2026高考数学复习（湘教版）第三节 等式性质与不等式性质

第三节等式性质与不等式性质

【课程标准】1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,

并能简单应用.

教材梳理夯实基面

1.两个实数比较大小的方法(基本事实)

-a-b>0^a>b,

比T作差法I-a-6=O4=>a=6,

较-a-b<0^a<b.

大

小

的Y>14=4a>6(aER,6>0),

方b--

法

-作商法-?=1㈡a=6(a£R,6/0),

b---

r<14=^a<6(aGR,6>0).

b--

2.不等式的基本性质

(1)对称性：a>h<^>h<a.

(2)传递性：a>b,b>c=>a>c.

(3)可力口性：a>b=>a+c>h+c,

推论1a+b>cH-b

推论2a>b,c>d=>a-c>b+d.

(4)可乘性：a>b,c>0=>ac>bc,a>btc<0=>ac<hc,

推论3a>b>0,c>d>0=>ac>bd.

推论4a>b>0=>a,l>bn(n£N,〃22).

(5)可开方：。>6>0=%〃22).

(6)可倒娄攵：a>b,且ab>0=!v：,a>b,且abv0=

a-ba-b

［微提醒］(1)同向不等式可以相加，不能相减.(2)一个不等式的两边同乘以同一

正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变.

【常用结论】

若m>0,则

a-ma数越加越大，越减越小);

b-mb

（2烧v?〈答（。加>0）（假分数越力口越小，越减越大）.

【自主检测】

1.（多选）下列说法正确的是（）

A.两个实数力之间，有且只有。>力，a=b,8三种关系中的一种

B.若尹1,则心力

C.同向不等式具有可加性和可乘性

D.两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母

答案：AD

2.若M=（x・3）2,N=（x-2）（x-4）,则有（）

A.M>NB.M》N

C.M〈NI）.MSN

答案：A

解析：因为〃-N=a・3）2・a・2）a_4）=i>o,所以故选A.

3.如果4Vb<0,那么下列不等式成立的是（）

A.i<7B.ab<b2

ab

2

C.ab>aD,--a<-7b

答案:D

解析：因为由不等式的性质可知，-a>-b>0,ab>0,所以所以胃,

abab

故A错误，D正确；由av〃〈0,可得,力>〃>0,a?>ab>0,故B、C错误.故选D.

4.实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是（）

A.3XB.2b<2少

C.lg（x-j/）>0D.炉

答案：B

考点探究提升能引

考点一数(式)的大小比较自主练透

1.已知p£R,M=(2〃+1)(Q3),N=(p-6)(p+3)+10,则M,N的大小关系为()

A.M<NB.M>N

C.MWND.M2N

答案:B

解析：因为M-N=(2p+\)Q7-3)-[(p-6)(/7+3)+10]=p2-2p+5=(p-1)2+4>0,所以M>N.

故选B.

2.若。萼，b与贝h________6.(填“>”或“<”)

4J

答案：V

解析：法一：易知见人都是正数，:嘿=罂=黑=1阳9>1,故"。

140111^111乙II1O

法二：令/(x)=3，所以/'(x)=W览当x£(e,+刃)时，/'(x)vo,所以/(x)在(e,

+8)上单调递减，所以小长心)，即竽号鸳，故〃<6.

学生用书♦第西

3.设a,/>e[0,+oo),A=y^+Vb,B=V^Tbt贝!)力，8的大小关系是()

A.AWBB.A^B

C.A<BD.A>B

答案：B

解析：由题意得，炉-不=-2而WO,又力20,B20,所以428.故选B.

4©不与e。”的大小关系为.

答案：e7l-7re<ee-nn

解析:爵季至)，

又0*1,ovwevl,所以即郊<1,即en.JlC<eC.HH

・规律方法・

数(式)比较大小的常用方法

1.作差法:(1)作差；⑵变形;(3)定号；(4)得出结论.

2.作商法：⑴作商；(2)变形；⑶判断商与1的大小关系；(4)得出结论

3.构造函数法：利用函数的单调性比较大小.

考点二不等式的性质师生共研

典例0⑴侈选)(2025湖南永州模拟)已知ab,c£R,下列命题为真命题的是

()

A.若则方/〈ac2

B.若b>a>0>c,则

C.若c>b>a>0,则±

c-ac-b

D.若a>"0,则言

(2)(多选)若a>0>b>-a,°vd<0,则下列结论正确的是()

A.ad>bcB.^+^<0

dc

C.a-c>b-dD.a(d-c)>b(d-c)

答案：(1)BD(2)BCD

解析：(1A,ac2-bc2=c2(a-b),因为*a<0,所以a-b>0,又析20,所以

c2md)eo,则灰y〃落故A错误；对干B,3=个，因为力所以

abab

c(b-a)<0,ab>0,所以美卓vo,即汽，故B正确；对于C,量祗=浅1,

abababc-ac-b(c・a)(.c・b)

因为c>b>A0,所以c-AO,20,*b<0,所以专缶端Mo,即高〈今

故c错误;对于D,*鬻,因为所以。小o,b+c>0,

bb+ch(h+c)h{h+c)a>h>c>()i

所以舞>0,即台手，故D正确.故选BD.

b(b+c)bb+c

(2)因为a>O>b,c<d<0,所以ad<0,bc>0,所以ad<bc,故A错误；因为0>b>-a,

所以。>-6>0,因为

所以-c>">0,所以a(-c)>(d)(M,所以双十加<0,cd>0,所以鬻=>〃0,故

caac

B正确；因为所以-c>d,因为。>6,所以a+Gc)>/)+(M,即故

C正确；

因为a>O>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c),故D正确.故选BCD.

・规律方法・

判断不等式的常用方法

1.利用不等式的性质逐个验证.

2利用特殊值法排除错误选项.

3.作差法.

4.构造函数，利用函数的单调性验证.

对点练1.(1)已知bWR,满足a+b>0,a>b,则()

A.-<|B.-+^>0

abab

C.a2>b2D.a<\b\

(2)(多选)对于任意实数〃，h,e.d,下列命题中是真命题的是()

A.若4<?>历2,则

B.若bc-ad20,bd>0,则-W等

C.若avb〈0,贝端琮

D.若->7,则。>0,b<0

Q0

答案：(1)C(2)ABD

解析：⑴因为a*。，a>b,则心0,b<0,->0,1<0故A不正确；-<0；<0,

abzazb

则，+40,故B不正确；又a+6>0,BPa>-b>0,则标>(1)2,即。2>〃，故c正

确;由a>/>0得故D不正确.故选C.

(2)对于A,若历2,则/>0,所以Qb,故A正确；对于B,若bc-ad20,

bd>0,则智三0,化为彳可得华W岑，故B正确；对于C,若〃<*0,贝IJ

baabba

4正0,ab>0,可得二=噂<0,故2吟故C错误；对于D,若0b,安,

abababab

贝心;=华>0,所以H〈0,所以。>0,b<o,故D正确.故选ABD.

abab

考点三不等式f生质的应用师生共研

典例日⑴已知・14<4,2勺<3,则的取值范围是3x+2y的取值范

围是•

(2)已知3v〃v8,4V6V9,则尚取值范围是.

答案:(1)(42)(1,18)(2)(1,2)

解析：⑴因为2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-yv2.由-1<x<4,2<y<3,

得-3<3》vl2,4<2y<6,所以lv3x+2y<18.

⑵因为4Vx9,所以为谷，又338,

所以即［q<2.

xU■OU

［变式探究］

(变条件)若将本例⑴中条件改为i(-\<x+y<4,2<x-y<3"，求3x+2y的取值范围.

解：设3x+2尸〃?(x+y)+〃G-y),

5

=-,r1,

1即3X+2J/=-(X+J0+^x-y),又因为-l<x+y<4,

(n=l，22

2<x-y<3,

所以怖〈|(工+))<10,lv/x-y)v,,

所以•|<|(.叶力+知力吗，即全3叶2产号，所以3"2y的取值范围为(-|,芝).

・规律方法・

根据不等式的性质求取值范围的策略

1.严格运用不等式的性质，注意其成立的条件.

2.同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大

其取值范围.

3.建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等

式的性质求得取值范围.

对点练2.⑴已知0亦吟,则a/的取值范围是.

(2)已知4>6>C,2a+b-c=0,贝方的取值范围是.

答案：(1)(0,7)(2)(-3,-1)

解析:⑴因为0<“吟所以六解0,又0<。书，所以又Fa,所以

a-/?>0,BP0<a-/?<^.

⑵因为2a+b+c=0,所以〃>0,c<0"=-2a-c.因为〃>6>c,所以-2a-c〈a,

BP3a>-c,解彳聆>-3,将b=・2a・c代入b>c中,得-2a-c>c,即c<-〃，传<L所

以-3<£V-1.

a

课时测评3等式性质与不等式性质警关

用书P315

(时间:60分钟满分：100分)

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!)

。基础排查练(每小题5分，共60分)

1.已知0<02<1,记N=a\+ai-\,则M与N的大小关系是()

A.M<NB.M>N

C.M=ND.M2N

答案：B

解析:因为0<m<l,0<〃2<1,所以Jvm-lvO,-1<«2-1<0,所以

M-N=a\ai-(a\+ai-1)=a\ai-a\-ai+\=a\(ai-11)=(ai-1)(ai-1)>0,所以M故选

B.

2.(2025•北京朝阳模拟)若a>O>h,则()

A.Q3>/)3B.

C.a-<7hD.ln(a-5)>0

答案A

解析:因为心0>6,所以凉>0,b3<0,BPa3>b3,故A正确；取a=l,b=-2,则

同>网不成立，卜杯成立，故B、C错误；取a=g,b=-^,则ln(a/)=ln1=0,

故D错误故选A.

3.(2025•山东青岛模拟诺心力，则()

C.\[a>\[bD.a3>/?3

答案：D

2

解析:取。=2,解1,显然产，故A错误;g)故B错误；若明1)<0,则

近,仍无意义，故C错误；若a加贝渥》向故D正确故选D.

4.(2025•福建福州模拟)是的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：因为尸咛5(・8,0)和(0,+8)上均为增函数，所以当力时，

充分性成立；当avXO时，/〈儿；成立，即不能推出必要性不成立，

QD

所以"0<a<b"是"房”的充分不必要条件.故选A.

2b

5.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“="作为等号

使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“v“和”>“符号，并逐步被数学界

接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若。，b.c£R,则下列命题正确

的是()

A.若a>b,贝！J

8.若会接，贝hi

C,若q<b<c<0,则%筌

D.若a>b,则〃2>加

答案C

解析：对于A,当。=0时不满足，故A错误；对于B,由不等式性质知，沁

两边同时乘以。2>0,可得心6,故B错误；对于C,若gbvcvO,贝!Ja+c〈O,

儿QO,S-〃)cvO,心+c)>0,故”*蛆喂等二善〈0,即匕空，故c正确;

aa+ca(a+c)Q(Q+C)aa+c

对于D,取a=-l,b=-2,可得a2V加,故D错误.故选C.

6.已知a>b+1>1,则下列不等式一定成立的是()

A.\b-a\>bB.a+：>b+：

/14-1R)

C.--<—D.tz+lnb<b+lna

a-1Ina

答案：C

解析：取4=10,b=8,贝！故A错误；取。=3,b=g,a+：=b+g,故B错

误；取。=3,b=l,则a+lnb=3,/)+lntz=l+ln3<1+lne2=3,BPtz+lnb>h+\na,

故D错误；对于C,证明一个不等式：e=x+l,令y=U,则片eM,于是

x>0时,y>Oz尸e"-l单调递增；x<0时，y<0,产单调递减，所以X=O

时，少有极小值，也是最小值e。-。-1=0,于是产巴口20,当且仅当尸0时取等

号e2x+l,当x>・l时,两边同时取以e为底的对数可得，x21n(x+l),用(x・l)

替换X得到x・lelnx,当且仅当工到时取等号,因为心"1>1,所以心乂+1,

Ina<a-1,p->l>—7-,即怨'〈㊀，故C正确.故选C.

Inae°a-1Ina

7.(多选)(2024•山东济南模拟)已知实数%b,c满足。>6>c,且a+b+c=O,则下

列说法正确的是()

a-c>2h

A.—a-cb・cB.

C.a2>b2D.ab+bc>0

答案:BC

解析：对于A,因为a*c,所以—,所以白2，故A错误；对于B,

因为a>b>c,a+b+c=Q,所以。>0,c<0,a-b>0,所以人+。=-。<0,所以a-力>人+c,

即a-c>2b,故B正确；对于C,因为a-b>0,a+b=-c>0,所以a2-b2=(a+b)(a-b]>0,

即标>〃，故C正确；对于D,ab+bc=b(a+c)=-b20,故D错误.故选BC.

8.(多选)(2024•山东潍坊模拟)已知实数a>b>0,则()

AA.-b<-b+2-

aa+2

C.D.1g手>驾世

答案：ABD

解析：对于A,因为心b>0,所以后<0,所以幺名=愕<0,贝！J&等，故A

aa+2G(Q+2)aa+2

正确;对于B,因为所以Q-b>0,所以〃+}〃*=(a-b)+^=(Q6)(l+2)>°，

贝!)。+9力+工，故B正确；对于C,当a=4,6=2时，ah=bu,故C错误；对于D,

oa

由字得1g岸>lgV^4g(ab)=’-：3,故D正确.故选ABD.

9.(多选)设。，b,c,d为实数，且则下列不等式正确的有()

A.c2<cdB.a-c<b-d

C.ac<bdD.二>0

答案：AD

解析：因为心h>0>c>d,所以0>c>d,对于A,因为0>c>”，由不等

式的性质可得/〈cd故选项A正确；对于B,取a=2,8=1,c=-l,“2则a-c=3,

b-d=3,所以a-c所-d.故选项B错误;对于C,取a=2,b=\,c=-l,d=-2,则

ac=-2,bd=-2,所以〃c=/>d.故选项C错误；对于D,因为〃>力>0,d<c<0,贝！J

ad<bct所以X，故:令0.故选项D正确.故选AD.

10.能够说明“设。，儿。是任意实数若标主力，则/b>c”是假命题的一组

整数。，b.，的值依次为.

答案：・3,10(答案不唯一)

解析：令。=-3,解-1,c=0,则标>〃“?，此时。+6=-4<0,所以a+b>c是假命

题.

11.若1<0<3,-4〈好2,则2行|用的取值范围是.

答案:(2,10)

解析：因为・4<的2,所以0《|川<4,又］<a<3,所以2<2a<6,所以2V2。+|阴<10.

12.已知a+b>0,则苴+点与舞的大小关系是-

答案:专令兄

b乙a(ab

解析：言+&+S哼+*=（。-妙隹塌="鬻上因为。+力>仇（*与220,所

以安鬻知所以.鸿号

薮综合运用练（每小题8分，共16分）

13.（多选）（2025・湖南长沙模拟）已知非零实数*b满足。>|6|+1,则下列不等关系

一定成立的是

（）

A.a2>b2+\B.2a>2b+]

C.a2>4bD.中>/，+l

答案：ABC

解析：对于非零实数0b满足a>|b|+l,

贝储>（向+1）2,

BPa2>b2+2\b\^-\>b2^-\,故A一定成立；

因为。>依+126+1=2,2",故B一定成立；

又（叶1）220,即〃+122依，

所以。2>4依246，故C一定成立；

令4=5,6=3,满足a>|b|+l,

此时7=：v力+1=4，故D不一定成立.

D3

14.实