北师大九年级数学下册-专项06 证明圆的切线的常用方法

专项06证明圆的切线的常用方法

类型一有交点：连半径，证垂直

规律方法

如果已知直线与圆有公共点，要证直线与圆相切，可连接这个公共点和圆心，得到半径，只

需证明这条半径垂直于已知直线即可，简记为“有交点：连半径，证垂直”，并且注意要证“垂

直“，常需利用已知中原有的垂直关系.

方法1平行线性质法证垂直

1.如图，在O0中，点A是命的中点，过点A作ADIIBC.求证：AD与O0相切.

2.（2023河北石家庄四十二中一模节选）如图，在O0中，AB是O0的直径，CD是过O0上一

点C的直线，且ADLDC于点D,AC平分4BAD.求证：CD是OO的切线.

方法2利用等角转换法证垂直

3.（2023辽宁鞍山立山二模节选）如图，AB为OO的直径，D是O0上的一点，延长AB至点

C,连接CD,4BDC=NBAD.求证：CD是。0的切线.

I)

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4.(2022江苏扬州中考节选)如图，AB为。O的弦，OCLOA交AB于点P,交过点B的直线

于点C,且CB=CP.试判断直线BC与。O的位置关系，并说明理由.

方法3利用全等法证垂直

5.如图，已知AB是。O的直径，PB是。O的切线，C是OO上的点，ACIIOP.

⑴求证：PC是OO的切线；

(2)若4A=60。，AB=4,求PC的长.

方法4勾股定理逆定理法证垂直

6.如图，的直径AB=12,点P是AB延长线上一点，且PB=4,点C是。0上一点,

PC=8.求证:PC是O0的切线.

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类型二无交点：作垂直，证半径

规律方法

如果已知中无法直接判断直线与圆有无公共点，那么过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线

段的长等于半径即可，简记为“无交点：作垂直，证半径

方法5角平分线性质法证半径

7.如图，。为正方形ABCD对角线AC上一点，以。为圆心，OA长为半径的OO与BC相切

于点M.求证：CD与OO相切.

方法6全等三角形法证半径

8.如图，在aABC中，。为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点

C,过点A作ADJLBO,交BO的延长线于点D,且乙AOD=NBAD.

⑴求证：AB为OO的切线；

4

⑵若BC=6,tanzABC.,求AD的长.

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专项06证明圆的切线的常用方法

答案全解全析

1.证明连接OA（图略），

•••A是靛的中点，••.OA_LBC,

vADHBC,/.OAIAD,

・・•点A为半径OA的外端点，「.AD与OO相切.

2.证明连接OC,如图.

•••AC平分4BAD,.*.Z.DAC=ZCAO,

•.OA=OC,.*.ZCAO=ZOCA,

•'•Z.OAC=Z.OCA,AD||OC»

vADlDC,AOCIDC,

•.QC是OO的半径，.・.CD是00的切线.

3.证明连接OD,如图.

•••AB为。O的直径，.-.ZADB=9O°,.-.zA+zABD=90°,

vOB=OD,.,.Z.ABD=Z.ODB,

vzBDC=zA,•••△BDC十4ODB=90。,

.-.zODC=90°,AODICD,

vOD是OO的半径，,CD是00的切线.

4.解析直线BC与。O相切理由：如图，连接OB,

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vOA=OD,

.,.zA=Z.OBA,

•.CP=CB,

.*.zCPB=zCBP,

vzAPO=zCPB,

••zAPO乙CBP,

,•OCIOA,

•ZA+匕APO=90。，

.-.ZOBA+ZCBP=90°,

.-.zOBC=90°,

vOB为。0的半径，.•・直线BC与OO相切.

5.解析(1)证明：如图，连接OC.

••・PB是。O的切线，

.-.zOBP-900,

vOA=OC,

•,.zOAC=Z.OCA.

vACIIOP,

.-.zOAC=zPOB,zPOC=zOCA,

.,.zPOB=zPOC,

又；OC=OB,OP=OP,.-.△POC=APOB,

.-.zOCP=zOBP=90°,即OC1PC.

又♦.•OC是。O的半径，••.PC是。o的切线.

(2)・・・AB=4,・・.OB=2.

vzA=60°,ZPOB=ZA,.-.ZPOB=60°.

在RtZkPOB中，ZOPB=90°-ZPOB=30°,

.*.PO=2OB=4.

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.-.PB=VOP2-OB2=V42？22=26.

•••△POC^APOB,.-.PC=PB=2V3.

6.证明连接OC.

•••00的直径AB=12,.-.OB=OC=6.

vPB=4,.,.PO=10.

在△POC中，PC2+CO2=82+62=100,P02=102=100,.*.PC2+OC2=PO2.

.-.zOCP=90°,BPOC1PC.

X-.OC是。O的半径，是OO的切线.

7.证明如图，连接OM,过点O作ON1CD于点N.

••・OO与BC相切于点M,・・.OM1BC.

vO为正方形ABCD对角线AC上一点,

•••CO平分4BCD,••.OMnON,.・.CD与相切.

第7题图第8题图

8.解析⑴证明：如图，作OELXB于E.

因为。0与BC相切于点C,所以AC1BC,

因为NAOD=4BAD,AD1BD,所以乙OAD=4ABD,

易知NOAD=NOBC,所以NABD=4OBC,

又因为BO=BO,zOEB=zOCB=90°,

所以△BOEw^BOC(AAS).

所以OE=OC,所以点E在。0上，

所以AB为。O的切线.

AC4

(2)由BC=6,tanzABC=^=-,得AC=8,

所以AB=VBC2+AC2=V62+82=10.

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因为△BOE三△BOC,所以BE=BC=6,所以AE=10-6=4.

令OE=OC