几何证明压轴题（期中试题汇编重庆专用）-八年级数学上学期（原卷版）

专题05几何证明压轴题

、会4大高频考点概览

考点01证明线段的数量关系

考点02探究线段的数量关系

考点03角度相关几何证明

考点04最值相关几何证明

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&考点01证明线段的数量关系

1.(24-25八匚重庆复旦中学教育集团•期中)在VABC中，AC=BC,。为边C3上一点，点E在AB的延

长线上，连接A。、DE,NCAD=NEDB.

图3

(1)如图1,求证：AD=ED；

(2)如图2,若ZADE=6O0+2NBDE,求证：AE=2BE+BD;

(3)如图3,点尸是C8延长线上一点，连接A£E4=FRNC=2NE4E,过。作。“J.A8于”，延长。，交

"于点G,=的面积为4,求线段DG的长度.

2.(24-25八上•重庆实验外国语期中)在V48C中，点。为边4c上一点.

图1图2图3

(1)如图1，若8O_LAC,NC=60。,8c=4,A8=JIT,求VA3C的面积.

(2)如图2,点E、G分别为边8C、AC上一点，连接A£、BG,若BC=BG,CE=CD=DG,/CAE=g/CBG,

点F是VABC外一点，连接CF,CF=AE,连接ED并延长交8c于点M,ZF+ZA/DC=90°,求证：

CM=-AC.

2

(3)如图3,TO1AGZC=6O°,£?C=4,将沿射线8C平移，使点8平移至8c中点夕处，得到对应

NBCD»将VBC'。'绕点9旋转，得到△B"C7T,旋转过程中射线厅犷分别交直线AC于点P、Q,

当△/TPQ为等腰三角形时，△出P。和8DC是否有重叠部分？若有，直接写出△/MP。和.8DC重叠部分

的面枳.

3.(24-25八上•重庆南川三校联盟•期中)在等边VA8C中，点。为边BC上一点，连接AO.

EE

(2)如图2,将线段AO绕A点顺时针旋转120。至AE位置，连接CE,交A5于点'求证：AF+CD=BF

(3)如图3,在(2)的条件下，若点。为直线8C上一点，过点E作EGJ.BC于点、G,BC=4,连接FG,

BE,当8E+2FG取得最小值时，请直接写出8CE的面积.

4.(24-25八上•重庆南开中学期中)在V4BC中，D为BC边上一点、,连接A。，E为4。上一点，连接

CE^AEC=\20°.

K

(1)如图1,若AO_L8C,CE=6,AE=3OE,求的面积；

(2)如图2,连接BE,若NC3«=6()o,AE=CE,点G为AB的中点，连接GE,求证：BC=BE+2GE；

(3)如图3,若VA8C是等边三角形，8c=9,0为直线8C上一点，将AO绕点A逆时针方向旋转90。到AK,

连接。K,例为线段8C上一点，8c=38W,。为直线A8上一点，分别连接PM.PK,请直接写出.+必

的最小值.

5.(24-25八上•重庆两江育才中学•期中)将两个等腰直角VAAC与oEEC如图放置，AC=BC,CE=CF,

4C3=NEb=90。.

(1)如图1,若点A、E、/三点共线时，交线段6c于点G,点。是线段A8上的点，满足AO=O尸，

NBD尸=30。，求/8CF的度数；

(2)当.EFC绕着点C顺时针旋转至如图2时，分别连接AF,BE,若点M是线段AF的中点，连接MC,

求证：BE=2CM；

(3)当.绕着点。顺时针旋转至如图3时，分别连接AF,BE,若点”是线段的的中点,CE=12,AC=20,

BE=\6,四边形AB上厂面积为460时，直接写出点A到。W的距离.

6.(24-25八上•重庆南开中学・期中)如图，在VA8c中，点。是48上一点，点E是BC上一点,连接。E、

AE,且NA旦)=Z43C,点尸是4E上一点，且EF=DE,连接C”.

AA

A

(1)如图1,若CE=BD=2,BC=6,求。尸的长度:

(2)如图2,若CE=AD.点G为CF上一点、,连接石G,且NCEG=NE4B,求证：AE=2GEx

a万

(3)如图3,若CE=AD,EF=手,/ABC=45。,当C/7取得最小值时，请直接写出一A8E的面积.

7.(24-25八上•重庆育才中学教育集团•半期)(1)问题提出：如图I,点E为等腰VABC内一点，AB=AC,

ZBAC=a,将AE绕着点4逆时针旋转。得到40,求证：ABW_AC£>.

(2)尝试应用：如图2,如图2,点。为等腰RtAABC外一点，AB=AC,BDtCD,过点A的直线分别

交DA的延长线和C。的延长线于点M若/M=60。，求讦MC+N8=2AM：

(3)问题拓展：如图3,VA4c中，AB=AC,点、D,E分别在边AC,3c上，N3DA=NBEA=6()。,AE,

BD交于点H.若CE=5,4H=3,直接写出跖的长度.

■

\考点02探究线段的数量关系

8.(24-25八上・聿庆荣昌宝城初中•期中)八年级某班兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和

他门一起活动吧.

(1)【阅读理解】如图(1),在VA8C中，若A8=10,8C=8,求AC边上的中线的取值范围.

小聪同学是这样思考的：延长8。至点E,使DE=BD,连接CE,利用全等将边A8转化到CE,在BCE中

利用三角形的三边关系即可求出中线8。的取值范围.在这个过程中小聪同学证明三角形全等用到的判定方

法是：;中线5。的取值范围是________.

(2)【理解与应用】如图(2),在VABC中，点。是AC的中点，AB=MB,BC=BN,其中ZABM=ZNBC=90。,

连接MN,试探索BO与MN的数量关系，并说明理由.

(3)【问题解决】如图(3),在VA8c中，?B90?,点。是AC的中点，点”在A8边.匕点N在BC边

上，若DM工DN,试猜想线段4W,CN,MN三者之间的数量关系，并证明你的结论.

9.(24-25八上♦重庆石柱一中•期中)已知18c中，BE是角平分线.

图1图3

(1)若NACB的平分线与8E相交十点D.

①如图1,若44=80°,求4QC的度数：

②如图2,点、F,G分别在8C,BE上,连接。/，GF,且NBAC=2NBDF,GD=DE,试猜想线段CE,

C2和FG之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)当时，P、Q两动点分别在线段跖、线段4c上运动，若NACB=70。，则当6+PQ取得最小

值时，NCPQ的度数为一.

10.(24-25八上•重庆九十五中•当期)在V4BC中，AB=CB,乙针。=90。，点。是直线BC上一点.

图1图2图3

(1)如图1,若点。在6C边上，且ND46=15c,AO=2,求。。的长；

(2)如图2,若点。在C8的延长线上，且NA43=15。，CE上AD于点、E,交48于点尸，连接。尸，猜想AC,

AD,OE之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,若点D在边BC,点G在边AC上,且AG=BO,BC=2叵,连接3G,AD,当BG+A/)取

最小值时，直接写出.ACG的面积.

11.(24-25八上•重庆巴蜀中学•半期)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,M为平面内一点.

H

(1)当点M在84的延长线上时，连接MC；

①如图1,若NRAC=90。，BDAMC交AC于点、N,AM=3,求C/V的长；

②如图2,若442=60。,将线段MC绕点M逆时针旋转120。得到线段,连接BH，若G为B〃的中点,

连接MG,请猜想线段MG,BC,M8之间的数量关系，并证明你的猜想：

(2)如图3,若N8AC=60°,点M在NA8C的角平分线上运动(不与点8重合)，取8C中点E,将线段

绕点E逆时针旋转60。得到线段EP,连接尸M,PB,设NBPE=a,请用含"的式子表示NPA仍的度数.

12.(24-25八上•重庆万州二中教育集团•期中)按要求解答下列问题：

图1图2图3

(1)如图1,在四边形A3CD中，AB=AD,NB=ND=90。,E、尸分别是边BC、上的点，且

NBAD=2/EAF.求证：EF=BE+FD；

(2)如图2,在四边形A6CD中，AB=AD.ZB+ZD=180°,石、尸分别是边6。、CD上的点，且

/BAD=2NEAF,请先写出所、BE、尸。之间的数量关系再证明；

(3)如图3,在四边形A8CO中，AB=AaZB+ZADC=l^,E、尸分别是边8C、。。延长线上的点，且

NBAD=2NEAF,请直接写出E尸、BE、尸。之间的数量关系(不证明).

13.(24-25八上•重庆南岸珊瑚中学教育集团•期中)在RtaABC中，ZB/AC=90°,。为平面为一点.

(1)如图1,若点。在边A8上，延长C4到点E,使得AE=4C,连接跖，CD1BE,垂足为点F,BC=3,

AC=\,求CF的长.

(2)如图2,若点D在VABC内，连接CD,DA,延长D4到点E,使4石=八。，连接跖，CD上BE,垂足

为点，.猜想BC,CD,优的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,若点。为边AC上一动点，点七为边43上一动点，且AD=BE,连接CE、BD,且

AB=|>/5,请直接写出BO+CE的最小值.

14.(24-25八上•重庆八中•期中)VABC中，A3=8C,点。在直线AC上，连接40,在/〃)的上方作

ZBDE=ZABC,且BD=DE,连接跳:，8C为线段"的垂直平分线，垂足为点G,连接律交8c于点〃.

(1)如图1,点。为线段4c中点，EF平分NBED,ZF=2ZE4C,求此时/ABC的度数;

(2)如图2,点D在线段AC上，ZAfiC=6(r,试猜想3H与AQ的数量关系，并说明理由;

(3)若Z43c'=60。，点。在直线AC上运动，AC=#,当NC或>=15。时，请直接写出E尸的值.

考点03角度相关几何证明

15.(24-25八上•重庆松树桥中学•期中)已知在VA8C中，AB=AC,过点C引一条射线CM,D是CM上

一点.

M

AA

(I)如图1,若44BC=60。，射线CM在N4CB内部，ZA/)C=60。，求证：ZB£>C=60°.

小明的做法是：在CM上取一点E,使得再通过已知条件，求得NBDC的度数.请你帮助小明

写出证明过程；

【类比探究】

(2)如图2,已知RC=ZADC=30°,当射线CM在—AC4内，求N8DC的度数.

【变式迁移】

(3)如图3,已知NAC8=/4OC=30。，当射线CM在下方，/BQC的度数会变化时？若改变，请求

出。的度数，若不变，请说明理由.

16.(24-25八I:•重庆凤鸣山中学教育集团校•期中)(1)问题背景：如图1,在四边形4BCZ)中，

AB=AD,Zfi4D=120°,N8=NADC=90。，E、F分别是BC,8上的点，且NE4尸=60。，探究图中线段

BE、EF、之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长到点G,使DG二BE.连接AG,

先证明再证明，所且以GF,可得出结论.他的结论应是_______________________.

(2)如图2,在四边形A3C。中，AB=AD,NB+NO=180。，E,尸分别是边4C,CO上的点，且

ZEAF=^BAD.(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程.

(3)在四边形力8c。中，AB=AD,N8+NO=180。，E,6分别是边BC,CZ)所在直线上的点，且

ZEAF^ZBAD.请直接写出线段EEBE之间的数量关系.

17.(24-25八上•重庆西南大学附中•期中)如图,VABC为等腰三角形，AB=AC,。为边上一点,连

接AD.

F

(1)如图1,若NB4C=90。，将AD绕点。逆时针旋转90。得到线段连接M,若AB上BE,BD=4,

求四边形A3EQ的面积；

(2)如图2,若^BAC=90°,将A。绕点4逆时针旋转90。得到线段■,连接即，若G为即中点，连接AG,

求证：AG平分/84C；

⑶如图3,若/8AC=100°,胡=Q，点M、N分别在线段A。、AB上,且AM=8N,连接8W、DN,

当BM+ON取最小值时，点尸是线段NO上的一个动点，连接小、PB、PC,请直接写出AP+PC取得最

小值时，N3PN的度数.

18.(24-25八上,聿庆大足区邮亭中学&五校•期中)如图①，在V48C中，A8=AC,点。，E分别是A5,

4c上的点，AD=AE,不难发现与CK的数量关系.

①②③

(1)将7ADE绕点A旋转到图②的位置时，写出BD与C£•的数量关系并说明理由；

⑵当/84C=90。，其他条件不变时，将V/V汨绕点A旋转到图③的位置.

①根据以上结论小强猜想BD和CE相等并垂直，小强的猜想对吗？请说明理由；

②当点C,D,E在同一直线上时，请直接写出的度数.

19.(24-25八上.聿庆为明学校•期中)在▲ABW中，AMJ_3M,垂足为何，AM=8例，点。是线段A/W上

一动点.

(1)如图I,点C是延长线上一点，MD=MC,连接AC,若BD=17,求AC的长：

(2)如图2,在(1)的条件下，点E是3ABM外一点，EC=AC,连接EO并延长交8c于点尸，且点尸是

线段8c的中点，求证：/BDF=/CEF.

图2

(3)如图3,3。平分/A8M,BN平分/ABD.P、Q分别为BN、出上的动点，当0M=1时，直接写出幺+PQ

的最小值.

(1)求证ZABE=ZACDx

(2)如图2,过点A作A凡L8E于点G,交BC于点、F,过尸作Q_LCD交3E于点尸，交CD于点H.

①猜想/4/话与的数量关系，并证明：

②探究线段"，FP,AF之间的数量关系，并证明.

21.（24-25八上•重庆开州•期中）【问题背景】

如图，在V48C中，ZBAC=\20°,BE,C”是VA8C的角平分线，它们相交于点/.

【初步探究】（1）如图1，连接A/，求证：点/在的平分线上；

【深入探究】（2）如图2,延长4交于点。，过点尸作FT_L8C于点T,尸L_LA。于点心，并连接71,

试判断ZF7L与4FLT的大小关系；

【拓展延伸】（3）如图3,延长可交BC于点。，连接OE交。于点G,过点G作GM_LAC于点M,GN_LAO

于点N,请问GM和GN有何数国关系？

22.（24-25八上•重庆渝高中•期白）如图，已知NH4C+NCOE=180。，A8=AC,DC=DE,尸为跖的

中点.

（1）如图1，若A,C,O共线，求证：4,平分—3AC；

（2）如图2,若A,C,。不共线，求证：APYDP；

（3）如图3,若点C在BE上,记锐角NB4C=x,且A4=AC=CQ=OE,则的度数是________.（用

含％的代数式表示）

23.（24-25八上•重庆十一中教育集团•期中）已知V/WC为等边三角形.

D

(1)如图1,点。为边3c上一点，以AD为边作等边三角形AOE,连接8,求证：△ABDgdACE.

(2)如图2,以人。为腰作等腰直角三角形人C。，取斜边C。的中点E,连接AE,交BD于点、F.求证：

BF=AF+DF.

(3)如图3,若A5=3,点。是边AC上一定点且”=也，若点。为射线6c上一动点，以OP为边向右侧

3

作等边..DPE，连接CE、BE,直接写出电：+8石的最小值.

24.(24-25八I：・重庆育才中学•期中)已知等边VA8C,过点8作AB的垂线交AC延长线子点£>.

(1)如图1,点P为AABD内部一点，满足/BPC=120。，E为总延长线上一点，且8E=CA,连接AE,AP,

求证：律为等边三角形；

(2)如图2,在(1)的条件下，点尸是AB中点，连接P尸并延长，交AE于点G,连接3G,若4E=AG,

求证：PF=FG+BGx

(3)如图3,将△AA力沿着5。翻折得到&A8D,将线段8c沿射线50方向平移得,连接〃T、CD,若

BD=4,当A9+?C+CO最小时，直接写出C7)的长度.

25.(24-25八上•重庆育才中学教育集团•期中)已知等边VA8C,过点8作相的垂线交AC延长线于点。.

A

⑴如图1,点尸为△A8力内部一点，满足N8PC=120。，E为05延长线上一点，且=连接AE、AP,

求证：△△£■?为等边三角形；

(2)如图2,在(1)的条件下，点尸是人B中点，连接P尸并延长，交AE于点G,连接BG,若BE=AG,

求证：PF=FG+BG；

(3)如图3,将沿着8。翻折得到-ABO,将线段8C沿射线8。方向平移得EC,连接人6、CD,

若BD=4,当A&+&C+C7)最小时，直接写出C'。的长度.

26.(24-25八上•重庆铜梁巴川初中•半期)在平面直角坐标系中，44,0).8(0,4),作点A关于)，轴的对称

点C,连接48,4。,4。平分一84。交4。于以

(1)如图1,求—408的度数；

(2)如图2,过点C作CKJLA。，垂足为E,猜想CE与A。的数量关系，并证明；

(3)如图3