⑶若〃=2,且为锐角三角形，求的周长的取值范围.

核心素养创新练

8.（多选题）（2025江苏苏北七市三模）定义:一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最

大值称为该区域的“直径在08。中,8C=1,8C边上的高等于tanA,以△48C的各边为

直径向△A4C外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W,其直径为&见下列选

项正确的是（）

J\.AB2+AC2=3

面积的最大值为当

C.当NA8C带时,仁等

D.d的最大值为经

答案：

l.C解析由/=2〃c,得sinAsinC又b^a^^-laccos8=/+»"=2陷所以

4934

a2+/=12ac,即sinh+sin?CuUsinAsinC=上，贝［(sinA+sinC)2=sinM+sin2C+2sinAsinC=-,

44124

所以sinA+sinC="故选C

2

2.ABC解析由题意，因为ABLBC,ABLBD,且BCCBD=B,BCu平面8c。/Ou平面

BCD,所以A8_L平面BCD对于A,在△A8C,A48O中，借助直角三角形用A8表示出

BCBD,然后在ABCD中由余弦定理解三角形求得A氏故A正确;对于B,在△8。中，根据

m,/BCD,NBDC,可利用正弦定理求得3C,再根据tanN4cB求得A3,故B正确;对于C,

由乙4CB,NBCD,借助直角三角形和余弦定理，用AB和C。表示出BCBD,AC,AD然后

结合NAOC在△AC。中利用余弦定理列方程，解方程求得A8,故C正确;对于D,根据私

/ACB,/BCD,/ACD四个条件，无法通过解三角形求得48,故D错误.故选ABC.

3.BC解析因为a2+b2-c2=^-S^ABc,

由余弦定理可得2abcosC=—x-absinC,所以tanC=V3.B为CW（（）,兀），所以C==.对于

323

A,当4二三时乃三，此时△ABC是直角三角形，故A不符合题意;对于B,当a=2,b=3时，由余

oL

弦定理可得（r=cr+lr-2abcosC=4+9-2x2x3xcos*7,所以c=V7,所以cos^J±Z±>,^-

3=/X/XV70

以8为锐角，由Z?>c〉a,所以8>C>A,此时△A8C是锐角三角形，故B符合题意;对于C,当

a=2,c=3时，由余弦定理可得9=/+4-2x2x》xcos；,解得h=l+V5,所以cos

>0,所以3为蜕角，由b>c>a^以8>C>A,此时△八8C是锐角三角形，故C符

廿+Z=X：Z+X3于

合题意;对于D,当b=3,c=2时，由余弦定理可得4=〃2+9-2X3XG<COSE,即庐34+5=0,由于

3

/=9-4x5v0,方程无实根，所以不存在3c，故D不符合题意.故选BC.

4.解（1）（方法一正弦定理十余弦定理）由题意可知SM»c=1«csin8=75,故acsinB=2\[3.

①

在AABD中，有"=.AB,

sinBs\nz.ADB

由,故csinB4.②

33sinBsin—2

将②式代入①式，得。=4.

在A4Q8中,由余弦定理得拳即c2=l2+22-2xlx2x（-0=7,

得c=①

在△ABZ）中,cosB=AB+BDAD=7rl=-^=>0,故BW（0,2）,则sin3=^1=.tanB=—.

2ABBD2\/7x22b、\*2/2775

（方法二余弦定理）因为/I。为△ABC的中线，所以SM«C=2SA4DC=2Xxlxsin^=

出。二遮,故4=4.

4

在LADC中,由余弦定理知Z?2=12+22-2X1x2xcos^=3.

J

在AABD中,C2=AB2=12+22-2x1x2xcos—=7.

3

在“BC中,cosB金誓=霁=*>0,故在（04）,有sin8=磊,tanB=*

（2）（方法一）在△4BC中，由而=^AB+:而，得|而|2二：\AB+^C|2=-（|^F|2+|^Cp+2^•

2244

AC）.

由余弦定理得2AB-AC=\AB\2+\AC\2-\BC\2.

故|而F，（2|海「+2|正臼丽产），

4

即入。2，（从+02）二次,得々=2次.

24

由S4sc=；Z?csinA和b2+cr-a2=2bccosA,得SAA8cq（/+3/加I]A,

得tanA=-V5＜（）,故AE（］，"），有人=*

又因为S^ABC=^hcs\nA,所以bc=4.

由庐+。2=8和机=4,得b=c=2.

（方法二几何法）过点A作A”_L8C交8c于点〃（图略）.

在中,由余弦定理得COS

AABCAABD2acac

解得病=2（从+/）-4.

将b2+c2=S代入『=2(序+d)-4中得a=2g

SAABC=^CAH=^X2V5A“=V5,则AH=\.

又因为AO=1,所以点〃与点。重合，

即AQ为边3c的中垂线，所以b=c=^AD2+=^^^3=2.

222

_/八e、LD+Csin/l+sinBrQ+ba,779,一，mb+c-a-be1

5.解(1)因为一二=一七「,所n以一二=——，n即房+/七2=/可得44=-一=—

a-bsinCa-bc2bcCOS/2bc2

因为044v兀，所以A片.

⑵由S^ABC=S^ABM+S^ACM可得y=1c-V3+V3-J,

即bc=2c+b,可得.+工=1,

bc

所以

2Z?+c=(2/?+c)(b-+-c)=4+b-+—c+1^9,

当且仅当b=c=3时，等号成立，

所以乃+c•的最小值为9.

6.证明⑴由正弦定理得sinA(2-cosB)=sinB(1+cosA),

即2sinA-sinAcosB=sin8+sinBcosA,

所以2sinA=s\nB+sinAcos8+cosAsinB、

所以2sinA=sin6+以n(A+3),

所以2sinA=sinB+sinC,由正弦定理得2a=b+c.

(2)因为?csin4二所以sinA=因为2〃=/?+c,所以易知A为锐角，所以A=].由余弦

2423

22222

定理得a=b+c-2hccosA=h+c-hc,)L。=匕上，代入化笥得/?二c,所以Q=/?=C，所以A4BC

2

为等边三角形.

7.解(1)*.*(2tz-V3(?)cosB=\3bcosC,

由正弦定理可得(2sinA-V3sinC)cosB=V3sinBcosC,

2sinAcosB=V3(sinBcosC+cos8sinC)=V3sin(B+C)=V3sinA,

•.•A£(0,7t)asinA>0,・・・cosB二立，又

26

(2)：c,=V5,a+Z?=2,由余弦定理b2=a2+c2-2accos8,得a2+3-2axV3xa2+3-

3〃=(2-。)2,解得67=1,SA4ec=-6/csinB=-x1xV3x-=—.

2224

⑶在△例:中,由正弦定理高=扁=高，得导=4C_b+c

sin(4+“)杆sin(/l+以)'

.l+2sin(?l+^)

-b+c=——；-

l+2(Ysin/l+^cos4)

sin/1

_x/3sin/l+l+cos/l=V3+l+cos/l

sin/1sinA

_2A

[—2COS4-r—1

=A/3d------AA=V3H-----

2sin-cos-tan-

222

又aABC1为锐角三角形，

oVA<,左力/mITTTTUi4IT^3A-

解行一<A4<一,♦'•—V-<—<'•一<tan—<1,

0<n-A--<-32'62432

62

・・・1<吃<A/3,.-.V5+l<Z?—c<2b,・・・3+V5va+〃